小学数学思想与方法的渗透与实践.docx

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小学数学思想与方法的渗透与实践

小学数学思想与方法的渗透与实践

 问题一：

数学是被发明的还是发现的？

        美国物理学家维格纳：

“数学有一部分是被发明的，有一部分是被发现的。

通常情况下，人类发明了数学概念，之后则是发现了概念之间的联系。

”

问题二：

数学的最高教育价值追求是什么？

      数学知识与技能、数学思想与方法、数学观念系统

数学思想与方法

1.课标观点

（1）课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。

——《数学课程标准》2011版P2

（2）教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。

教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

——《数学课程标准》2011版P3

（3） 通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

（四基）（四能） 

 2.专家观点

 最有价值的知识是关于方法的知识。

——达尔文

 作为知识的数学，通常在出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想和研究方法等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。

------日本数学教育家米山国藏

 一流的数学老师教思想，二流的数学老师教方法，三流的数学老师教知识。

——邱学华

一个优秀的数学老师不仅要教看得见的知识，还要教看不见的知识。

因为看不见的知识才是学生能带走的真能力。

 ——徐长青

一、什么是数学思想方法  

 数学思想方法是数学思想与数学方法的合称。

所谓数学思想是指从具体的数学内容提炼出来的对数学知识的本质认识，是建立数学理论和解决问题的指导思想。

数学方法是指研究数学问题过程中所采用的手段、途径、方式、步骤、程序等，它通过一些规则或模式达到某种预期的目的。

 二、如何开展数学思想方法的渗透教学

 1．数学思想方法的教学规定（课标、课程）

       《数学课程标准》（2011版）：

 教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，基本的数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。

-------从整体把握小学数学课程的角度来看数学思想方法。

（数学课程内容、数学课程目标、学生的数学学习）

2．数学思想方法的渗透教学

（1）渗透数学思想方法三个时期：

    潜意识时期——明朗和形成时期——深化时期

（2）设计一个具体的数学思想方法的教学过程分为三个阶段

       多次孕育（渗透） “教者有意、学者无心”  

      初步形成（介绍） “理性认识”

      应用发展（突出）   “选用善用”

三、小学数学思想方法（教材中的体现、教学中的实施）

      在小学数学体系中最基本的、最核心的数学思想是数学抽象、数学推理、数学模型。

      十大核心概念：

数感、符号意识、空间观念、几何直观、运算能力、数据分析观念、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。

 在小学数学体系中有哪些基本思想方法呢？

抽象：

符号化思想、分类思想、数形结合思想、极限思想

推理：

转化思想、类比思想、集合思想、优化思想、归纳思想、分析法和综合法

模型：

对应思想、模型思想、函数思想、方程思想、代换思想、统计思想

1、符号化思想（抽象）

符号化思想就是用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容。

数学课程中的数学符号大致可分为数字符号、运算符号、关系符号和计量符号四大类。

小学符号化思想在教材中的体现：

（1）“数与代数”版块：

用字母表示计量单位（如质量单位、时间单位等）；用字母表示数、数量关系；数的认识（分数），运算符号，关系符号，比号，百分号

（2）“图形与几何”版块：

用字母表示计量单位（如长度、面积、体积单位等）；用字母表示图形的计算公式；各类图形、位置关系等的符号（如角，直线、线段、射线，垂直，平行等）；用数对确定位置

（3） “统计与概率”版块：

统计中整理与记录的符号（如“正”字记录法）；用分数表示概率的大小

 2、类比思想（合情推理）

类比推理是根据两个或两类对象在某方面相同或相似的性质，通过推理得出它们在其他方面也相同或者相似的一种思维方法。

类比思想在教材中的体现：

（1）“数与代数”版块 ：

万以上数的认识、大小比较可以与万以内数的认识、大小比较进行类比，发现它们的方法是相似的。

三位数乘两位数与两位数乘两位数的加减法类比，得出竖式计算方法。

（除法同理）小数乘（除）法同整数乘（除）法进行类比，得出运算律和四则运算顺序同样适用于小数。

（2）“图形与几何”版块：

将平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式的推导过程进行类比，发现它们都是利用转化思想而推导出来的。

3、归纳思想（合情推理）

归纳思想是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推理得出这类事物的所有对象都具有这种性质的思想（简称归纳），即从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

