A.[-4,2]B.[T2）C.（-4,2）D.（0,2）
/T.3
2.已知复数[=匕>-（i为虚数单位），则z的共捌复数£=（）
V3+i
3.若从数字1，2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（）
A.-B.-C.-D.-
5555
4.已知/（©=升』是定义在R上的偶函数，则下列不等关系正确的是（）
A./（log,3）
C./GO
5.基本再生数&与世代间隔了是新冠肺炎的流行学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
/"）=/描述累计感染病例数/«）随时间M单位：
天）的规律，指数增长率「与&，丁近似满足《=1+"，有学者基于已有数据估计出4=3.28,7=6,据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累汁感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln2*0.69）（）
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
6.正方形ABC。
的边长为2,E是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且aEa3=2,
则（荏+形尸的最小值为（）
A.—B.12C.——D.13
22
7.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：
厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得K回归方程为$=1.16x—30.75,以下结论中不正确的为（）
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
8.设奇函数/*）定义在（-s,0）U（0,+s）上，/*）在（0,+8）上为增函数，且/⑴=0,则不等式
3/（"）一2"（7）<0的解集为（）
5%
A.（TO）U（IDB.S,T）U（O，1）
c.yi）u。
〜）d.（-1,O）U（O,1）
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。
分.
9.给出下列四个关于圆锥曲线的命题，真命题的有（）
A.设A,8为两个定点，k为非零常数，II尸41一I08IHkl,则动点P的轨迹为双曲线
B.过定圆C上一定点4作圆的动弦A8,则弦的中点尸的轨迹为椭圆
C.方程2f—5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率222
D.双曲线去一三=1与椭圆看+丫2=1有相同的焦点
10.已知函数/（x）=sinxcosx-cos?
x,则（）
A.函数/（幻在区间（0,4）上为增函数8
B.直线x=二-是函数/（制图象的一条对称轴
8
C.函数/（X）的图像可由函数y=立sin2x的图像向右平移-个单位得到28
D.对任意xeR,恒有/（工+兀）=/（工）11.四棱锥P—ABCD的底面从58是矩形，侧面PAO1.平面ABC。
，NAP。
=120。
，AB=PA=PD=2,下列说法正确的是（）
A.PC=6B.尸。
与AQ所成的角的余弦为如
4
c.PC与4。
所成的角的余弦为-如D.该四棱锥尸—A88外接球的半径为#
4
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：
设xeR,用口］表示不超过X的最大整数，则
v=［对称为高斯函数，例如：
［-3.5］=-4,［2,1］=2.已知函数/（▲・）=—丁一一1+e2
则关于函数g（x）="（x）］的叙述中正确的是（）
A.g（x）是偶函数B.是奇函数
C./（工）在R上是增函数D.g（x）的值域是｛一1,0」｝
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.命题“h°e（l,2）,满足不等式玉"〃/+420”是假命题，则机的取值范围为.
14.正项等比数列伍”｝满足4+4=3,且2%，）%，七成等差数列，设a=《户川（〃eN）,则》仇…“取得最小值时的〃值为.
15.在△ABC中，点OS满足,当点E在射线AQ（不含点A）上移动时，若4
AE=XAB+/.lAC,贝IJ（4+1）2+）的取值范围为.22
16.如图，A，&为椭圆g+g=l长轴的左、右顶点，O为坐标原点，若S,Q,T为椭圆上不同于A，&的三点，直线QA，。
4,os,or国成一个平行四边形，则iosF+iotF=.
四、解答题：
本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知向量a=（cosx,JJcosx）,=（sinx,cosx）,f（x）=ab.
（1）求/（x）图象的对称中心：
（2）已知a,b,c分别是ZVIBC内角4,B,。
的对边，若0v8<4且/（8）=且，22
b=a/TJ,,求/\ABC的周长.在①,②sinA=4sinC»③sinA»sinB»sinC
成等比数列，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.
18.（12分）已知数列他”｝是各项均为正数的等比数列，%=,，4一的=,，数列色,｝满足4=一3,168
且1+“川与1一2的等差中项是册.
（1）求数列｛勾｝的通项公式:
（2）若g=（—1）〃，，求数列｛C“｝的前2〃项和名…
19.（12分）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念己经深入人心，这将推动新能源汽车产业的
迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
销量（万9
8
10
13
25
24
某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油车
四罡新能源车
总计
男性车主
6
24
女性车主
2
总计
30
（1）求新能源乘用车的销量）关于年份x的线性相关系数，，并判断>与x是否线性相关；
（2）请将上述2x2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关：
（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.
