小学数学教师知识拓展讲座稿.docx
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小学数学教师知识拓展讲座稿
小学数学教师知识拓展讲座稿
小学数学教材知识拓展
上海市静安区教育学院有关专家对小学数学教师学科专业知识缺失现象做过问卷调查，他们选取上海市两个区40周岁以下约200位具有大专以上学历的小学数学教师作为调研样本，调研内容主要为教师能否应用数学知识为小学生释疑解惑、比较深入地把握小学数学的教学内容。
调查结果显示受测教师的平均答对率只有38.8%。
这不禁引起了我们对小学数学教师学科专业知识缺失现象的关注与思考。
小学数学知识通常被定性为基础性知识，一方面它为学生的进一步学习和深造奠基，另一方面它是现代生活必须拥有的一种工具。
教师需要具有较深厚的数学专业功底，否则就会出现种种负面影响。
我们经常遇到这样的现象:
学生主动发问，教师无法解答，就说“这个问题我们到课外去找找答案。
”我们可以把这样的教学行为称为教学机智，但如果长此以往，恐怕就显得教师太没专业底气了，学生也会因为教师一次又一次的“不知道”而不愿向教师提问。
教师的专业学识受到质疑，专业角色受到挑战。
给大家介绍一位教师教学二年级数学上册的“小统计”。
课前教师组织学生进行夹弹子比赛，比赛结束后教师抛出问题:
“同学们，刚才的夹弹子比赛究竟哪一组赢了，你们想知道吗,”学生大声回答:
“想～”教师接着问:
“是呀～老师也很想知道，那你们说怎样才能知道哪个小组得了冠军,”有的学生说:
“我们可以数一数。
”有的说:
“把每个组7个人夹的弹子数合起来，再比一比。
”还有的说:
“可以算一算每个组的总数，再比一比哪个组最多。
”
教师采纳了学生的建议，接着说:
“好，算一算你们的总数，请组长上来记一记。
”各组开始收集数据，组长汇报的结果分别为:
7颗、11颗、8颗、10颗。
教师说:
“如果给各组再添上4颗，现在是几颗,”
本节课是在学生已经学会了“以一当一”的条形统计图的基础上，引导学生学习用“以一当二”的条形统计图来表示数据的结果。
此教学环节设计的目的是使学生产生认知的冲突，即教师提供的方格纸上的格子数不够“以一当一”，从而引起学生强烈的解决问题的需要，激发学生主动地发现“一个格子还可以表示二”，而学生具体的活动结果却没有产生这种冲突，因为有些组所夹弹子的个数可以用“以一当一”完成统计，教师解决问题的办法是给各组再添上4颗弹子。
出现问题的原因，首先教师在选择材料上存在问题，因为夹弹子这种活动对于二年级学生本身就有难度。
其次是在时间分配上有问题，教师没有给学生充分的活动时间。
第三是教师备课时没有充分地估计学生在课上具体活动时会出现什么样的情况，也就是没有对学生夹
弹子的结果能不能与方格纸上格子的个数产生矛盾做好充分的心理准备。
课上虽然教师通过给各组加上4颗弹子，解了燃眉之急，但却违背了描述统计的本身含义。
再比如，在小学概率知识的教学中，根据小学生的认知水平，应避免学习过多或过深的术语，否则就会出笑话。
有的教师让学生在课上做10次抛掷硬币的试验，就希望学生能够得到出现正面或反面的可能性都是二分之一的结论。
因为抛掷的次数少，所以要得出5次正面、5次反面的结果，是很难做到的。
概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，只有通过大量的试验才会体现出规律性。
上述问题，在新教材新增内容的教学中，显得尤为突出。
出现这种现象的原因是教师对这些新增内容的有些知识本身就了解不够。
教材中有些内容不但对于学生来说是新知识点，其实对于教师来说也很陌生。
比如“中位数”、“众数”、“概率”、“抽屉原理”等知识，教师对它们的掌握往往只是浅层次的，甚至有的知识教师从未接触过。
这就对教师确定教学目标、挖掘教材、引领学生拓展学习形成了一定的障碍。
难怪一些数学大师、特级教师们在课后点评时这样评价:
省数学教研员斯苗儿老师说:
一些课上得不好的原因不在于方法和技巧，而是教师本身的数学功底。
因为无论是职前和职后都很少关注数学教师学科素养的提高。
朱乐平老师说:
