中考数学真题解析93锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值含答案.docx

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中考数学真题解析93锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值含答案

2011中考数学真题解析93锐角三角函数的概念,特殊角的三角函数值（含答案）

（2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编

锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值

一、选择题

1.（2011江苏连云港，14，3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理。

专题：

网格型。

分析：

设小方格的长度为1，过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求出sinA．

解答：

解：

过C作CD⊥AB，垂足为D，设小方格的长度为1，

在Rt△ACD中，AC==2.∴sinA==，

故答案为．

点评：

本题主要考查锐角三角函数的定义和勾股定理的知识点，此题比较简单，构造一个直角三角形是解答本题的关键．

2.（2011江苏苏州，9，3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　　）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理；三角形中位线定理．

专题：

几何图形问题．

分析：

根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．

解答：

解：

连接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中点．

∴BD=2EF=4

∵BC=5，CD=3

∴△BCD是直角三角形．

∴tanC=

故选B．

点评：

本题主要考查了三角形的中位线定义，勾股定理的逆定理，和三角函数的定义，正确证明△BCD是直角三角形是解题关键．

3.（2011江苏镇江常州，6，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD的值为（　　）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理．

专题：

应用题．

分析：

在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

解答：

在直角△ABC中，根据勾股定理可得：

AB===3．

∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠B=∠ACD．

∴sin∠ACD=sin∠B==，

故选A．

点评：

本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中．

4.（2011山东日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（　　）

A．tanA?

cotA=1B．sinA=tanA?

cosAC．cosA=cotA?

sinAD．tan2A+cot2A=1

考点：

同角三角函数的关系。

专题：

计算题。

分析：

可根据同角三角函数的关系：

平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答．

解答：

解：

根据锐角三角函数的定义，得

A、tanA?

cotA==1，关系式成立；

B、sinA=，tanA?

cosA=，关系式成立；

C、cosA=，cotA?

sinA=，关系式成立；

D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．

故选D．

点评：

本题考查了同角三角函数的关系．

（1）平方关系：

sin2A+cos2A=1

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：

一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA?

cosA．

（3）正切之间的关系：

tanA?

tanB=1．

5.（2011陕西，5，3分）在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理。

专题：

计算题。

分析：

根据三角形余弦表达式即可得出结果．

解答：

解：

根据三角函数性质cosB==，

故选C．

点评：

本题主要考查了锐角三角函数的定义及比例关系，比较简单．

6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（　　）

A.B.C.D.1

考点：

特殊角的三角函数值。

分析：

根据特殊角度的三角函数值解答即可．

解答：

解：

sin45°=．

故选B．

点评：

此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．

7.（2011?

贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（　　）

A、2B、C、D、

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理。

专题：

常规题型。

分析：

根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：

邻边列式求解即可．

解答：

解：

∵AD是BC边上的中线，BD=4，

∴CD=BD=4，

在Rt△ACD中，AC===2，

∴tan∠CAD===2．

故选A．

点评：

本题考查了正切的定义以及勾股定理的应用，熟记直角三角形中，锐角的正切等于对边：

邻边是解题的关键．

8.（2011山东烟台，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（）

A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形

C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形

考点：

特殊角的三角函数值.

分析：

根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案．

解答：

解：

∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．

点评：

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确的记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键．

10.（2011四川达州，8，3分）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　）

A、B、

C、D、

考点：

特殊角的三角函数值；实数与数轴。

专题：

计算题。

分析：

先根据数轴上A点的位置确定出其范围，再根据特殊角的三角函数值对四个选项进行分析即可．

解答：

解：

由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．

A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；

B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；

C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；

D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查的是特殊角的三角函数值及在数轴的特点，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

9.（2011甘肃兰州，4，4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（）

A．B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；旋转的性质．

分析：

过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．

解答：

解：

过C点作CD⊥AB，垂足为D．

根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：

BD=，

∴tanB′=tanB=．

故选B．

点评：

本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．

10（2011甘肃兰州，8，4分）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）

考点：

特殊角的三角函数值；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：

先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．

解答：

解：

∵sin60°=，cos60°=，∴点M（－，）．

∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），

∴M关于x轴的对称点的坐标是（－，－）．故选B．

点评：

考查平面直角坐标系点的对称性质，特殊角的三角函数值．

11.（2011广东省茂名，8，3分）如图，已知：

45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）

A、sinA=cosAB、sinA＞cosA

C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA

考点：

锐角三角函数的增减性。

专题：

计算题。

分析：

根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可．

解答：

解：

∵45°＜A＜90°，

∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，

当∠A＞45°时，sinA＞cosA，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了锐角三角函数的增减性，正确的利用锐角三角函数的增减性是解决问题的关键．

12.（2011?