参考公式：
—,其中pIn（a+b）（c+d）（a+c）（Z7+d）
叵…尸宓y-刃2Yr-lVj-1
n=a+b+c+d.才25,若7・>0.9,则可判断y与x线性相关.附表：
P（K:
^k）
0.15
0,1。
0.05
0.025
0,010
0,005
0.001
k
2.072
Z.706
3.841
5JJ21
6.635
7.879
10.828
20.（12分）如图所示，在长方体488-4与6口中，AB=BC=2,P为线段4已上一点.
（1）求证：
ACLBP,
（2）若A4=4,,求点B到平面R4C距离.在①P£\=P与，②lanNBPg=4点，③二面
角P—AC—8的正弦值为一己，这三个条件中，任选一个，补充在问题中，并加以解答.
21.（12分）已知函数/（x）=（。
二一lnx+（a-2）x.
（1）求/（x）的单调区间;
（2）若/（幻20,求。
的取值范围.
22
22.（12分）如图，已知椭圆T:
=十二=l（a>b>0）与两条直线），=±x的四个交点分别为A,crZr
D，若四边形ABC。
的面积为24,且椭圆的离心率为立.
2
（1）求椭圆丁的标准方程；
使得等
（2）若过点（0,1）的直线/与椭圆r交于P,。
两点，问：
在坐标平而内是否存在一个定点R,式1河+苏1=1而-班I成立?
若存在，求出定点R的坐标：
若不存在，请说明理由.
数学（A）答案
第I卷
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.答案：
D
YA={xlx2},3={xl0：
.^A={x\-42.答案：
C
■且=d=d=二=二色,则且i
>/3+i6+i（布+i）（6-i）22222
3.答案：
C
从数字1，2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，A;=20,
这个两位数大于40,则十位数字为4或5,共有C；C；=8,
Q9
概率为二=士，故选C.
205
4.答案：
D
因为/（幻=2"-"是偶函数，则/（-1）=/
（1）,所以11一〃|=|一1一4|,所以。
=0.
所以/（x）=2R=F''之°,
T\x<0
■
/（X）在（-8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，
又因为log23>0,logos5=-log?
5,
所以/（logo.55）=/（log,5）>/（log23）>f（a）,所以选D.
5.答案：
B
凡=3.28,T=6,大=l+rT,・•・3.28=1+6,,得r=0.38,
.,./«）=产=2,・,.0.38，=ln2,・・・0.38h0.69,小1.8.
6.答案：
C
建立以A为原点，以直线AB为x轴，直线为y轴的平面直角坐标系.
设E（x,y）,xe（0,2）,ye（0,2）,则而=（x,y）,衣=（2,2）,
由AE-AC=2x+2y=2,得x+y=l，
所以（立+AC）2=（x+2尸+（y+2）2=x2+/+4（x+y）+8
125=2x2-2x+13=2（x一一尸+一，
22
所以当x=2.时，（4E+ACf的最小值为士」.
22
7.答案：
D
A,身高极差大约为25,臂展极差大于等于30,故正确；
B,很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些,故正确：
C,身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确:
D,身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故说法不正确，故答案为D.
8.答案：
D
奇函数/（x）定义在（—s,0）U（0,48），在（0,+8）上为增函数，且/⑴=0，
・•・函数/（x）的关于原点对称，且在（一8,0）上也是增函数，过点（一1,0）,
所以可将函数/（工）的图像画出，大致如下，
V=・•.不等式3/（'）-2./（-v）<0可化为“*，
5xx
不等式的解集即为自变量与函数值异号的X的范围，据图像可以知道XW（—l,0）U（。
/），
故选D.
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.答案：
CD
A中,只有当IkklABI时，才表示的是双曲线:
B中显然不正确：
C中，方程21一5%+2=0的两根为L或2,所以上和2可分别作为椭圆和双曲线的离心率：
22
D中，由双曲线方程可知它的焦点在x轴上，C；=4；+月=25+9=34,
由椭圆的方程可知椭圆的焦点也在x轴上,*=曷-居=35-1=34,———
所以它们有相同的焦点坐标为（土后,0）.
