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8非线性

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

这一章讨论在ABAQUS中的非线性结构分析。

在线性与非线性分析之间的区别概述如下。

死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

线性分析

教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。

到目前为止所讨论的分析均为线性分析：

在外加载荷与系统的响应之间为线性关系。

例如，如果一个线性弹簧在10N的载荷作用下静态地伸长1ｍ，那么当施加20N的载荷时它将伸长2ｍ。

这意味着在ABAQUS/Standard的线性分析中，结构的柔度陈（将刚度阵集成并求逆）只需计算一次。

通过将新的载荷向量乘以刚度阵的逆，可得到结构对其它载荷情况的线性响应。

此外，结构对各种载荷情况的响应，可以用常数放大和/或相互叠加，以确定它对一种全新载荷情况的响应，所提供的新载荷情况是前面各种载荷的叠加（或相乘）。

这种载荷的叠加原理假定所有的载荷情况是采用了相同的边界条件。

在线性动态模拟中，ABAQUS/Standard也使用了载荷叠加原理，我们已在第7章“线性动态分析”中进行了讨论。

非线性分析

非线性结构问题是指结构的刚度随其变形而改变的问题。

所有的物理结构均是非线性的。

线性分析只是一种方便的近似，它对设计来说通常是足够的。

但是很显然，对于许多结构包括加工过程的模拟，诸如锻造或者冲压；碰撞分析；以及橡胶部件的分析，诸如轮胎或者发动机支座，线性分析是不够的。

一个简单的例子就是具有非线性刚度响应的弹簧（见图8-1）。

图8-1线性和非线性弹簧特性

由于刚度现在是依赖于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加载荷的方法来计算任意载荷时弹簧的位移了。

