浮点转定点方法总结.docx
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浮点转定点方法总结
浮点转定点方法总结
—孔德琦
定点运算方法
1.1数的定标
对某些处理器而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。
但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。
那么，如何处理小数的呢？
应该说，处理器本身无能为力。
那么是不是就不能处理各种小数呢？
当然不是。
这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。
这就是数的定标。
通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。
数的定标用Q表示法。
表1.1列出了一个16位数的16种Q表示能表示的十进制数值范围和近似的精度。
Q表示
精度（近似）
十进制数表示范围
Q15
-1≤X≤
Q14
-2≤X≤
Q13
-4≤X≤
Q12
-8≤X≤
Q11
-16≤X≤
Q10
-32≤X≤
Q9
-64≤X≤
Q8
-128≤X≤
Q7
-256≤X≤
Q6
-512≤X≤
Q5
-1024≤X≤
Q4
-2048≤X≤
Q3
-4096≤X≤
Q2
-8192≤X≤
Q1
-16384≤X≤
Q0
1
-32768≤X≤32767
表1.1Q表示、S表示及数值范围
从表1.1可以看出，同样一个16位数，假设小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。
例如：
16进制数2000H＝8192，用Q0表示
16进制数2000H＝，用Q15表示
从表1.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。
Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。
例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到，精度为。
因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比拟大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，那么数的表示范围就相应地减小。
在实际的定点算法中，为了到达最正确的性能，必须充分考虑到这一点。
浮点数与定点数的转换关系可表示为：
浮点数（x）转换为定点数（
）：
定点数（
）转换为浮点数（x）：
例如，浮点数，定标Q＝15，那么定点数
＝
，式中
表示下取整。
反之，一个用Q＝15表示的定点数16384，其浮点数为16384×2-15
＝。
1.2c语言：
从浮点到定点
下面所描述的几种根本运算是浮点到定点转换中经常遇到的，从中可以体会到一些根本的技巧和方法。
1.2.1加法
设浮点加法运算的表达式为：
floatx,y,z;
z=x+y;
将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。
假设两者不一样，那么在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。
为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。
此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示，即数的动态范围。
如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，那么必须保存32位结果，以保证运算的精度。
1．结果不超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，那么
z＝x+y⇒
=
=
⇒
一般情况，我们取x,y和z的定标值相同，即Qx=Qy=Qz=Qa。
所以定点加法可以描述为：
shortx,y,z;//Qa
z=add（x,y）；//Qa
函数add（）有防饱和机制，如果可以确信x+y不会溢出〔-2^15<=z<=2^15-1〕，可以直接写为z=x+y.
定点减法:
shortx,y,z;//Qa
z=sub（x,y）；//Qa
函数sub（）有防饱和机制，如果可以确信x-y不会溢出〔-2^15<=z<=2^15-1〕，可以直接写为z=x-y.
2．结果超过16位表示范围
设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法结果z的定标值为Qz,那么定点加法为：
intx，y；
longtemp，z；
temp＝y<<（Qx-Qy）；
temp＝x＋temp;
z＝temp>>（Qx-Qz），假设Qx≥Qz
z＝temp<<（Qz-Qx），假设Qx≤Qz
一般情况，我们取x,y和z的定标值相同，即Qx=Qy=Qz=Qa。
所以定点加法可以描述为：
intx,y,z;//Qa
z=L_add（x,y）；//Qa
函数L_add（）有防饱和机制，如果可以确信x+y不会溢出〔-2^31<=z<=2^31-1〕，可以直接写为z=x+y.
定点减法:
intx,y,z;//Qa
z=L_sub（x,y）；//Qa
函数L_sub（）有防饱和机制，如果可以确信x-y不会溢出〔-2^31<=z<=2^31-1〕，可以直接写为z=x-y.
