10.(2017徐州)若函数y=x-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()
2
A.b<1且b≠0B.b>1
C.0
11.(2017眉山)若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax-ax()
2
a
4
a
4
A.有最大值B.有最大值-
a
4
a
4
C.有最小值D.有最小值-
12.(2017兰州)下表是一组二次函数y=x+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
2
x
y
1
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x+3x-5=0的一个近似根是()
2
A.1B.1.1C.1.2D.1.3
第13题图
13.(2017河北)如图,若抛物线y=-x+3与x轴围在封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都
2
k
x
是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是()
中小学教育教学资料
14.(2017长沙中考模拟卷六)已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象如图所示,
2
第14题图
c
现有下列结论:
①b-4ac>0;②abc>0;③>-8;④9a+3b+c<0.其中,正确结论的个数是()
2
a
A.1B.2C.3D.4
15.(2017苏州)若二次函数y=ax+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)+1=0的实数
2
2
根为()
A.x=0,x=4B.x=-2,x=6
1
2
1
2
3
5
C.x=,x=D.x=-4,x=0
2
2
1
2
1
2
16.(2017乐山)已知二次函数y=x-2mx(m为常数),当-1≤x≤2时,函数值y的最小值为-2,则m
2
的值是()
3
2
3
3
B.2C.或2D.-或2
A.
2
2
17.(2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的解析式
可以是______________.(只需写一个)
18.(2017百色)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是______________.
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19.(2017广州)当x=________时,二次函数y=x-2x+6有最小值________.
2
第20题图
20.(2017兰州)如图,若抛物线y=ax+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q
2
点的坐标为________.
21.(2017青岛)若抛物线y=x-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是________.
2
第22题图
22.(2017咸宁)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于
2
x的不等式mx+n>ax+bx+c的解集是____.
2
23.(2017鄂州)已知正方形ABCD中A(1,1)、B(1,2)、C(2,2)、D(2,1),有一抛物线y=(x+1)向
2
下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是________.
24.(6分)设二次函数y=x+px+q的图象经过点(2,-1),且与x轴交于不同的两点A(x,0),B(x,
2
1
2
0),M为二次函数图象的顶点,求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式.
25.(8分)(2017云南)已知二次函数y=-2x+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对
2
称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点.
(1)不等式b+2c+8≥0是否成立?
请说明理由;
(2)设S是△AMO的面积,求满足S=9的所有点M的坐标.
26.(8分)(2017北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B
2
的左侧),与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x,y),Q(x,y),与直线BC交于点N(x,y).若x<x
1
1
2
2
3
3
1
2
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<x,结合函数的图象,求x+x+x的取值范围.
3
1
2
3
27.(9分)(2017荆州)已知关于x的一元二次方程x+(k-5)x+1-k=0,其中k为常数.
2
(1)求证:
无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
2
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
28.(9分)(2017郴州)设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者.例如:
max{-1,
-1}=-1,max{1,2}=2,max(4,3)=4.参照上面的材料,解答下列问题:
(1)max{5,2}=________,max{0,3}=________;
(2)若max{3x+1,-x+1}=-x+1,求x的取值范围;
(3)求函数y=x-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标.函数y=x-2x-4的图象如图所示,请你在
2
2
图中作出函数y=-x+2的图象,并根据图象直接写出max{-x+2,x-2x-4}的最小值.
2
第28题图
能力提升训练
1.(2017天津)已知抛物线y=x-4x+3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M,平移该抛
2
物线,使点M平移后的对应点M′落在x轴上,点B平移后的对应点B′落在y轴上,则平移后的抛物线
解析式为()
A.y=x+2x+1B.y=x+2x-1
2
2
C.y=x-2x+1D.y=x-2x-1
2
2
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第2题图
2.(2017扬州)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y=x+
2
bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是()
A.b≤-2B.b<-2
C.b≥-2D.b>-2
3.(2017长沙中考模拟卷二)已知二次函数y=ax+bx+c(a>0)经过点M(-1,2)和点N(1,-2),交x
2
轴于点A,B,交y轴于点C.现有以下四个结论:
①b=-2;②该二次函数图象与y轴交于负半轴;③存
在实数a,使得M,A,C三点在同一条直线上;④若a=1,则OA·OB=OC.其中,正确的结论有()
2
A.①②③④B.②③④
C.①②④D.①②③
4.(2017武汉)已知关于x的二次函数y=ax+(a-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0),
2
2
若25.(9分)(2017天津)已知抛物线y=x+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).
2
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′.
①当点P′落在该抛物线上时,求m的值;
②当点P′落在第二象限内,P′A取得最小值时,求m的值.
2
答案
3
1
1
1.B【解析】y=-(x+)-3为顶点式,顶点坐标是(-,-3).
2
5
2
2
2.B【解析】由二次函数y=-(x-1)+2可知,对称轴为直线x=1排除选项C,D,函数开口向下,
2
有最大值,当x=1时,最大值为y=2,故选B.
3.A【解析】∵对称轴x=1且经过点P(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0),代入抛物
线解析式y=ax+bx+c中,得a-b+c=0.
2
4.C【解析】如解图,根据图象可知,y>0,y>0,且y>y>0.