宜昌，11，3分）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）

A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm

考点：

解直角三角形；特殊角的三角函数值。

专题：

计算题。

分析：

因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．

解答：

解：

在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：

tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，

则BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．

故选C．

点评：

此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．

13.（2011湖北随州，9，3）cos30°＝（　　）

A、B、C、D、

考点：

特殊角的三角函数值。

专题：

计算题。

分析：

直接根据cos30°＝进行解答即可．

解答：

解：

因为cos30°＝，

所以C正确．

故选C．

点评：

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

14.（2011?

玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）

A、B、C、D、

考点：

特殊角的三角函数值。

专题：

计算题。

分析：

先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．

解答：

解：

∠α=90°﹣30°=60°，

cosα=cos60°=．

故选A．

点评：

本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．

【相关链接】特殊角三角函数值：

sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；

sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；

sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．

互余角的性质：

两角互余其和等于90度．

15.（2011广西防城港2，3分）若∠α的余角是30°，则cosα的值是（　　）

A．B．C．D．

考点：

特殊角的三角函数值

专题：

解直角三角形

分析：

先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝．

解答：

A

点评：

本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题．填空题为主．特殊角三角函数值：

sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．

16.（2011年广西桂林，6，3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，

则sinA的值为（）．

A．B．

C．D．

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析：

直角三角形中，正弦值是角的对边与斜边的比值；先求出斜边AB的值，然后，即可解答．

答案：

解：

∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，

∴AB=5；

∴sinA==．

故选C．

点评：

本题考查了锐角三角函数值的求法及勾股定理的应用，熟记公式才能正确运用．

17.（2011广西来宾，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则∠A的余弦值是

A.B.C.D.

考点：

锐角三角函数的定义；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

先根据勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=邻边÷斜边计算即可．

解答：

解：

在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，AB=5，BC=3，

∴AC=4，

∴cosA==．

故选C．

18.（2011湖州，4，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（　　）

A．2B．C．D．

考点：

锐角三角函数的定义.

分析：

根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．

解答：

解：

∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA=．故选B．

点评：

此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

19.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值是（　　）A、B、C、D、

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．

【专题】待定系数法．

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，sinA为∠A的对边比上斜边，求出即可．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA=．故选A．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用：

在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

20．（2011福建莆田，8，4分）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）

A．B．C．D．

考点：

翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；锐角三角函数的定义．

分析：

由四边形ABCD是矩形，可得：

∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折叠的性质可得：

∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，

由题意得：

∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，

∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，

∴∠DCF=∠AFE，

∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，

∴DF=3，

∴tan∠AFE=tan∠DCF==．

故选C．

点评：

此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的性质．解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用．

21.（2011四川遂宁，8，4分）计算2sin30°﹣sin245°+cot60°的结果是（　　）

A、+3B、+C、+D、1－+

考点：

特殊角的三角函数值。

专题：

计算题。

分析：

分别把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入进行计算即可．

解答：

解：

2sin30°﹣sin245°+cot60°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．故选B．

点评：

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的特殊角的三角函数值是解题的关键．

22.（2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=（　　）

A.B.C.D.

