11.（2017眉山）若一次函数y＝（a＋1）x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax－ax（）
2
a
4
a
4
A.有最大值B.有最大值－
a
4
a
4
C.有最小值D.有最小值－
12.（2017兰州）下表是一组二次函数y＝x＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
2
x
y
1
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x＋3x－5＝0的一个近似根是（）
2
A.1B.1.1C.1.2D.1.3
第13题图
13.（2017河北）如图，若抛物线y＝－x＋3与x轴围在封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都
2
k
x
是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x>0）的图象是（）
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14.（2017长沙中考模拟卷六）已知二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，
2
第14题图
c
现有下列结论：
①b－4ac>0；②abc>0；③>－8；④9a＋3b＋c<0.其中，正确结论的个数是（）
2
a
A.1B.2C.3D.4
15.（2017苏州）若二次函数y＝ax＋1的图象经过点（－2，0），则关于x的方程a（x－2）＋1＝0的实数
2
2
根为（）
A.x＝0，x＝4B.x＝－2，x＝6
1
2
1
2
3
5
C.x＝，x＝D.x＝－4，x＝0
2
2
1
2
1
2
16.（2017乐山）已知二次函数y＝x－2mx（m为常数），当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m
2
的值是（）
3
2
3
3
B.2C.或2D.－或2
A.
2
2
17.（2017上海）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，－1），那么这个二次函数的解析式
可以是______________．（只需写一个）
18.（2017百色）经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是______________．
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19.（2017广州）当x＝________时，二次函数y＝x－2x＋6有最小值________．
2
第20题图
20.（2017兰州）如图，若抛物线y＝ax＋bx＋c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则Q
2
点的坐标为________．
21.（2017青岛）若抛物线y＝x－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是________．
2
第22题图
22.（2017咸宁）如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax＋bx＋c交于A（－1，p），B（4，q）两点，则关于
2
x的不等式mx＋n>ax＋bx＋c的解集是____．
2
23.（2017鄂州）已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y＝（x＋1）向
2
下平移m个单位（m>0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是________．
24.（6分）设二次函数y＝x＋px＋q的图象经过点（2，－1），且与x轴交于不同的两点A（x，0），B（x，
2
1
2
0），M为二次函数图象的顶点，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．
25.（8分）（2017云南）已知二次函数y＝－2x＋bx＋c图象的顶点坐标为（3，8），该二次函数图象的对
2
称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点．
（1）不等式b＋2c＋8≥0是否成立？
请说明理由；
（2）设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标．
26.（8分）（2017北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x－4x＋3与x轴交于点A，B（点A在点B
2
的左侧），与y轴交于点C.
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x，y），Q（x，y），与直线BC交于点N（x，y）．若x＜x
1
1
2
2
3
3
1
2
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＜x，结合函数的图象，求x＋x＋x的取值范围．
3
1
2
3
27.（9分）（2017荆州）已知关于x的一元二次方程x＋（k－5）x＋1－k＝0，其中k为常数．
2
（1）求证：
无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y＝x＋（k－5）x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
2
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．
28.（9分）（2017郴州）设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者．例如：
max{－1，
－1}＝－1，max{1，2}＝2，max（4，3）＝4.参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；
（2）若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；
（3）求函数y＝x－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标．函数y＝x－2x－4的图象如图所示，请你在
2
2
图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x－2x－4}的最小值．
2
第28题图
能力提升训练
1.（2017天津）已知抛物线y＝x－4x＋3与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），顶点为M，平移该抛
2
物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线
解析式为（）
A.y＝x＋2x＋1B.y＝x＋2x－1
2
2
C.y＝x－2x＋1D.y＝x－2x－1
2
2
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第2题图
2.（2017扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y＝x＋
2
bx＋1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）
A.b≤－2B.b<－2
C.b≥－2D.b>－2
3.（2017长沙中考模拟卷二）已知二次函数y＝ax＋bx＋c（a>0）经过点M（－1，2）和点N（1，－2），交x
2
轴于点A，B，交y轴于点C.现有以下四个结论：
①b＝－2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存
在实数a，使得M，A，C三点在同一条直线上；④若a＝1，则OA·OB＝OC.其中，正确的结论有（）
2
A.①②③④B.②③④
C.①②④D.①②③
4.（2017武汉）已知关于x的二次函数y＝ax＋（a－1）x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0），
2
2
若25.（9分）（2017天津）已知抛物线y＝x＋bx－3（b是常数）经过点A（－1，0）．
2
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′.