现在许多老师的课，从知识的角度总可以找出知识性错误。
下面我就从数与运算、空间与图形、统计与概率这三个领域中选择了十个典型的问题，与大家一起来解读。
希望对我们以后的教学会有所启示，当然，最重要的是能在28日的考试中有所帮助。
一、数与运算领域中的知识拓展。
1、0为什么是自然数,
在上世纪90年代以前，自然数是不包括0的。
但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的。
在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中规定:
自然数包含0。
从此之后，0就属于自然数的范围了。
从近年来编写的新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。
具体的表述是:
用0表示“一个物体也没有”所对应的计数。
0是自然数有许多理由。
首先，人的经验是“从无到有”。
比如魔术师在变魔术的时候，先交代两手空空，再变出一只兔子，然后两只兔子……。
再比如:
铅笔盒中本来是空的，然后装进一支铅笔、两只等等。
第二，更重要的是书写的需要。
十的位置记数写法是10。
没有0，就写不出10，20，30，100等数字。
所以0，1，2……9，共十个数字是最基本的。
第三，0的出现可以保证自然数集有单位元。
在自然数中5,5,0，如果0不是自然数，那么5,5岂不是不能减了。
第四，大数学家冯?
诺依曼用集合论的语言写自然数，第一个是“空集Φ”，用0表示，然后把以空集为元素的集合{Φ}叫做1，依次类推。
所以，从文化的角度看来“有”也是从没有开始的。
所以说，0是自然数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背景和科学依据，是合乎情理的。
、运算中有乘法和加、减法，为什么要先算乘除法2
或许老师们会说，这就是一种规定，纯粹的人为规定，无需证明。
是的，把运算顺序看成数学上的一种“规定”，这是不争的事实，是一种共识。
无论从以前的教材里，还是从现在教师（包括课程专家）的认识中，都可以充分印证。
然而，现在的问题是:
为什么要这样规定,“乘法是第二级运算，按规定计算时要先算第二级运算。
”或许在高年级的时候，我们也会这样去告知学生，利用一个新的规定（先算第二级运算）来解读原来的规定（先算乘除法），其实已经走入“循环规定”的误区。
因为如若对新的规定作进一步追问——为什么要先算第二级运算，则很显然又回到“为什么先算乘除”（它们实质上是同一个问题）。
凭借生活中的实际问题能够达到体会“先算乘法”合理性的目的，但是似乎还不足以回答“为什么，”。
知其然，还要知其所以然。
作为教师，应该而且必须弄清“先算乘法”的真正道理，因为这“道理”将直接左右教学设计的走向，特别是教学的深度和效度。
下面我们不妨来假设一个数学情境来感悟其中的道理。
李老师去超市买学习用品，买钢笔花了20元，又买了3本笔记本，每本5元，李老师一共用去多少钱,
很显然，列出综合算式是20+3×5，应该先算3×5，理由是要求“一共用去多少钱”，必须先算出“3本笔记本多少钱”。
这时我们已经体验到“先算乘法”的合理性了，如果是课堂教学，也往往随之结束了。
但是，如果我们“钻一钻牛角尖”，将思维再向前推进一步，或许就有新的发现。
这个问题我们是不是也能这样来解决:
20+5+5+5，用钢笔的钱先加一本笔记本的钱，再加第二个笔记本的钱，最后加第三本笔记本的钱，不是也可以吗,可是为什么我们不选择它，
而都选择20+3×5,因为这样比较简便。
是啊，先算乘法再算加法，比起连加要简便，特别是当相同加数更多的时候，先算乘法就越显得简便了。
事实上，我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。
我们知道，加法是数量变化的低级形式，是四则运算中最基本的算法，减法是加法的逆运算。
后来人们在实践中摸索到更为高级的运算——乘法，用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率，使计算简便。
因此，遇到型如“?