考点：

圆周角定理；锐角三角函数的定义。

专题：

推理填空题。

分析：

作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．

解答：

解：

连接AO并延长交圆于E，连CE．

∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；

在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，

∴sin∠E=；

又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），

∴sinB=．

故选D．

点评：

本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．

23.（2011四川雅安11，3分）已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则（）

ABCD

考点：

圆周角定理；锐角三角函数的定义。

专题：

推理填空题。

分析：

作辅助线（连接AO并延长交圆于E，连CE）构造直角三角形ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角E的正弦值；然后由同弧所对的的圆周角相等知∠B=∠E；最后由等量代换求得∠B的正弦值，并作出选择．

解答：

连接AO并延长交圆于E，连CE．

∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；

在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，

∴sin∠E==；

又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），

∴sinB=．

故选D．

点评：

本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．

二、填空题

1.（2011江苏南京，11，2分）如图，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于．

考点：

特殊角的三角函数值；等边三角形的判定与性质。

分析：

根据作图可以证明△ABC是等边三角形，则∠AOB=60°，据此即可求解．

解答：

解：

∵OA=OB=AB，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴cos∠AOB=cos60°=．

故答案是：

．

点评：

本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解△ABC是等边三角形是解题的关键．

2.（2011江苏镇江常州，11，3分）若∠α的补角为120°，则∠α=　60°　，sinα=．

考点：

特殊角的三角函数值；余角和补角．

专题：

计算题．

分析：

根据补角的定义，即可求出∠α的度数，从而求出sinα的值．

解答：

解：

根据补角定义，∠α=180°﹣120°=60°，

于是sinα=sin60°=．

故答案为60°，．

点评：

此题考查了特殊角的三角函数值和余角和补角的定义，要熟记特殊角的三角函数值．

3.（2010福建泉州，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=　5　，sinA=．

考点锐角三角函数的定义；勾股定理

分析先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．

解答解：

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB===5，∴sinA==．故答案为：

5，．

点评本题考查了正弦的定义：

在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

4.（2011福建厦门，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，则sinB=　　　　　．

考点：

锐角三角函数的定义。

专题：

数形结合。

分析：

利用锐角三角函数的定义知：

锐角的正弦值=．

解答：

解：

∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如图），

sinB==．

故答案是：

．

点评：

本题考查了锐角三角函数的定义．①正弦（sin）等于对边比斜边；②余弦（cos）等于邻边比斜边；③正切（tan）等于对边比邻边；④余切（cot）等于邻边比对边；⑤正割（sec）等于斜边比邻边；⑥余割（csc）等于斜边比对边．

5.（2011天水，16，4）计算：

sin230°+tan44°tan46°+sin260°=　　．

考点：

特殊角的三角函数值；互余两角三角函数的关系。

专题：

计算题。

分析：

根据特殊角的三角函数值计算．tanA?

tan（90°﹣A）=1．

解答：

解：

原式=+1+=2．

故答案为2．

点评：

本题考查了特殊角的三角函数值以及互余两角三角函数的关系，牢记三角函数值是解题的关键．

6.（2011山东日照，13，4分）计算sin30°﹣|﹣2|=．

考点：

特殊角的三角函数值；绝对值。

专题：

计算题。

分析：

本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：

解：

原式=﹣2=．

故答案为：

．

点评：

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

7.（2011重庆江津区，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝．

考点：

锐角三角函数的定义。

专题：

计算题。

分析：

在Rt△ABC中，根据三角函数定义sinA＝即可求出．

解答：

解：

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，

∴根据三角函数的定义得：

sinA＝＝，

故答案为．

点评：

此题比较简单，考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．

8.（2011内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，．

（1）求证：

直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的值．

考点：

切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

专题：

综合题．

分析：

（1）连接OB、OP，由，且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；

（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，则OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．

解答：

（1）证明：

连接OB、OP，如图，

∵，且∠D=∠D，

∴△BDC∽△PDO，

∴∠DBC=∠DPO，

∴BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP

而OB=OC

∴∠OCB=∠CBO

∴∠BOP=∠POA

又∵OB=OA，OP=OP

∴△BOP≌△AOP

∴∠PBO=∠PAO

又∵PA⊥AC

∴∠PBO=90°

∴直线PB是⊙O的切线；

（2）由

（1）知∠BCO=∠POA，

设PB=a，则BD=2a

又∵PA=PB=a

∴AD=a，

又∵BC∥OP

∴DC=2CO，

∴DC=CA=×2a=a，

∴OA=a，

∴OP=，

∴cos∠BCA=cos∠POA=．

点评：

本题考查了圆的切线的性质和判定：

圆的切线垂直于过切点的半径；过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了三角形相似和全等的判定与性质以及三