3.结果超过32位表示范围
这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。
定点加法可以描述为：
#defineNN_DIGITunsignedint
NN_DIGITx[digits],y[digits],z[digits];//Qa
NN_Add（z,x,y,digits）;//Qa
定点减法:
NN_DIGITx[digits],y[digits],z[digits];//Qa
NN_Sub（z,x,y,digits）;Qa
应注意的是以上32位定点加减法都是无符号数操作。
1．16位乘法
设浮点乘法运算的表达式为：
floatx,y,z;
z=xy;
假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，那么
z=xy⇒
=
⇒
=
所以定点表示的乘法为：
shortx;//Qx
shorty;//Qy
intz;//Qz
z=L_mult（x,y）>>（Qx+Qy+1-Qz）;
上式中x乘y的定标本来应该是Qx+Qy,但为了处理方便，函数L_mult（）多乘了一次2，因此要再加1。
函数L_mult（）有防饱和机制，如果可以确信z=xy不会溢出〔-2^31<=z<=2^31-1〕，可以直接写为z=（xy）>>（Qx+Qy-Qz）。
2.结果超过32位表示范围
这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。
定点乘法可表示为：
#defineNN_DIGITunsignedint
NN_DIGITx[digits];
NN_DIGITy[digits];
NN_DIGITz[2*digits];
NN_Mult（z,x,y,digits）;
应注意的是以上32位乘法都是无符号数操作，如果需要做有符号数乘法，那么需要根据乘数的符号来判断。
例1
设，，那么浮点运算值为z×36.8=677.12;
设Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以
intx=18841；//Q10
inty=18841；//Q9
z=L_mult（18841,18841）>>（10+9+1-5）=354983281L>>14=21666;
因为z的定标值为5，故定点z=21666即为浮点的。
例2
设，，那么浮点运算值为z×36.8=677.12;
#defineNN_DIGITunsignedint
设Qx=20,Qy=20,Qy=20,所以
NN_DIGITx=18.4*（1<<20）;//Q20
NN_DIGITy=*（1<<20）;//Q20
NN_DIGITz[2];//Q20
NN_Mult（z,&x,&y,1）;//Q40
NN_Rshift（z,z,20,1）;//Q（40-20）
1.32位除法
设浮点除法运算的表达式为：
floatx,y,z;
z=x/y;
假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，那么
z=x/y⇒
=
⇒
所以定点表示的除法为：
intx,y,z;
z=L_shl（x,（Qz-Qx+Qy））/y;//Qz
2.32位以上的除法
这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。
#defineNN_DIGITunsignedint
NN_DIGITx[2*digits];//Qx
NN_DIGITy[digits];//Qy
NN_DIGITz[digits];//Qz
NN_Lshift（x,x,（Qz-Qx+Qy）,2）;
NN_Div（z,x,2*digits,y,digits）;
做以上运算是要保证Qz-Qx+Qy<32,否那么要屡次移位来实现；应注意的是以上除法都是无符号数操作，如果需要做有符号数除法，需要根据被除数和除数的符号来判断。
例1：
设，，浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5;
根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=15；所以有
intx=18841,y=18841;
z=L_shl（x,（15-10+9））/18841;//308690944L/18841=16384
因为商z的定标值为15，所以定点z=16384即为浮点z=16384/215。
1.2.4三角函数运算
1正弦和余弦
一般求cos、sin用查表法，方法是预先定义正弦和余弦表，表的长度及表中各元素的定标是根据精度要求确定的，精度要求越高，表的长度及元素的定标都可以增加。
余弦表制作步骤:
1）计算cos（2*pi*t/N），其中0<=t<=N-1，N是0～2*pi之间的采样点数。
2）将以上结果〔浮点数〕按精度要求定标，如Q15，
3）建立数组tab_cos[N]，将以上结果作为该数组的元素。
正弦表的定义方法同上。
附录2中给出了余弦表tab_cos[360]和正弦表tab_sin[360]，精度是Q15。
例1求cos（2*pi*x/32）,x是定标为Qx的整数
cos（2*pi*x/32）=cos（（2*pi*（360*x/32）/360）;
程序如下：
intu=（L_mult（360,x）/32）%360;//Qx
intresult;
result=tab_cos[u];//Qx
例2求cos（x）,x是定标为Qx的整数
cos（x）=cos（2*pi*（360*x/（2*pi））/360），
程序如下：
intpi_Qx=3.1415*（1<intu=（L_mult（360,x）/（2*pi_Qx））%360;//Q0
intresult;
result=tab_cos[u];//Qx
上式中将pi定标为Qx的定点数。
如何进一步提高精度
一般可以增加表的长度即采样点数来提高精度，但在现有采样情况下，也有方法来提高精度。
方法是求出两采样点之间的斜率，根据当前采样点的位置求出更加精确的值。
例3求cos（x）,x是定标为Qx的整数
intpi_Qx=3.1415*（1<intu=（L_mult（360,x）/（2*pi_Qx））%360;//Q0
intpos=（L_mult（360,x））%（2*pi_Qx）;
intresult;
result=tab_cos[u]+（tab_cos[（u+1）%360]–tab_cos[u]）*pos/（2*pi_Qx）;
上面（u+1）%360以防u=359时越界。
2反正切atan（）
反正切函数
y=atan（x）
在x=-0.5～0.5之间近似线性，可以用y=x代替，在abs（x）>0.5时可以采用拟合的方法。
因此:
y=atan（x）≈
（-0.06）*x.^20.5拟合可以调用matlab的命令ployfit来做，例如：
x=[start:
0.1:
stop];
y=atan（x）;
pa=polyfit（x,y,2）;
上式中的运算都是简单的乘法运算，较为简单。
1.2.5开方运算
浮点开方运算描述为：
floatx,y;
y=sqrt（x）;
定点求开方有多种方法，各种方法在收敛速度上不尽相同，下面介绍几种常用的迭代算法。
1．Newton-Raphson-Babylonian算法：
给定整数N,求sqrt（N）。
首先确定初值x[0],然后利用一个简单的迭代公式：
x[n+1]=（x[n]+N/x[n]）/2
迭代次数的选择：
迭代次数与初值x[0]的选取很有关系，x[0]越接近sqrt（N）,收敛越快。
但总的来说，该方法收敛较快。
缺点是收敛时间不确定。
2．确定收敛速度的算法：
该方法描述如下：
intsqrt（intx）
{inttest,step;
if（x<0）return（-1）;if（x==0）return（0）;
step=1<<15;
test=0;
while（step!