10.答案：
ABD
1.1+COS2xy/2.711
/（%）=—sin2x-=——sin（2x--,
22242
当xe（0,2）时，2x--e（--,O）,函数f（x）为增函数，故A中说法正确：
844
令2X一色=?
+k兀，keZ,得X=空+如，ZeZ,
4282
显然直线工=三是函数/（X）图像的一条对称轴，故B中说法正确；
8
函数）,=里•sin2x的图象向右平移土个单位得到函数,，=（•sin[2（x一勺]=gsin（2x-f）
282824
的图象，故c中说法错误：
/（x）的最小正周期为冗，故D中说法正确，
故选ABD.
11.答案：
BD
取的中点£,连接尸石，
在34。
中，ZAPD=\2O°，PA=PD=2,
:
・PE=1,AD=2BCE=6,
所以在Rt△尸C石中，PC=2叵,同理08=2应，
・•.AD//BC,所以NPCB为PC与4。
所成的角或其补角，
cosZPCB=
PC2+BC2-PB25/6
2PCBC一彳
设A5CD的中心为O,球心为。
则O'8=Lb£）=2,2
设。
到平而ABC。
的距离为4,则R2=42+22=『+（d+l）2,.・.4=1,R=小,
故选BD.
12.答案：
BC
根据题意知，/（x）=-^--一一二，l+ex221+F
•力1）=[〃1）]=『-匕=0,g（-1）="（-1）]=[」-力=-1，
\+e2e+i2
，g（l）Wg（-l），g（l）W-g（-l），，函数g（x）既不是奇函数也不是偶函数，A错误:
•••/（一幻=
->-“X），
，/（x）是奇函数，B正确:
由复合函数的单调性知/（%）=--一!
—在R上是增函数，C正确;21+6
-：
ex>0,：
.\+ex>\,A-1
第n卷
三、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.答案：
（—•.•命题“七°e（L2）,满足不等式片+，儿%+420”是假命题，
・,・命题““£（1,2）时,满足不等式/+〃*+4<0”是真命题,
4
，一〃?
>x+-在（1,2）上恒成立,x
4
•••/'（幻=1—=<0,，/（x）v/（l）=5,，一〃?
25,，加工一5.at
14.答案：
2
设等比数列｛明｝的公比为q,由2g，；小，的成等差数列.可得%=2/+4，则4/=2。
闯+。
闯2,
所以4?
=2+4,解得夕=一1（舍去）或q=2,
因为q+%=4+〃闻2=（,所以4=；,所以为=（.2"T=2"-3,
所以2==2"-3.2"一=2?
”-5,
所以岫2•.也=2-3-田3+72”-5）=2^l2/l-S，=2”“i,
当〃=2时，〃（〃一4）取得最小值，取得最小值.
15.答案：
（l,*o）
丁点E在射线AO（不含点A）上，设通=攵而，攵>0,
又丽=》册，J荏=攵（与+而）=攵［而+』（衣-矶J丽+江旅,4444
4,（2+1）2+/r=（-+\）2+—k-=-（k+-）2+—>\,3kK4168510
//=T
故（4+1）2+F的取值范围（1,+8）.
16.答案：
14
22U
设。
C%，%）,S（玉，yj,T（x2,y2）»W'j=1»）%=1（9—玉;）.JJ
易知直线QS,07的斜率均存在且不为0,设其方程分别为丁=攵/,y=k2x.
因为OS〃。
4,OT//QA{,
所以“。
•—。
—匕3二言•瓷=e=4
"0..，45,454
2
由两点间的距离公式得105|2+107|2=玉2+）,2+焉+；=22±丝攵=14.
一一5+9k：
四、解答题：
本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
兀6
=sin（2x+y）+—,
令2x+上=krc（kwZ）,可得x=生一£Z）,
326
①选条件=6，二
dacsinB^ac
由余弦定理得从=a+c2-2accosB=（a+c）2-3ac，即（a+c）°-12=13,
，AA8C的周长为5+JH.
②选条件sinA=sinC,根据正弦定理得a=4c,
根据余弦定理〃=/+c2-2accosB=（r+c2-ac,
得13=16
+。
2-4。
2,解得c=l,
，a=4，
・•・八48。
的周长为5+岳.
③选条件sinA,sin8,sinC成等比数列，.,.sin?
8=sinAsinC,
根据正弦定理得〃=ac=13,
根据余弦定理从=a?
+c?