1
2
1
2
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第4题解图
b
2a
b
2a
5.B【解析】∵图象开口向下,∴a<0,∵对称轴x=-在y轴右侧,∴->0,∴b>0,又∵图
象与y轴的交点在x轴下方,∴c<0.
6.A【解析】由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知:
当y=3x-3的图象向右平移3个
2
单位时,得到新抛物线的表达式为y=3(x-3)-3.
2
b
7.A【解析】对称轴x=-=1,代入表达式可得y=m+1,∴顶点坐标为(1,m+1),∵m≥0,∴
2
2
2
2a
m+1≥1,∴顶点坐标在第一象限.
2
8.C【解析】∵二次函数y=(x+m)-n的顶点在第二象限,∴-m<0,-n>0,∴m>0,n<0,mn<0,
2
mn
x
∴一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限,反比例函数y=经过第二、四象限.
9.C【解析】∵b-4ac=(-2m)-4×1×(-3)=4m+12>0,∴图象与x轴有两个交点,A正确;
2
2
2
令y=0得x-2mx-3=0,方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标,由A知图象与x轴有两个交点,故
2
-3
方程有两个根,再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为=-3,B正确;根据抛物线对
1
b
2a
-2m
称轴公式可得对称轴为x=-=-
=m,∵m的值不能确定,故对称轴是否在y轴的右侧不能确定,
2
C错误;∵a=1>0,抛物线开口向上,∴对称轴左侧的函数值y随x的增大而减小,由C知抛物线对称
轴为x=m,∴当x<m时,y随x的增大而减小,D正确.
10.A【解析】∵函数y=x-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,∴图象与x轴有两个交点,则(-2)2
2
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-4b>0,解得b<1,又∵图象与y轴有一个交点,∴b≠0,综上,b的取值范围是b<1且b≠0.
a+1>0
a<0
11.B【解析】∵一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,∴
,解得-1<a<0,
1
1
∵二次函数y=ax-ax=a(x-)-a,又∵-1<a<0,∴二次函数y=ax-ax有最大值,且最大值
2
2
2
2
4
1
为-a.
4
12.C【解析】由表格可知当x=1.2时,y的值最接近0,∴x+3x-5=0的一个近似根是1.2.
2
13.D【解析】在抛物线y=-x+3中,令y=0,解得x=±3,令x=0,则y=3,∴抛物线与x
2
轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有:
(-1,1),(1,1),(0,1),(0,2),共4个,∴k=4,∴反
4
x
比例函数解析式为y=,其图象经过点(1,4),(2,2),(4,1),故选D.
14.D【解析】观察图象可知,函数与x轴有两个交点,∴Δ=b-4ac>0,故①项正确;函数图象开
2
b
2a
口向上,与y轴交于负半轴,∴a>0,c<0,对称轴-=1,∴b<0,∴abc>0,故②正确;由②可得
b
对称轴-=1,∴b=-2a,可将抛物线的解析式化为y=ax-2ax+c(a≠0),由函数图象知:
当x=
2
2a
c
a
-2时,y>0,即4a-(-4a)+c=8a+c>0,即>-8,故③正确;由二次函数的对称性可知,当x=
3和x=-1时,y的值相等,观察图象可知,当x=-1时,y<0,∴当x=3时,y<0,则9a+3b+c
<0,故④项正确,综上所述,正确结论为①②③④,共4个.
1
15.A【解析】∵二次函数y=ax+1的图象经过点(-2,0),∴代入得(-2)a+1=0,解得a=-,
2
2
4
1
即-(x-2)+1=0,解得x=0,x=4.
2
4
1
2
16.D【解析】∵二次函数的对称轴为x=m,∴对称轴不确定,需分情况讨论.①当m≥2时,此时-
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3
1≤x≤2落在对称轴的左边,当x=2时,y取得最小值-2,即-2=2-2m×2,解得m=(舍);②当
2
2
-12
13
3
2,即-2=(-1)-2m×(-1),解得m=-,综上所述,m=-或2.
2
2
2
17.y=x2-1(答案不唯一)【解析】∵二次函数的图象开口向上,∴a>0,顶点坐标为(0,-1),可设
二次函数解析式为y=ax-1,即y=x-1(答案不唯一).
2
2
3
18.y=-(x-4)(x+2)【解析】设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+2),把C(0,3)代入上式得3=
8
3
3
a(0-4)(0+2),解得a=-,故y=-(x-4)(x+2).
8
8
19.1,5【解析】∵y=x-2x+6=(x-2x+1)+5=(x-1)+5,∴当x=1时,y=x-2x+6有最
2
2
2
2
小值,且最小值为5.
20.(-2,0)【解析】∵抛物线上点P和点Q关于x=1对称,P(4,0),可设Q(m,0),∴m+4=1,
2
解得m=-2,∴Q(-2,0).
21.m>9【解析】∵抛物线y=x-6x+m与x轴没有交点,∴方程x-6x+m=0无实数解,即b-
2
2
2
4ac=(-6)-4m<0,解得m>9.