①当点P′落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P′落在第二象限内，P′A取得最小值时，求m的值．
2
答案
3
1
1
1.B【解析】y＝－（x＋）－3为顶点式，顶点坐标是（－，－3）．
2
5
2
2
2.B【解析】由二次函数y＝－（x－1）＋2可知，对称轴为直线x＝1排除选项C，D，函数开口向下，
2
有最大值，当x＝1时，最大值为y＝2，故选B.
3.A【解析】∵对称轴x＝1且经过点P（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（－1，0），代入抛物
线解析式y＝ax＋bx＋c中，得a－b＋c＝0.
2
4.C【解析】如解图，根据图象可知，y>0，y>0，且y>y＞0.
1
2
1
2
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第4题解图
b
2a
b
2a
5.B【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝－在y轴右侧，∴－＞0，∴b＞0，又∵图
象与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.
6.A【解析】由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知：
当y＝3x－3的图象向右平移3个
2
单位时，得到新抛物线的表达式为y＝3（x－3）－3.
2
b
7.A【解析】对称轴x＝－＝1，代入表达式可得y＝m＋1，∴顶点坐标为（1，m＋1），∵m≥0，∴
2
2
2
2a
m＋1≥1，∴顶点坐标在第一象限．
2
8.C【解析】∵二次函数y＝（x＋m）－n的顶点在第二象限，∴－m<0，－n>0，∴m>0，n<0，mn<0，
2
mn
x
∴一次函数y＝mx＋n经过第一、三、四象限，反比例函数y＝经过第二、四象限．
9.C【解析】∵b－4ac＝（－2m）－4×1×（－3）＝4m＋12＞0，∴图象与x轴有两个交点，A正确；
2
2
2
令y＝0得x－2mx－3＝0，方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标，由A知图象与x轴有两个交点，故
2
－3
方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为＝－3，B正确；根据抛物线对
1
b
2a
－2m
称轴公式可得对称轴为x＝－＝－
＝m，∵m的值不能确定，故对称轴是否在y轴的右侧不能确定，
2
C错误；∵a＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴左侧的函数值y随x的增大而减小，由C知抛物线对称
轴为x＝m，∴当x＜m时，y随x的增大而减小，D正确．
10.A【解析】∵函数y＝x－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，∴图象与x轴有两个交点，则（－2）2
2
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－4b>0，解得b<1，又∵图象与y轴有一个交点，∴b≠0，综上，b的取值范围是b＜1且b≠0.
a＋1＞0
a＜0
11.B【解析】∵一次函数y＝（a＋1）x＋a的图象过第一、三、四象限，∴
，解得－1＜a＜0，
1
1
∵二次函数y＝ax－ax＝a（x－）－a，又∵－1＜a＜0，∴二次函数y＝ax－ax有最大值，且最大值
2
2
2
2
4
1
为－a.
4
12.C【解析】由表格可知当x＝1.2时，y的值最接近0，∴x＋3x－5＝0的一个近似根是1.2.
2
13.D【解析】在抛物线y＝－x＋3中，令y＝0，解得x＝±3，令x＝0，则y＝3，∴抛物线与x
2
轴围成封闭区域（边界除外）内的整点有：
（－1，1），（1，1），（0，1），（0，2），共4个，∴k＝4，∴反
4
x
比例函数解析式为y＝，其图象经过点（1，4），（2，2），（4，1），故选D.