一2accosB=（a+c）2-3ac,
可得13=（a+c『-39,：
.a+c=2y/\39
：
.AABC的周长为3而\
18.答案：
（1）么=—（；严一2〃：
（2）^n=|ll-（^rj-2/7
（1）设数列｛“〃｝的公比为小
由于数列｛“〃｝的各项均为正数，所以q＞。
1
"i=—11[
所以为=；.《严=（；严
1I,乙乙
q=2
因为1+27与1—年的等差中项是%,所以1+〃川+1-4=2%=2・己）向，
2
即%一，=（；）"一2,
于是a=4+（&_〃]）+（/—与）+…+（a_，_i）
=-3+[
（1）'-2]+[（%-2]+…+d）"T—2]
=-3+
（1）'+（I）22（n-l）=一（Ji-2〃,
故数列的力的通项公式为或=-d）"T一2〃.
2
（2）由⑴知c”=（-1）»〃=（一，产+（-1严2?
2
所以52h=（1+2）+（-1-4）+（-+6）+..•+[（-+（-1/田•2•2•
22
=[1+（」"+...+（__1严]+[2-4+...+2（2〃-1）-2.2"]22
221
=——+（-2）x^-=-[l-（-）H]-2«.
1-（-1）234
2
19.答案：
（1）r«0.94>0,9,故），与x线性相关；
（2）列联表见解析，有90%的把握认为：
（3）
EX=20,DX=n.
饮越感，X=
_8+10+13+25+24
V==16,
，5
故£U-幻（y-乃=（―2）x（―8）+（―1）x（-6）+1/-I
55
^（x.-x）2=4+1+1+4=10,Z（£—y）2=64j-li-l
£（七一初y一刃
则,—i1——/—/—=
V10xV254
故），与X线性相关.
（2）依题意，完善表格如下：
11
=ZUlOt
x9+2x8=47,
+36+9+81+64=25,
47
二,—六0・94>0.9,2V635
2014+2015+2016+2017+2018
购置侍统燃油车
的宣钻锢源车
忌」
男性车主
18
6
24
女性车王
2
4
6
原计
20
10
30
2_30x（18x4-2x6）2_15
K-3./5>2./Ou,
20x10x24x64
故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.
42
（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为一=《，1
则X〜8（50,2）,222
所以EX=50x±=20,DX=50x-x（l—）=12.
20.答案：
（1）证明见解析：
（2）见解析.
（1）连接B。
，交AC于点O,
•・•平而A8C0为正方形，.・・ACJ_8£）,
又•・•_L平而ABCD，・•.BBi工AC,
•：
BBlQBD=B,，AC_L平面3片。
18,
又・・・3Pu平面Bq。
/，・・・AC_L8P.
（2）①选条件尸A=尸为，:
PA=PC=3y/i，：
.S“ac=Lx2①x4=4①,2
设点A到平而PBC的距离为/?
根据匕w=匕，八比•可得，-x4^/?
=-x-x2x2x4,解得力=逝，332
即点B到平而PAC的距离为6.
②选条件tanZBPBi=4后，
tanNBPq=篙=4戊，隹P=今°p=+（一］=后,
*e,Sapac=yx2>/2x
设点A到平而PBC的距离为h,
根据匕^用=匕~.可得,；xJ5^=：
x；x2x2x4,解得/?
=/三
即点B到平而PBC的距离为由叵.
33
③选条件二面角P-AC-B的正弦值为容,
VPOLAC.BOLAC.•••二面角尸一人。
一8的平面角为/尸。
8,
.•・sinAPOB=~^=箸，PO=2卮，S,PAC=；x2近x26=2M,
设点A到平面PBC的距离为h,
根据匕可得,|x2V10/z=lxlx2x2x4,解得〃=T°,
即点B到平而PAC的距离为3芈.
21.答案：
（1）见解析；
（2）[l,+cc）.
/（幻的定义域为（0,+8）,
1lax2+（a-2）x-\（2x+l）（«x-l）
J（x）=lax——+（。
-2）==.
XXX
当aWO时，f（x）<0,所以/（x）在（0,y）单调递减；
当a>0时，/'（x）=0,得x=—,a
当X£（0,‘）时，/"（%）<0；当xe（1,+s）时，/（工）>0,aa
所以当a>。
时，/（外在（0」）单调递减：
在（L+s）单调递增,综上，当a4
升级会员 