教师资格认定考试高级中学数学真题下半年.docx
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教师资格认定考试高级中学数学真题下半年
（A）教师资格认定考试高级中学数学真题2012年下半年
一、单项选择题
1.函数
的图象与x轴交点的个数是______。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
B
[解答]∵
，∴函数f（x）单调递增。
又f（0）=1，
，∴函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点。
故选B。
2.设
则f（x）在x=1处______。
A.不连续
B.连续．但不可导
C.连续，且有一阶导数
D.有任意阶导数
答案：
C
[解答]由
，可知f（x）在x=1处连续；又f′（1+0）=（2x-2）|x=1=0=f′（1-0），且f″（1+0）=2≠0=f″（1-0），则f（x）在x=1处有一阶导数。
故选C。
3.令x1，x2，x3为多项式
的三个根，则
等于______。
A．
B．
C．
D．
答案：
D
[解答]对于多项式ax3+bx2+cx+d=0，根据根与系数关系可知，
，那么
，故选D。
4.在曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0上，过点（3，－2，4）的切平面方程是______。
A.2x-y+2z=0
B.2x-y+2z=16
C.4x-3y+6z=42
D.4x-3y+6z=0
答案：
B
[解答]方法一，设球面方程为x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点（x0，y0，z0）的切平面方程为：
x0x+y0y+z0z+p（x+x0）+q（y+y0）+r（z+z0）+d=0.
由x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0可知，此曲面为球面，且：
p=-1，q=1，r=-2，d=-3，又点（3，-2，4）在球面上，则切平面
方程为：
2x-y+2z=16，故选B。
方法二：
曲面x2+y2+z2-2x+2y-4z-3=0为球面，标准方程为：
（x-1）2+（y+1）2+（z-2）2=9
球心为（1，-1，2），半径为3。
在A、B、C、D四个选项中，只有B、C过点（3，-2，4）。
故A、D排除。
同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项B，球心到平面的距离为
等于球半径，满足题意。
故选B。
5.下面4个矩阵中，不是正交矩阵的是______。
A．
B．
C．
D．
答案：
C
[解答]A为n阶矩阵，若AA′=I或者A′A=Ι（Ι为单位矩阵），则称A为正交矩阵。
选项
，结果不是单位矩阵。
故选C。
6.设{an}为数列，A为定数。
对于“对任意ε＞0，存在正整数N，当n＞N时，有|an-A|＜ε”的否定（即
）是______。
A.存在ε＞0，对任意正整数N，存在n＞N，使得|an-A|≥ε
B.对任意ε＞0，存在正整数Ⅳ，当n＞N时，有|an-A|≥ε
C.对任意ε＞0，以及任意正整数N，当n＞N时，有|an-A|≥ε
D.存在ε＞0，存在正整数N，存在n＞N，有|an-A|≥ε
答案：
A
[解答]若存在ε＞0，对任意正整数N，存在n＞N，使得|an-A|≥ε，则称数列{an}的极限不是A，即
，故选A。
7.下列关于反证法的认识，错误的是______。
A.反证法是一种间接证明命题的方法
B.反证法的逻辑依据之一是排中律
C.反证法的逻辑依据之一是矛盾律
D.反证法就是证明一个命题的逆否命题
答案：
D
[解答]反证法是假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立，并不是证明他的逆否命题成立。
8.《普通高中数学课程标准（实验）》设置了四个选修系列，其中选修系列1是为希望在人文社会科学等方面发展学生而设置的，下列内容不属于选修系列1的是______。
A.矩阵变换
B.推理证明
C.导数及应用
D.常用逻辑用语
答案：
A
[解答]《普通高中数学课程标准（实验）》中选修系列1由2个模块组成：
选修1-1（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用）和选修1-2（统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图）。
矩阵变换属于系列4选修4-2，故选A。
二、简答题
1.若实数a，b，c成等差数列，求直线族ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得线段中点的轨迹方程。
答案：
解法一：
（几何法）∵实数a，b，c成等差数列，∴2b-a-c=0，直线族可化为ax+by+2b-a=0，必过点A（1，-2），点A在圆x2+y2=5上。
根据垂径定理可知，被圆截得线段中点B与圆x2+y2=5的圆心O（0，0）连线必然垂直于直线AB，所以B点在以OA为直径的圆上（直角所对的弦为直径）。
所以B在以
为圆心，以
为半径的圆上，其轨迹方程为：
。
解法二：
（代数法）由题意，直线ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得线段的中心即为直线ax+by+c=0①与直线bx-ay=0②交点。
设该点坐标为（x，y），联立方程①②，得
；且该点在两条直线上，满足
。
又∵实数a，b，c成等差数列，∴2b-a-c=0，则
，即：
即
为直线ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得线段中心的轨线方程。
2.设
是3×4矩阵，其秩为3，考虑方程组
。
（1）设ζ1和ζ1为PX=0的两个解，c1、c2为实数，证明c1ζ1+c2ζ1也是PX=0的解；
（2）方程组PX=0的解空间的维数是多少？
（无需证明）
答案：
证明：
（1）∵ζ1，ζ2为PX=0的两个解
∴Pζ1=0，Pζ2=0
∴c1Pζ1=0，c2Pζ2=0
∴c1Pζ1+c2Pζ2=0
∴Pc1ζ1+Pc2ζ2=0
∴P（c1ζ1+c2ζ2）=0
即c1ζ1+c2ζ2也是PX=0的解。
（2）方程组PX=0的解空间的维数是未知量的个数n=4减去系数矩阵P的秩3，即为1。
3.