=0）
{
registerinth;
h=（test+step）*（test+step）;
if（h<=x）{test+=step;}
if（h==x）break;
step>>=1;
}
return（test）;}
以上例子是32位开放运算，32位以上的开方运算可参考附录1voidfixsqrt（UINT4*a,UINT4*b,intdigits），方法同上。
求开方还可以运用线性拟合的方法，由于曲线变化较快，必须根据自变量的范围分段拟合才能到达理想的精度。
1.3附录
1.3.1附录1：
定点函数库
/*___________________________________________________________________________
||
|FunctionName:
L_add|
||
|Purpose:
|
||
|32bitsadditionofthetwo32bitsvariables（L_var1+L_var2）with|
|overflowcontrolandsaturation;theresultissetat+2147483647when|
|overflowoccursorat-2147483648whenunderflowoccurs.|
||
|Complexityweight:
2|
||
|Inputs:
|
||
|L_var132bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|
||
|L_var232bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|
||
|Outputs:
|
||
|none|
||
|ReturnValue:
|
||
|L_var_out|
|32bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var_out<=0x7fffffff.|
|___________________________________________________________________________|
*/
Word32L_add（Word32L_var1,Word32L_var2）
/*___________________________________________________________________________
||
|FunctionName:
L_sub|
||
|Purpose:
|
||
|32bitssubtractionofthetwo32bitsvariables（L_var1-L_var2）with|
|overflowcontrolandsaturation;theresultissetat+214783647when|
|overflowoccursorat-214783648whenunderflowoccurs.|
||
|Complexityweight:
2|
||
|Inputs:
|
||
|L_var132bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|
||
|L_var232bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|
||
|Outputs:
|
||
|none|
||
|ReturnValue:
|
||
|L_var_out|
|32bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var_out<=0x7fffffff.|
|___________________________________________________________________________|
*/
Word32L_sub（Word32L_var1,Word32L_var2）
/*___________________________________________________________________________
||
|FunctionName:
add|
||
|Purpose:
|
||
|Performstheaddition（var1+var2）withoverflowcontrolandsaturation;|
|the16bitresultissetat+32767whenoverflowoccursorat-32768|
|whenunderflowoccurs.|
||
|Complexityweight:
1|
||
|Inputs:
|
||
|var1|
|16bitshortsignedinteger（Word16）whosevaluefallsinthe|
|range:
0xffff8000<=var1<=0x00007fff.|
||
|var2|
|16bitshortsignedinteger（Word16）whosevaluefallsinthe|
|range:
0xffff8000<=var1<=0x00007fff.|
||
|Outputs:
|
||
|none|
||
|ReturnValue:
|
||
|var_out|
|16bitshortsignedinteger（Word16）whosevaluefallsinthe|
|range:
0xffff8000<=var_out<=0x00007fff.|
|___________________________________________________________________________|
*/
Word16add（Word16var1,Word16var2）
/*___________________________________________________________________________
||
|FunctionName:
sature|
||
|Purpose:
|
||
|Limitthe32bitinputtotherangeofa16bitword.|
||
|Inputs:
|
||
|L_var1|
|32bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|
|range:
0x80000000<=L_var1<=0x7fffffff.|
||
|Outputs:
|
||
|none|
||
|ReturnValue:
|
||
|var_out|
|16bitshortsignedinteger（Word16）whosevaluefallsinthe|
|range:
0xffff8000<=var_out<=0x00007fff.|
|___________________________________________________________________________|
*/
Word16sature（Word32L_var1）
/*_____________________________________
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