空间直角坐标.docx

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空间直角坐标

第一章空间直角坐标，平面和直线

1．在给定坐标系中画出下列各点：

。

2．自点M

和N

分别引各坐标平面和坐标轴的垂线，求各垂足的坐标。

解：

点M

在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：

在X，Y，Z轴上的垂足分别为：

点N

在平面XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为：

在X，Y，Z轴上的垂足分别为：

3.给定点M

和N

，求它们分别对于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标。

解：

关于XOY对称

关于XOZ对称

关于YOZ对称

关于原点对称

M（1，-2，3）

（1，-2，-3）

（1，2，3）

（-1，-2，3）

（-1，2，-3）

N（a,b,c）

（a,b,-c）

（a,-b,c）

（-a,b,c）

（-a,-b,-c）

关于X轴对称

关于Y轴对称

关于Z轴对称

M（1，-2，3）

（1，2，-3）

（-1，-2，-3）

（-1，2，3）

N（a,b,c）

（a,-b,-c）

（-a,b,-c）

（-a,-b,c）

4．求点M（4，-3，5）到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离。

解：

点M到原点的距离：

点M在XOY，XOZ，YOZ上的垂足分别为A（4，-3，0），B（4，0，5），C（O，-3，5），则距离为：

，

，

，点M在X，Y，Z轴上的垂足分别为

，B（0，-3，0），C（0，0，5）则距离为：

，

，

5．求点（1，2，-2）和（-1，0，-2）之间的距离。

解：

所求距离为：

6．求下列方向余弦：

（1，2，-2），（2，0，0），（0，2，-2），（-1，-2，-5）。

解：

（1，2，-2）的方向余弦为：

，即：

（

）

（2，0，0）的方向余弦为：

，即：

（

）

（0，2，-2）的方向余弦为：

，即：

（

（-1，-2，-5）的方向余弦为：

，即：

（

7．求从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数和方向余弦。

解：

从点（1，2，-2）到点（-1，0，-1）的方向的方向数为（-1-1，0-2，-1+2），即（-2，-2，1）；方向余弦为（

。

8．求下列方向的方向角：

（0,0,-1）,（

。

解：

（0，0，-1）的方向余弦为：

0，0，-1，则方向角为：

（

的方向余弦为：

，则方向角为：

（-2，-1，-4）的方向余弦为：

，则方向角为：

9．求下列各对方向之间的夹角：

1）（1，0，1）和（0，0，1）；2）（-1，-2，3）和（2，0，1）；3）（01，-4，-5）和（2，3，4）。

解：

1）方向余弦为（

）和（0，0，1），则：

而

故

2）方向余弦为（

）和（

），则：

3）方向余弦为（

）和（

），则：

10.证明：

顶点是A（2，4，3），B（4，1，9），C（10，-1，6）的三角形是直角三形角形。

求出各边的长和各内角的大小。

证明：

即：

又：

故各边长为：

各内角为：

11．在给定的坐标系中画出下列平面：

1）

2）

3）

4）

5）

12.求下列平面的方程：

1）过点（0，-1，4），法向的方向数为（2，-1，0）；

解：

1）设所求方程为：

，又点（0，-1，4）在平面上

2）过点（-1，-5，4），平行于平面

解：

2）设平面方程为：

，则：

3）过点（1，3，5），（-1，-2，3），（2，0，-3）；

解：

设平面方程为：

，则由题可得：

4）过点（3，-1，4）和（1，0，-3），垂直于平面

解：

设平面方程为：

，则由题可得：

5）过点（0，-1，3）和Y轴；

解：

设平面方程为：

，则：

6）过点（-2，-1，3）和（0，-1，2），平行于Z轴。

解：

设平面方程为：

，则由题可得：

13．将11题中的平面方程化为法式方程：

解：

1）法式方程为：

2）法式方程为：

3）法式方程为：

4）法式方程为：

5）法式方程为：

14．在给定的直角坐标系中画出下列直线：

1）

；2）

；

3）

；4）

15．求下列直线的方程：

1）过点（-2，3，5），方向数为（-1，3，4）；

解：

直线方程为：

2）过点（0，3，1）和（-1，2，7）；

解：

直线的方向数为：

（-1，-1，6），则直线方程为：

3）过点（-1，2，9），垂直于平面3x+2y-z+5=0;

解：

由题可知直线的方向数为：

（3，2，-1），则直线方程为：

4）过点（2，4，-1），与三个坐标轴成等角。

解：

由于直线与三个坐标轴成等角，则（1，1，1）为其一个方向数，则：

直线方程为：

16．给定直线

，求

1）过l平行于Z轴的平面；

解：

由题可设平面方程为：

，则：

2）l在XY平面上的投影。

解：

由

得直线l在XY平面上的投影为：

17．求下列直线在各坐标平面上的投影；并画图：

1）

解：

由

得直线在XOY平面上的投影为：

由

得直线在XOZ平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

2）

；

解：

由

得直线在XOY平面上的投影为：

由

得直线在XOZ平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

3）

解：

由

得直线的点向方程为：

得直线在XOY平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

4）

解：

直线的点向方程为：

得直线在XOY平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

由

得直线在YOZ平面上的投影为：

18．将下列直线的方程化为点向式：

（1）

解：

由

（2）

解：

由

（3）

解：

由

（4）

解：

由

19．求下列各对直线之间的夹角：

1）

；

解：

设直线间的夹角为θ，

由于两直线的方向数为（1,-1,0）,（-1,0,2）,则方向余弦为（

），（

）

2）

；

解：

设直线间的夹角为θ，

两直线的方向数为（-1，1，2），（-2，4，-3），由于：

（-1）×（-2）+1×4+2×（-3）=0

.

3）

；

解：

设直线间的夹角为θ，

由题可知两直线的方向数为（-3，1，2），（

），则方向余弦为（

），（

），

20．求直线与平面的交点：

1）

；

解：

2）

；

解：

3）

；

解：

而直线上一定点（-2，1，-2）也在平面上

即：

直线与平面有无数个交点。

4）

.

解：

但直线上一定点（-2，1，-2）不在平面上

即：

直线与平面没有交点。

21．求直线：

与Z轴相交的条件。

解：

令X=0，y=0，则：

即：

∴直线l与z轴相交的条件是：

，即：

22．证明：

直线

落在平面

上必须且只须

同时，写出p平行于π但不在π上的条件。

证明：

直线p与平面π的方向数分别为：

（l,m,n）,（A,B,C）

∵Al+Bm+Cn=0∴直线p平行于平面π。

又：

点（x0,y0,z0）在直线p上，且Ax0+By0+Cz0+D=0,即点（x0,y0,z0）也在平面π上

∴直线p在平面π上。

23．求经过直线

和点（1,2,1）的平面方程。

解：

设平面方程为：

，

又：

点（1,2,1）在平面上

∴

∴A=-B

令B=-1，则A=1故：

所求平面方程为：

24．设平面π1与π2不平行，它们的方程分别为

，

。

证明：

过π1和π2的交线的所有平面的方程都可以表示成

，其中λ和μ为不全为零的实数。

证明：

∵

且

设

其中

，由

知该方程是一个三元一次方程，即方程表示一个平面设

，则：

把点

代入π中有：

即：

左边=右边∴L在π上。

由

的任意性可知：

所有过L的平面上方程都可以成：