在非线性隐式分析中，结构的刚度阵在整个分析过程中必须进行许多次的生成和求逆，这使得分析求解的成本比线性隐式分析昂贵得多。

在显式分析中，非线性分析增加的成本是由于稳定时间增量减小而造成的。

在第9章“非线性动态分析”中将进一步讨论稳定时间增量。

由于非线性系统的响应不是所施加载荷值的线性函数，因此不可能通过叠加来获得不同载荷情况的解答。

每种载荷情况都必须作为独立的分析进行定义和求解。

8.1非线性的来源

在结构力学模拟中有三种非线性的来源：

●材料非线性

●边界非线性

●几何非线性

8.1.1材料非线性

这种非线性可能是人们最熟悉的，我们将在第10章“材料”中进行更深入的讨论。

大多数金属在低应变值时都具有良好的线性应力/应变关系；但是在高应变时材料发生屈服，此时材料的响应成为了非线性和不可逆的（见图8-2）。

图8-2弹－塑性材料轴向拉伸的应力－应变曲线

橡胶材料可以用一种非线性、可逆（弹性）响应的材料来近似（见图8-3）。

图8-3橡胶类材料的应力－应变曲线

材料的非线性也可能与应变以外的其它因素有关。

应变率相关材料数据和材料失效都是材料非线性的形式。

材料性质也可以是温度和其它预先定义的场变量的函数。

8.1.2边界非线性

如果边界条件在分析过程中发生变化，就会产生边界非线性问题。

考虑图8-4所示的悬臂梁，它随着施加的载荷产生挠曲，直至碰到障碍物。

图8-4将碰到障碍物的悬臂梁

梁端点在接触到障碍物以前，其竖向挠度与载荷成线性关系（如果挠度是小量）。

当碰到障碍物时梁端点的边界条件发生了突然的变化，阻止了任何进一步的竖向挠度，因此梁的响应将不再是线性的。

边界非线性是极度的不连续；当在模拟中发生接触时，在结构中的响应是很大的并且是瞬时变化的。

另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。

在与模具接触前，板材在压力下比较容易发生伸展变形。

在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。

在第12章“接触”中将讨论边界非线性。

8.1.3几何非线性

非线性的第三种来源是与在分析中模型的几何形状改变相联系的。

几何非线性发生在位移的大小影响到结构响应的情况。

这可能是由于：

●大挠度或大转动。

●“突然翻转”（Snapthrough）。

●初应力或载荷刚性化。

例如，考虑在端部竖向加载的悬臂梁（见图8-5）。

图8-5悬臂梁的大挠度

如果端部的挠度较小，可以认为是近似的线性分析。

然而，如果端部的挠度较大，结构的形状乃至于其刚度都会发生改变。

另外，如果载荷不能保持与梁垂直，载荷对结构的作用将发生明显的改变。

当悬臂梁挠曲时，载荷的作用可以分解为一个垂直于梁的分量和一个沿梁长度方向的分量。

这两种效应都会贡献到悬臂梁的非线性响应中（即，随着梁承受载荷的增加，梁的刚度发生变化）。

我们希望大挠度和大转动对结构承载的方式会产生显著的影响。

然而，并非位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。

考虑一块很大的具有浅曲率的板，如图8-6所示，在所受压力下的“突然翻转”。

图8-6大板的突然翻转

在此例子中，板的刚度在变形时会产生剧烈的变化。

当板突然翻转时，刚度变成为负的。

这样，尽管位移的量值相对于板的尺寸是很小，但是有明显的几何非线性，必须在模拟中加以考虑。

8.2非线性问题的求解

关于结构的非线性载荷－位移曲线，如图8-7所示，分析的目标是确定其响应。

考虑作用在物体上的外部力P和内部（节点）力I,（分别见图8-8（a）和图8-8（b））。

由包含一个节点的各个单元中的应力引起了作用于该节点上的内部力。

图8-7非线性载荷－位移曲线

（a）在模拟中的外部载荷（b）作用于节点上的内部力

图8-8物体上的外部载荷和内部作用力

为了使物体处于静态平衡，作用在每个节点上的静力必须为零。

因此，静态平衡的基本状态是内部力I和外部力P必须互相平衡：

ABAQUS/Standard应用Newton-Raphson算法获得非线性问题的解答。

在非线性分析中，不能像在线性问题中做的那样，通过求解单一系统的方程计算求解。

而是和增量地施加给定的载荷求解，逐步地获得最终的解答。

因此，ABAQUS/Standard将模拟划分为一定数量的载荷增量步（loadincrements），并在每个载荷增量步结束时寻求近似的平衡构形。

对于一个给定的载荷增量步，ABAQUS/Standard通常需要采取若干次迭代才能确定一个可接受的解答。

所有这些增量响应的总和就是非线性分析的近似解答。

因此，为了求解非线性问题，ABAQUS/Standard组合了增量和迭代过程。

通过显式地从上一个增量步前推出动力学状态而无需进行迭代，ABAQUS/Explicit确定了动平衡方程

的解答。

显式地求解一个问题，不需要切向刚度矩阵的计算。

显式中心差分算子满足了在增量步开始时刻t的动力学平衡方程；利用在时刻t计算的加速度，前推出在时刻

的速度解答和在时刻

的位移解答。

对于线性和非线性问题是相似的，显式方法都需要一个小的时间增量步，它只依赖于模型的最高阶自振频率，而是与载荷的类型和加载时间无关。

典型的模拟需要大量的增量步；然而事实上，由于在每个增量步中无需求解全体方程的集合，所以每一个增量步的计算成本，显式方法比隐式方法要小得多。

正是显式动态方法的小增量步特点，使得ABAQUS/Explicit非常适合于非线性分析。

8.2.1分析步、增量步和迭代步

本节将引入一些新词汇以描述分析过程的不同部分。

清楚地理解在分析步（step）、载荷增量步（loadincrement）和迭代步（iteration）相互之间的区别是很重要的。

●模拟计算的加载历史包含一个或多个步骤。

你定义的分析步，一般地包括一个分析过程选项、载荷选项和输出要求选项。

在每个分析步可以应用不同的载荷、边界条件、分析过程选项和输出要求。

例如：

●步骤一：

在刚性夹具上夹持板材。

●步骤二：

加载使板材变形。

●步骤三：

确定已变形板材的固有频率。

●增量步是分析步的一部分。

在非线性分析中，施加在一个分析步中的总载荷被分解成更小的增量步，这样就可以按照非线性求解步骤进行计算。

在ABAQUS/Standard中，你可以建议第一个增量步的大小。

ABAQUS/Standard会自动地选择后继增量步的大小。

在ABAQUS/Explicit中，时间增量步是完全地自动默认的，而无需用户干预。

由于显式方法是条件稳定的，对于时间增量步具有稳定极限值。

在第9章“非线性显式动态分析”中将讨论稳定时间增量。

在每个增量步结束时，结构是处于（近似的）平衡状态，并且可以将结果写入输出数据库、重启动、数据、或者结果文件中。

如果选择在某一增量步将计算结果写入输出数据库文件，这个增量步称为画框（frames）。

●在ABAQUS/Standard和在ABAQUS/Explicit的分析中，与时间增量有关的问题是非常不同的，原因是在ABAQUS/Explicit中的时间增量通常是更小一些。

●当采用隐式方法求解时，迭代步是在一个增量步中寻找平衡解答的一次试探。

在迭代结束时，如果模型不是处于平衡状态，ABAQUS/Standard将进行新一轮迭代。

经过每一次迭代，ABAQUS/Standard获得的解答应当是更加接近于平衡状态；有时ABAQUS/Standard可能需要许多次迭代才能得到平衡解答。

当已经获得了平衡解答，增量步即告完成。

仅当一个增量步结束时才能输出所需要的结果。

●在一个增量步中，ABAQUS/Explicit无需迭代即可获得解答。

8.2.2ABAQUS/Standard中的平衡迭代和收敛

对于一个小的载荷增量∆P，结构的非线性响应如图8-9所示。

ABAQUS/Standard应用基于结构初始构形u0的结构初始刚度K0，和∆P计算关于结构的位移修正值（displacementcorrection）ca。

利用ca将结构的构形更新为ua。

图8-9在一个增量步中的首次迭代

收敛性（convergence）

ABAQUS/Standard基于结构更新的构形ua，形成了新的刚度Ka。

也利用更新的构形，ABAQUS/Standard计算内部作用力Ia。

现在可以计算在所施加的总载荷P和Ia之间的差为：

其中Ra是对于迭代的残差力（forceresidual）。

如果Ra在模型中的每个自由度上均为零，在图8-9中的a点将位于载荷－挠度曲线上，并且结构将处于平衡状态。

在非线性问题中，几乎不可能使Ra等于零，因此，ABAQUS/Standard将Ra与一个容许值进行比较。

如果Ra是小于这个残差力容许值，ABAQUS/Standard就接受结构的更新构形作为平衡的结果。

默认的容许值设置为在整个时间段上作用在结构上的平均力的0.5%。

在整个模拟过程中，ABAQUS/Standard自动地计算这个在空间和时间上的平均力。

如果Ra是比目前的容许值小，认为P和Ia是处于平衡状态，而ua就是结构在所施加载荷下有效的平衡构形。

但是，在ABAQUS/Standard接受这个结果之前，还要检查位移修正值ca是否相对小于总的增量位移，∆ua＝ua－u0。

若ca是大于增量位移的1%，ABAQUS/Standard将再进行一次迭代。

只有这两个收敛性检查都得到满足，才认为此载荷增量下的解是收敛