+a+a+„„+a（b个a）”的计算问题，自然就想到先用乘法算b个a的和（b×a），然后再加?
。
由此可见，人们之所以规定“先算乘法”，归根结底是缘于计算的简便。
综上所述，混合运算的运算顺序是一种人为的规定，但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少，更不是数学家们的主观意向，而是根据数学运算本身的特点而确定的，它产生于人们解决问题时的一种“求简”本能，是人们追求简便、快捷的本能在计算活动中的具体反映。
也就是说，基于计算的简便，人们才规定“算式中有乘法和加、减法时，应该先算乘法”。
3、关于0为什么不能做除数
在数学教学中我们都知道有这么一个规定:
0不能做除数。
可是0为什么不能做除数呢,先从除法的定义来分析。
小学数学中定义除法是乘法的逆运算，就是已知积与一个因数，求另一个因数的运算。
即如果bq=a，那么a?
b=q，但除数b不能是零，这是因为如果b,0，那么
（1）当a?
0时，由于任何数乘0都不可能等于整数a，所以a?
0的商就是不存在的。
（2）当a,0时，因为任何数和0相乘都得0，所以a?
0的商是不确定的。
我们知道，在加法、减法与乘法中，和、差（如果存在）与积都是唯一的，在除法中也要排除商（如果存在）不是唯一的情况，因此规定在除法中，除数不能是0。
理论上也许比较费解。
我们知道除法有两种含义，一个是“平均分”，一个是“每几个一份”。
例如有6个苹果，平均分给三个小朋友，每个小朋友分得几个,就是把6平均分成三份求每份是几，所以6?
3,2（个）。
同样有6个苹果，要想每个小朋友分到2个，可以分给几个小朋友,就是求6里面有几个2,算式6?
2,3（个）。
上述情况要是除数为0的话就出现了下面的情况:
（1）把6个苹果平均分成0份，每份是几个,这是没有答案的，6个苹果不能分成0份，这是不可能的。
（2）有6个苹果，每个小朋友分0个，能分给几个小朋友,这也很可笑了，每个小朋友分0个，那么不管有多少个小朋友都可以了，反正小朋友手里没有苹果。
这里的答案是不确定的，所以0不能做除数了。
这样我们就明确了0为什么不能作为除数了。
但是这里值得一提的是我们在教学分数
的时候会有一节课专门研究分数与除法的关系，从而想到分数的分母也不能是0，那是不是因为除数不能为0，所以分母也不能是0呢,
答案是否定的。
分母不能是0，不是由除数不能是0所决定的，而是由分数的定义决定的。
小学数学中提到把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
在理论上分数的定义是:
形如m/n（m和n都是正整数，且n〉1，m〉0）的叫做分数。
同时，从分数m/n也应该包括整数来考虑，m也可以是0，n也可以是1，因此有了下面的补充定义:
当n,1时，m/n,m/1,m;当m,0时，m/n,0/n,0。
而根据上述的定义和补充定义，分数的分母n不可能是0，一旦是0就不符合分数的定义了。
另外，在分数的产生过程中，从度量方面看当用一个长度B作为标准（度量单位）去度量另一个长度A时，如果不能恰好量尽，为了仍用B来表示度量结果，就需要把B分成n等份后再去度量A。
如果恰有m次量尽，就可以用把B分成n等份后的m等份来度量A的结果，即m/n，由此可以看出n不能是0且是一个大于1的正整数。
因此，由分数的定义和分数产生的过程可知，分数的分母是不能为0的。
正像上面所描述的，在数学中，规定0不能作除数是为了保证除法结果的唯一性。
从中可以看出，数学中有些规定是人们对这门学科有了一定的认识后为了达到统一要求而做的规定。
就像规定1不是质数，是为了保证整数分解质因数的形式是唯一的;规定数轴的正方向为右，规定直角坐标系的x轴的正方向向右，y轴的正方向向上也是为了统一，保持数学的结果是唯一而做的要求。
4、有余数除法的理解
《小学数学教师》2010年第3期发表了池佳等老师撰写的文章《1/7=1/8,》（以下简称“池文”），该文出示了这样一段推理过程:
“因为1/7=1?