14.D【解析】观察图象可知，函数与x轴有两个交点，∴Δ＝b－4ac＞0，故①项正确；函数图象开
2
b
2a
口向上，与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，对称轴－＝1，∴b＜0，∴abc＞0，故②正确；由②可得
b
对称轴－＝1，∴b＝－2a，可将抛物线的解析式化为y＝ax－2ax＋c（a≠0），由函数图象知：
当x＝
2
2a
c
a
－2时，y＞0，即4a－（－4a）＋c＝8a＋c＞0，即＞－8，故③正确；由二次函数的对称性可知，当x＝
3和x＝－1时，y的值相等，观察图象可知，当x＝－1时，y＜0，∴当x＝3时，y＜0，则9a＋3b＋c
＜0，故④项正确，综上所述，正确结论为①②③④，共4个．
1
15.A【解析】∵二次函数y＝ax＋1的图象经过点（－2，0），∴代入得（－2）a＋1＝0，解得a＝－，
2
2
4
1
即－（x－2）＋1＝0，解得x＝0，x＝4.
2
4
1
2
16.D【解析】∵二次函数的对称轴为x＝m，∴对称轴不确定，需分情况讨论．①当m≥2时，此时－
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3
1≤x≤2落在对称轴的左边，当x＝2时，y取得最小值－2，即－2＝2－2m×2，解得m＝（舍）；②当
2
2
－12
13
3
2，即－2＝（－1）－2m×（－1），解得m＝－，综上所述，m＝－或2.
2
2
2
17.y＝x2－1（答案不唯一）【解析】∵二次函数的图象开口向上，∴a>0，顶点坐标为（0，－1），可设
二次函数解析式为y＝ax－1，即y＝x－1（答案不唯一）．
2
2
3
18.y＝－（x－4）（x＋2）【解析】设抛物线解析式为y＝a（x－4）（x＋2），把C（0，3）代入上式得3＝
8
3
3
a（0－4）（0＋2），解得a＝－，故y＝－（x－4）（x＋2）．
8
8
19.1，5【解析】∵y＝x－2x＋6＝（x－2x＋1）＋5＝（x－1）＋5，∴当x＝1时，y＝x－2x＋6有最
2
2
2
2
小值，且最小值为5.
20.（－2，0）【解析】∵抛物线上点P和点Q关于x＝1对称，P（4，0），可设Q（m，0），∴m＋4＝1，
2
解得m＝－2，∴Q（－2，0）．
21.m>9【解析】∵抛物线y＝x－6x＋m与x轴没有交点，∴方程x－6x＋m＝0无实数解，即b－
2
2
2
4ac＝（－6）－4m<0，解得m>9.
2
22.x<－1或x>4【解析】观察题图，当直线在抛物线之上时，即mx＋n＞ax＋bx＋c，∵A（－1，p），
2
B（4，q），∴关于x的不等式的解集为x<－1或x>4.
23.2≤m≤8【解析】∵将抛物线y＝（x＋1）向下平移m个单位，得到抛物线y＝（x＋1）－m，由平
2
2
移后抛物线与正方形ABCD的边有交点，则当点B在抛物线上时，m取最小值，此时（1＋1）－m＝2，解
2
得m＝2，当点D在抛物线上时，m取最大值，此时（2＋1）－m＝1，解得m＝8，综上所述，m的取值范围
2
是2≤m≤8.
24.解：
∵二次函数y＝x＋px＋q经过点（2，－1），代入得－1＝2＋2p＋q，
2
2
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即2p＋q＝－5，
∵x，x为x＋px＋q＝0两根，
2
1
2
∴x＋x＝－p，xx＝q，
1
2
12
∴|AB|＝|x－x|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝p2－4q，
1
2
p4q－p2
顶点M（－，
），
2
4
1
3
1
4q－p21
4q－p21
1
∴S＝|AB|·|
|＝p2－4q·||＝·（p－4q）2·|4q－p|＝（p－4q）2，
2
2
2
2
4
2
4
8
8
△AMB
当p－4q最小时，S有最小值，
2
△AMB
∵p－4q＝p＋8p＋20＝（p＋4）＋4，
2
2
2
∴当p＝－4时，p－4q取最小值4，此时q＝3，
2
故所求的二次函数解析式为y＝x－4x＋3.