（1）P（A）表示事件A发生的概率，证明P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（A∩B）；
（2）若P（A∩B）=P（A）P（B），则称事件A、B独立；若事件A、B、C两两独立，且P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C），则称事件A、B、C独立。
设事件A、B、C独立，证明事件A∪B与事件C独立。
答案：
证明：
（1）由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=
，由概率的可加性，
P（A∪B）=P（A∪（B-AB））=P（A）+P（B-AB）
=P（A）+P（B）-P（AB）
（2）∵事件A、B、C独立
∴P（A∩C）=P（A）P（C），P（B∩C）=P（B）P（C），P（A∩B）=P（A）P（B）
且P（A∩B∩C）=P（A）P（B）P（C）
那么，P（（A∪B）∩C）=P（（A∩C）∪（B∩C））
=P（A∩C）+P（B∩C）-P（A∩B∩C）
=P（A）P（C）+P（B）P（C）-P（A）P（B）P（C）
=P（C）（P（A）+P（B）-P（A）P（B））
=P（C）（P（A）+P（B）-P（A∩B））
=P（C）P（A∪B）
所以，事件A∪B与事件C独立。
4.高中数学课程是如何体现选择性的？
答案：
（1）选择性是整个高中课程的基本理念，也是本次高中课程改革的最大变化之一
高中阶段是培养学生选择能力的最佳时期。
新的高中课程方案提出了在高中阶段培养学生的人生规划能力的目标。
学会选择正是培养学生人生规划能力的需要。
在数学教学大纲中，将普通高中的课程分为必修课和选修课两部分，设置了文科系列和理科系列的课程。
在新课程标准中，加大了培养选择性的力度，这是本次课程改革最大的变化之一。
（2）高中数学课程中选修课的设置体现了选择性
新课程标准中将高中数学课程知识内容分为必修和选修两大部分。
对于选修部分，包括4个系列。
系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的；系列2则是为了那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。
除此之外，为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置了系列3和系列4。
高中数学课程中选修课的设置就是希望从不同的角度激发学生学习数学的兴趣，帮助学生发现、培养自己的兴趣、特长，希望数学能为学生的发展提供帮助，这是高中数学新课程的最高追求。
5.数学教学中如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则？
答案：
（1）认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提。
“备课先备学生”的经验之淡，就出于此。
也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真正做到有的放矢、因材施教，才能真正贯彻好这一原则。
（2）在教学中，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。
例如初学平面几何的学生，对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。
但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。
（3）在数学教学中，注意从准确的数学基础知识和语言出发培养严谨性。
这就要求教师备好教材，达到熟练准确，不出毛病。
另外要严防忽略公式、法则、定理成立的条件。
还要注意逐步养成学生的语言精确习惯。
这就要求教师有较高的教学语言素养，使自己的语言精确、简练、规范，对教学术语要求准确、得当。
（4）在数学教学中，注意培养全面周密的思维习惯，逐步提高严谨程度。
一般数学中所研究的是一类事物所具有的性质或它们元素之间的关系，而不仅仅是个别事物。
于是要求教师恩考问题全面周密。
总之，数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸”，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从量力着手；另外，要注意阶段性，使前者为后者作准备，后者成为前者的发展，前后呼应。
通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。
三、解答题
1.如下图所示，设0＜a＜b，函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）可微且f（x）＞0，f（a）=f（b）。
设l为绕原点O可转动的细棍（射线），放手后落在函数f（x）的图象上并支撑在点A（ζ，f（ζ））上，从直观上看，
证明函数
在ζ处取得最大值，并由此证明（*）式。
答案：
函数f（x）在[a，b]连续，（a，b）可微，b＞a＞0，则
在[a，b]连续，（a，b）可微。
F′（x）=
，令F′（x）=0，则F（x）在（a，b）存在极值点满足f′（x）x-f（x）=0，即为x=ζ∈（a，b）是函数F（x）的极值点，且
。
又在（a，b）内，f（a）=f（b）=0，且f（x）＞0，则F（a）=F（b）=0，且F（ζ）＞F（a）=F（b），所以函数F（x）
在ζ处取得最大值。
四、论述题
1.对学生数学学习的评价，既要关注学习结果，也要关注学习过程，你认为对学生数学学习过程的评价应关注哪些方面？
试举例说明。
答案：
数学学习评价，既要关注学生数学知识与技能的理解和掌握，也要关注学生学习数学的情感与态度；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习数学过程中的变化和发展：
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