7=0„„1，1/8=1?
8=0„„1，又因为0=0，1=1，所以1/7=1/8。
”显然，我们每个人都知道1/7?
1/8，因此“池文”中提出了问题:
“近乎完美的证明却得到了诸如1/2,1/3,1/7=1/8„„这一系列荒谬的结论。
问题的症结究竟在哪里,“池文”在寻找导致1/7,1/8的原因时指出:
“在1/7,1?
7,0„„1中，第一个等号连接的两端——1/7与1?
7是值是相等的，而第二个等号左边的值是1/7，等号的右边——0„„1，这是一个确切的值吗,不,它不是一个确切的值，其代表的是所有“商0余1”的一类数，如1/6，1/10等。
所以，将一个数与一类数用等号连接起来自然就会出现前面的荒谬推理。
”
显然，这种说法是不妥当的。
导致1/7=1/8的原因不是表达式“1?
7=0„„1”有错，而是在于连等式“1/7,1?
7,0„„1”有错。
这了提示这个表达式中存在的问题，我们必
须深刻理解“有余数除法”的定义。
定义:
已知两个数a、b（b是非零自然数），要求两个整数q、r，使q、r满足以下条件:
a,bq+r，并且r,b，这样的运算叫做有余数除法。
记作a?
b,q（余r），或a?
b,q„„r。
读作“a除以b等于q余r”，a还是叫做被除数，b还叫除数，q叫做不完全商（有时为了简便也简称商），r叫做余数。
（由于给出此定义时，小学数学教材中尚无负数出现，故对余数的限制条件只写r,b，而现在此限制条件已改为0?
r,,b,）
由“有余数除法”的定义可知，已知两个数a、b（b?
0），去求两个数q、r，如果满足条件
0?
r,,b,），那么就可记作a?
b,q„„r，因此“a?
b,q„„r”是一个统一a,bq+r（
的整体。
虽然中间有等号，但我们不能把它看成一般的等式，等号两边不能分开，它表示的是a、b、q、r四个数之间有a,bq+r这一关系，单独写成“q„„r”是没有意义的。
因为“a?
b,q„„r”是一个整体，所以它不具有一般等式的反身性和传递性。
也就是说，我们不能把a?
b,q„„r写成q„„r,a?
b;也不能a?
b,q„„r和c?
b,q„„r得到a?
b,c?
b。
例如，从1?
7=0„„1和1?
8=0„„1就不能得到1?
7,1?
8，从7?
3=2„„1和9?
4=2„„1也不能得到7?
3,9?
4。
同理，我们不能从na?
nb,a?
b（n是不为0和1的整数）和a?
b,q„„r得到na?
nb,q„„r。
例如70?
20,7?
2，7?
2,3„„1，但我们不能由此得到70?
20,3„„1。
不少人找不到70?
20,7?