2
22.x<-1或x>4【解析】观察题图,当直线在抛物线之上时,即mx+n>ax+bx+c,∵A(-1,p),
2
B(4,q),∴关于x的不等式的解集为x<-1或x>4.
23.2≤m≤8【解析】∵将抛物线y=(x+1)向下平移m个单位,得到抛物线y=(x+1)-m,由平
2
2
移后抛物线与正方形ABCD的边有交点,则当点B在抛物线上时,m取最小值,此时(1+1)-m=2,解
2
得m=2,当点D在抛物线上时,m取最大值,此时(2+1)-m=1,解得m=8,综上所述,m的取值范围
2
是2≤m≤8.
24.解:
∵二次函数y=x+px+q经过点(2,-1),代入得-1=2+2p+q,
2
2
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即2p+q=-5,
∵x,x为x+px+q=0两根,
2
1
2
∴x+x=-p,xx=q,
1
2
12
∴|AB|=|x-x|=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4q,
1
2
p4q-p2
顶点M(-,
),
2
4
1
3
1
4q-p21
4q-p21
1
∴S=|AB|·|
|=p2-4q·||=·(p-4q)2·|4q-p|=(p-4q)2,
2
2
2
2
4
2
4
8
8
△AMB
当p-4q最小时,S有最小值,
2
△AMB
∵p-4q=p+8p+20=(p+4)+4,
2
2
2
∴当p=-4时,p-4q取最小值4,此时q=3,
2
故所求的二次函数解析式为y=x-4x+3.
2
25.解:
(1)不等式b+2c+8≥0成立.理由如下:
∵二次函数y=-2x+bx+c图象的顶点坐标为(3,8),
2
b
-
=3,
2×(-2)
∴
4×(-2)c-b2
4×(-2)
=8,
b=12
解得
,
c=-10
∴b+2c+8=0,
∴不等式b+2c+8≥0成立;
(2)由
(1)知,b=12,c=-10,
∴代入得y=-2x+12x-10,
2
由已知得点A的坐标为(3,0),设M(x,-2x+12x-10),
2
1
当点M在x轴上方时,S=×3×(-2x+12x-10)=9,
2
2
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解得x=2或x=4;
1
2
1
当点M在x轴下方时,S=×3×[-(-2x+12x-10)]=9,
2
2
解得x=3-7或x=3+7,
3
4
∴满足S=9的所有点M的坐标为(2,6),(4,6),(3-7,-6),(3+7,-6).
26.解:
(1)∵抛物线y=x-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),
2
∴令y=0,则有x-4x+3=(x-3)·(x-1)=0,
2
解得x=1,x=3,
1
2
∴A(1,0),B(3,0),
∵抛物线y=x-4x+3与y轴交于点C,
2
∴令x=0,得y=3,∴C(0,3),
设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0),
将B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得
3k+b=0
b=3
k=-1
b=3
,解得
,
∴直线BC的表达式为y=-x+3;
(2)∵y=x-4x+3=(x-2)-1,
2
2
∴抛物线对称轴为x=2,顶点为(2,-1),
∵l⊥y轴,l交抛物线于点P、Q,交BC于点N,x1
2
3
∴-11
2
3
x1+x2
∴-1<-x+3<0,
=2,
2
3
∴33
1
2
∴71
2
3
27.解:
(1)∵a=1,b=k-5,c=1-k,
∴b-4ac=(k-5)-4(1-k)=k-6k+21=(k-3)+12,
2
2
2
2
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其中(k-3)≥0,
2
∴b-4ac=(k-3)+12>0,
2
2
∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵二次函数图象不经过第三象限,
5-k
∴对称轴x=
>0且不与y轴负半轴相交,即1-k≥0,
2
5-k
>0
2
联立得
,解得k≤1;
1-k≥0
(3)依题意得,对于y=x+(k-5)x+1-k,
2
∵x=3时,y<0,
∴y=3+3(k-5)+1-k<0,
2
5
即2k-5<0,k<,
2
∴k的最大整数取2.
28.解:
(1)5,3;
(2)由题意知:
3x+1≤-x+1,解得x≤0;
y=x2-2x-4
y=-x+2
(3)联立函数解析式得
,
x1=3
x2=-2
解得
或
,
y1=-1y2=4
第28题解图
∴两函数的交点坐标为:
(3,-1),(-2,4);
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如解图,过两交点作直线即为所求图象;
观察解图可知:
max{-x+2,x-2x-4}的最小值为-1.
2
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1.A【解析】∵抛物线与x轴交于A、B两点,∴令y=0,即x-4x+3=0,解得x=1,x=3,∴
2
1
2
A(1,0),B(3,0),∵y=x-4x+3=(x-2)-1,∴M(2,-1).∵要使平移后的抛物线的顶点在x轴
2
2
上,需将图象向上平移1个单位,要使B平移后的对应点B′落在y轴上,需再向左平移3个单位,∴M′
(-1,0),则平移后二次函数的解析式为y=(x+1),即y=x+2x+1.
2
2
b
2.C【解析】如解图,二次函数y=x+bx+1与y轴交于点(0,1),对称轴为x=-,当b=-2时,
2
2
对称轴x=1,抛物线过(0,1),C(2,1);当b<-2