（1）“数与代数”版块：

万以内或万以上数的认识中读法、写法、大小比较等都是与已经知识进行类比、比较后，归纳出方法。

运算法则的得出都是通过几个式子的计算，然后观察、比较，归纳出计算方法

探索规律：

观察-猜想-验证-（归纳）结论。

（2） “图形与几何”版块：

多边形面积公式的推导，总体思想是转化，具体方法是几何变换，实际上用到了归纳，即通过几个不同的图形进行研究，然后得出一个普遍的结论。

4、分类思想（抽象）

 分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

（1）“数与代数”版块：

数认识的分类（如整数、小数、分数、负数；非零自然数分为质数、合数和1，或者偶数和奇数；小数分为有限小数和无限小数等）

 数运算的分类（如整数乘除法、小数乘除法、分数乘除法；四则运算等）

 数字编码的分类（如邮政编码是按照一定标准把全国划分为不同的邮区和投递局进行编码；身份证号码是按照省、市、区（县）为标准，把每个人以出生地为依据来确定的）

（2）“图形与几何”版块：

图形认识的分类（如长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等）。

立体图形认识的分类（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）

 同一平面上两条直线的位置关系：

相交（垂直）、平行

（3）“统计与概率”版块：

统计表的分类（如单式统计表、复式统计表等）

统计图的分类（如条形统计图、拆线统计图、扇形统计图等）

 事件发生的分类（如确定事件、不确定事件-概率等）

 5、模型思想（抽象/模型）

 数学模型是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。

数学模型的建立需要让学生经历“问题情境-建立模型-求解验证”的过程。

（1）“数与代数”版块：

 常见的数量关系式（如速度×时间=路程，单位×数量=总价等）

植树问题，出勤率、发芽率、成活率等

四则运算意义的模型（如乘法-几个几，除法-平均分、包含）；计算法则。

（2） “图形与几何”版块：

 各类图形周长、面积、体积的计算公式，如：

长方形周长计算公式C=2（a+b）

 图形概念的建立。

如：

相交（垂直）、平行

 6、转化（化归）思想（推理）

 转化（化归）思想是指数学中把待解决的问题，通过转化成已经解决或者比较容易解决的问题，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。

         转化（化归）的总方向是“由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易”。

（1）“数与代数”版块：

100以内数的加减法转化成20以内的加减法来计算。

小数乘法转化成整数乘法计算出积，再根据乘法积的变化规律和小数点移动的规律，点上小数点。

除数是小数的除法运用商不变的性质转化成除数是整数的除法。

 分数除法根据分数的意义、分数与除法的关系，转化分数乘法来进行计算。

（2）“图形与几何”版块：

由于千米概念不容易理解，转化成10个100米跑道或2圈半的标准400米跑道。

多边形面积公式的推导，总体思想是运用转化，把新的图形转化为已知学过的图形计算面积，具体方法是平移和旋转。

“多边形的面积”组合图形的面积，把组合图形分割后转化成几个简单的能够直接计算面积的图形。

圆柱体积公式的推导转化为长方体来计算。

 7、数形结合思想（抽象）

 数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包括“以形助数”和“以数解形”两个方面。

（1）“数与代数”版块（以形助数）：

“数的认识”运用大量的图形作为直观手段及操作学具帮助理解与计算-以形助数。

 “数的运算”运用大量的图形作为直观手段帮助理解算理和算法-以形助数。

 “问题解决”运用线段图等作为直观手段帮助理解数量关系，解决问题-以形助数。

（2）“图形与几何”版块：

“多边形周长、面积的计算”用数量描述多边形的特征-以数解形。

（3）“统计与概率”版块：

“条形统计图”描述生活中的各种数据时，在直角坐标系里画长方形（直条），具有直观、易比较等特点-以形助数的直观性。

“扇形统计图”体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分数量与总量之间的关系-以形助数。

 8、对应思想（模型）

 对应是现代数学中重要的基本概念之一。

它所反映的是两个集合的元素间的关系。

对应思想是许多数学概念与数学方法的基础

（1）“数与代数”版块：

 “数的大小比较、数量多少的比较”采用一一对应找出相同的部分，剩下的部分就是多的。

 “植树问题”关于封闭路线的植树问题，间隔数与植树的棵数一一对应。

 “倍的认识”用一倍量与几倍量的去一一对应

（2） “图形与几何”版块

“位置”一个有序数对（a,b）对应平面上一个点，数a对应横轴上的一个点，数b对应纵轴上的一个点。

 9、极限思想（抽象/推理）

 极限思想是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法。

它是事物转化的重要环节，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变，了解它有重要意义。

（1）“数与代数”版块：

 “数的认识”关于自然数（质数与合数，偶数与奇数）的个数

“循环小数的认识”通过无限小数位数去感受极限思想

（2） “图形与几何”版块

“直线、射线、平行线的认识”让学生想像两端无限延长，体会无限思想

 “圆的面积”把圆转化成近似的长方形，当分的份数越来越多，最后就变成了长方形，让学生体会极限思想。

 “圆柱的体积”把圆柱转化成近似的长方体，当分的份数越来越多，最后就变成了长方体，让学生体会极限思想。

 10、集合思想（推理）利用图形间的关系向学生渗透集合之间的关系，这种思想就是集合思想

（1） “数与代数”版块：

 “四则运算的意义”关于每种运算意义的理解，让学生体会每种运算就是一个集合。

“数的整除”关于因数和倍数，质数和合数，2、3、5倍数的特征，公因数和公倍数，最大公因数和最小公倍数等，都可以让体会集合的意义

（2） “图形与几何”版块

“平行四边形、长方形与正方形的关系”通过感受它们之间的包含关系，体会集合思想的意义。

“图形的分类”通过分类，把相同性质的每类事物放在一起就是一个集合，体会集合思想的意义。

11、函数思想（模型/推理）

函数思想方法就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化，合理地构造函数，运用函数的图像和性质使问题获得解决。

（1）“数与代数”版块：

 “积的变化规律”结合乘法中积的变化规律体会函数思想。

 “商不变的性质”结合除法中商的变化规律体会函数思想。

 “常见的数量关系式”如单价×数量=总价。

“正比例和反比例”通过画正反比例的图像，感受函数思想。

 “问题解决”如出租车计费。

通过出租车计费的计算体会分段函数的思想，即打车计费分两种情况考虑。

y=10+1.8（x-3）。

（2） “图形与几何”版块：

 “图形的计算公式”如圆的周长C=πd=2πr和面积S=πr2，让学生体会到函数思想，即圆的周长和面积是随着圆的半径变化而变化的。

12、优化思想（推理）

“数学广角”中的烙饼问题、沏茶问题、码头卸货、赛马问题

 “计算教学与问题解决”对多种算法的择优选择

 13、等量代换（推理/模型）

 等量代换是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）

 解方程

 数学广角（等量代换）