2,3„„1的错误究竟在何处，原因就是没有透彻理解“有余数除法”的定义。
5、为什么要引进负数,
自然数与分数的产生，可以说都是很自然的事情。
但是数的概念接下来的这一次扩展，就不再是自然的了。
因为这需要人们突破0的障碍，认识到存在“比没有还要少”的数。
这就需要引进一种比0还要小的负数，所以，引进负数的原因之一是人们在生产生活中经常会遇到各种相反意义的量，原因之二是使减法运算永远可以实施。
在小学数学中，负数没有参与运算。
据史料记载，早在两千多年前,我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。
三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。
刘徽首先给出了正负数的定义，他说:
“今两算得失相反，要令正负以名之。
”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。
刘徽第一次给出了区分正负数的方法。
他说:
“正算赤，负算黑;否则以邪正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数;也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。
我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则:
“正负数曰:
同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之;其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。
”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”。
用现在的话说就是:
“正负数的加减法则是:
同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。
零减正数得负数，零减负数得正数。
异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。
零加正数等于正数，零加负数等于负数。
”
这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致～负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。
用不同颜色的数表示正负数的习惯，一直保留到现在。
现在一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财政上亏了钱。
负数是正数的相反数。
在实际生活中，我们经常用正数和负数来表示意义相反的两个量。
夏天武汉气温高达42?
C，你会想到武汉的确象火炉，冬天哈尔滨气温-32?
C一个负号让你感到北方冬天的寒冷;珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米;吐鲁番盆地的高度是海拔-155米。
在国外，负数出现得很晚，直至公元1150年（比《九章算术》成书晚l千多年），印度人巴土卡洛首先提到了负数，而且在公元17世纪以前，许多数学家一直采取不承认的态度。
如法国大数学家韦达，尽管在代数方面作出了巨大贡献，但他在解方程时却极力回避负数，并把负根统统舍去。
有许多数学家由于把零看作“没有”，他们不能理解比“没有”还要“少”的现象，因而认为负数是“荒谬的”。
直到17世纪，笛卡儿创立了坐标系，负数获得了几何解释和实际意义，才逐渐得到了公认。
从上面可以看出，负数的引进，是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。
6、数的整除特征
比较常见的整除性判断方法主要有两类,一类是看末位或末几位数字;另一类是先计算数字和或者乘以适当系数的数字和,再作判断。
（1）能被2或5整除的数的特征是:
这个数的末一位数能被2或5整除。
（2）能被4或25整除的数的特征是:
这个数的末两位数能被4或25整除。
（3）能被8或125整除的数的特征是:
这个数的末三位数能被8或125整除。
判断能否被以上这类数整除的方法就是用到第一种方法，看末位或末几位数字。
现在以“能被4或25整除的数的特征”为例证明:
为什么只要看这个数的末两位数能被4或25整除就可以了。
证明:
设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，„，an，那么
N=an?
10n+„+a2?
102+a1?
10+a0
N=（an?
10n-2+„+a2）102+（a1?
10+a0）
其中（an?
10n-2+„+a2）102能被4或25整除，那么如果（a1?
10+a0），也就是N的末两位数能被4或25整除，N就能被4或25整除。
例:
判断53728能不能被4整除
解:
?
28能被4整除，?
53728能被4整除
4）一个自然数被3整除判别准则是它的各位上的数字和能被3整除;一个自然数被（
9整除的判别准则是它的各位上的数字和能被9整除。
为什么会有这么简单的准则呢,我们如何证明各位数字和能被3除尽，这个数就能被3除尽。
（这一题也是2011年教师考调试题中的一道证明题）;
证明:
设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，„，an，那么
N=an?
10n+„+a2?
102+a1?
10+a0
=[（10n-1）an+„+（100-1）a2+（10-1）a1]+（an+„+a1+a0）
因为（10-1），（100-1），„，（10n-1）都能被3或9整除，所以（10n-1）an+„+（100-1）a2+（10-1）a1也能被3或9整除。
那么，如果（an+„+a1+a0），也就是N的各数位上的数字之和能被3或9整除，N就能被3或9整除。
（5）能被7、11或13整除的数的特征是:
这个数的末三位数与末三位以前的数字之差（或反过来）能被7、11或13的整除。
证明:
设整数N从个位起各位上的数字为a0，a1，„，an，
那么N=an?
10n+an-1?
10n-1+„+a3?
103+a2?
102+a1?
10+a0
=（an?
10n-3+an-1?
10n-4+„+a3）?
1000+a2?
102+a1?
10+a0
设U=an?