2
25.解：
（1）不等式b＋2c＋8≥0成立．理由如下：
∵二次函数y＝－2x＋bx＋c图象的顶点坐标为（3，8），
2
b
－
＝3，
2×（－2）
∴
4×（－2）c－b2
4×（－2）
＝8，
b＝12
解得
，
c＝－10
∴b＋2c＋8＝0，
∴不等式b＋2c＋8≥0成立；
（2）由
（1）知，b＝12，c＝－10，
∴代入得y＝－2x＋12x－10，
2
由已知得点A的坐标为（3，0），设M（x，－2x＋12x－10），
2
1
当点M在x轴上方时，S＝×3×（－2x＋12x－10）＝9，
2
2
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解得x＝2或x＝4；
1
2
1
当点M在x轴下方时，S＝×3×[－（－2x＋12x－10）]＝9，
2
2
解得x＝3－7或x＝3＋7，
3
4
∴满足S＝9的所有点M的坐标为（2，6），（4，6），（3－7，－6），（3＋7，－6）．
26.解：
（1）∵抛物线y＝x－4x＋3与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），
2
∴令y＝0，则有x－4x＋3＝（x－3）·（x－1）＝0，
2
解得x＝1，x＝3，
1
2
∴A（1，0），B（3，0），
∵抛物线y＝x－4x＋3与y轴交于点C，
2
∴令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），
设直线BC的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx＋b，得
3k＋b＝0
b＝3
k＝－1
b＝3
，解得
，
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；
（2）∵y＝x－4x＋3＝（x－2）－1，
2
2
∴抛物线对称轴为x＝2，顶点为（2，－1），
∵l⊥y轴，l交抛物线于点P、Q，交BC于点N，x1
2
3
∴－11
2
3
x1＋x2
∴－1<－x＋3<0，
＝2,
2
3
∴33
1
2
∴71
2
3
27.解：
（1）∵a＝1，b＝k－5，c＝1－k，
∴b－4ac＝（k－5）－4（1－k）＝k－6k＋21＝（k－3）＋12，
2
2
2
2
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其中（k－3）≥0，
2
∴b－4ac＝（k－3）＋12>0，
2
2
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵二次函数图象不经过第三象限，
5－k
∴对称轴x＝
>0且不与y轴负半轴相交，即1－k≥0，
2
5－k
>0
2
联立得
，解得k≤1；
1－k≥0
（3）依题意得，对于y＝x＋（k－5）x＋1－k，
2
∵x＝3时，y<0，
∴y＝3＋3（k－5）＋1－k<0，
2
5
即2k－5<0，k<，
2
∴k的最大整数取2.
28.解：
（1）5，3；
（2）由题意知：
3x＋1≤－x＋1，解得x≤0；
y＝x2－2x－4
y＝－x＋2
（3）联立函数解析式得
，
x1＝3
x2＝－2
解得
或
，
y1＝－1y2＝4
第28题解图
∴两函数的交点坐标为：
（3，－1），（－2，4）；
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如解图，过两交点作直线即为所求图象；
观察解图可知：
max{－x＋2，x－2x－4}的最小值为－1.
2
能力提升训练
1.A【解析】∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，即x－4x＋3＝0，解得x＝1，x＝3，∴
2
1
2
A（1，0），B（3，0），∵y＝x－4x＋3＝（x－2）－1，∴M（2，－1）．∵要使平移后的抛物线的顶点在x轴
2
2
上，需将图象向上平移1个单位，要使B平移后的对应点B′落在y轴上，需再向左平移3个单位，∴M′
（－1，0），则平移后二次函数的解析式为y＝（x＋1），即y＝x＋2x＋1.
2
2
b
2.C【解析】如解图，二次函数y＝x＋bx＋1与y轴交于点（0，1），对称轴为x＝－，当b＝－2时，
2
2
对称轴x＝1，抛物线过（0，1），C（2，1）；当b＜－2
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