10n-3+an-1?
10n-4+„+a3
V=a2?
102+a1?
10+a0
那么N=U?
1000+V=U（1000+1）+V,U
当U?
V时，A=1001U+（V,U），
当U,V时，A=1001U,（U,V）。
因为1001能被7、11、或13整除，所以1001U也能被7、11、或13整除。
因此，N能被7、11、或13整除的特征，就是V,U或U,V能被7、11、13整除。
例:
判断1005928能不能被7、11、13整除
解:
1005928的末三位数V,928，
末三位数以前的数字所组成的数U,1005，
U,V,1005,928,77。
另外，判断一个数能不能被11整除，还可以用，就是说，一个数能被11整除的充要条件是:
它的奇位上的数字和与偶位上的数字和之差（或反过来）能被11整除。
我们知道，11，99，1001，9999，„都是11的倍数，也就是（10+1），（100,1），（1000+1），（10000,1），„
下面以一个四位数N为例，说明一下“奇偶位差法”。
因为N=a3?
103+a2?
102+a1?
10+a0
=a3?
（1001-1）+a2?
（99+1）+a1?
（11-1）+a0
=a3?
1001+a2?
99+a1?
11+a0-a3+a2-a1+a0
=（a3?
91+a2?
9+a1）?
11+[（a2+a0）–（a3+a1）]
N能被11整除的充要条件是:
[（a2+a0）–（a3+a1）]能被11整除
在整除性判断时，还有一个非常有用的原则:
如果一个自然数A可以同时被自然数d和b整除，并且d和b互质，那么，A能被db整除。
例如，5125764同时被7和4整除，所以它能被4×7=28整除;个位数字为0的数能被10整除，因为它同时能被2和5整除。
这里两个除数互质的条件是非常重要的，千万不能忽略。
二、空间与图形领域中的知识拓展。
1、大于180度小于360度的是什么角,
如教学《角的认识》时，当明确锐角、直角、钝角概念以后，突然有学生提问“;大于180?
，小于360?
的角是什么角,”教师先是一愣，然后说“:
这个我也不知道，书上也没说，大家知道吗,”结果没有人知道，大于180?
小于360?
的角在这节课就成了没有揭开的谜。
事实上，以90?
为分界点，180?
以内的角可以分为锐角、直角和钝角;如以180?
为分界点的话，那么360?
以内的角可分为劣角和优角。
2、如何确定“左、右”,
【案例】
老师在学生初步感知左右以及左右的相对性后,进行了以
下环节的教学。
师,机灵狗有个问题要考考我们呢。
图中上去的小朋友和
下来的小朋友,他们都是靠右走的吗,
生1,上去的小朋友是靠右边走的,下来的小朋友也是靠右边走的。
生2,我有不同的意见,我觉得下来的小朋友是靠左走的。
师,说说你的想法。
生2,上去的小朋友是靠我的右手走的,而不来的小朋友是靠我的左边手走的,所以我觉得下来的小朋友是靠左走的。
师,到底哪个答案是正确的呢,下面我们先来做个小游戏,然后同桌之间讨论讨论。
教师挑选了5名学生在教室里模仿图上的情境走了一遭。
学生讨论后汇报,一致同意下来的小朋友也是靠右走的观点中。
师生共同小结,要判断图中的小朋友靠哪边走,就不能以我们的左右来判断,而是要以图中小朋友的左右来判断。
……
在评课交流时，有老师提出:
生2认为图中下来的小朋友靠左走也是可以的，因为他是站在自己的角度，以观察者的左右为标准来确定左右位置的，这是左右相对性的体现。
他建议上课教师在预设时应出示两个问题:
1、图中的小朋友是靠我们的哪边走的,2、如果你是图中的小朋友，你认为自己是靠哪边走的,该教师的观点和建议得到了绝大多数教师的赞同。
上课教师一看这阵势，也不敢坚持自己的意见了。
那么，我们是不是真的可以像上面教师所建议的那样，要从
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