第6讲找简单数列的规律.docx
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第6讲找简单数列的规律
第六讲找简单数列的规律
日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如:
自然数:
1,2,3,4,5,6,7,…
(1)
年份:
1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996
(2)
某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五班排列)
45,45,44,46,45(3)
像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为这个数列的第1项,第2个数称为第2项,…,第n个数就称为第n项.如数列(3)中,第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。
根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列(即有有穷多个项的数列)称为有穷数列,把项数无限的数列(即有无穷多个项的数列)称为无穷数列,上面的几个例子中,
(2)(3)是有穷数列,
(1)是无穷数列。
研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。
例1观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.
①2,5,8,11,(),17,20。
②19,17,15,13,(),9,7。
③1,3,9,27,(),243。
④64,32,16,8,(),2。
⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34…
⑥1,3,4,7,11,18,(),47…
⑦1,3,6,10,(),21,28,36,().
⑧1,2,6,24,120,(),5040。
⑨1,1,3,7,13,(),31。
⑩1,3,7,15,31,(),127,255。
(11)1,4,9,16,25,(),49,64。
(12)0,3,8,15,24,(),48,63。
(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().
(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().
分析与解答
①不难发现,从第2项开始,每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此,括号中应填的数是14,即:
11+3=14。
②同①考虑,可以看出,每相邻两项的差是一定值2.所以,括号中应填11,即:
13—2=11。
不妨把①与②联系起来继续观察,容易看出:
数列①中,随项数的增大,每一项的数值也相应增大,即数列①是递增的;数列②中,随项数的增大,每一项的值却依次减小,即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外,这两个数列却有一个共同的性质:
即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列,称为等差数列.
③1,3,9,27,(),243。
此数列中,从相邻两项的差是看不出规律的,但是,从第2项开始,每一项都是其前面一项的3倍.即:
3=1×3,9=3×3,27=9×3.因此,括号中应填81,即81=27×3,代入后,243也符合规律,即243=81×3。
④64,32,16,8,(),2
与③类似,本题中,从第1项开始,每一项是其后面一项的2倍,即:
因此,括号中填4,代入后符合规律。
综合③④考虑,数列③是递增的数列,数列④是递减的数列,但它们却有一个共同的特点:
每列数中,相邻两项的商都相等.像③④这样的数列,我们把它称为等比数列。
⑤1,1,2,3,5,8,(),21,34…
首先可以看出,这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系,可以发现,从第3项开始,每一项等于它前面两项的和.即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=3+5.因此,括号中应填的数是13,即13=5+8,21=8+13,34=13+21。
这个以1,1分别为第1、第2项,以后各项都等于其前两项之和的无穷数列,就是数学上有名的斐波那契数列,它来源于一个有趣的问题:
如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔,小兔一个月后就长成了大兔子,于是,下一个月也能生一对小兔子,这样下去,假定一切情况均理想的话,每一对兔子都是一公一母,兔子的数目将按一定的规律迅速增长,按顺序记录每个月中所有兔子的数目(以对为单位,一月记一次),就得到了一个数列,这个数列就是数列⑤的原型,因此,数列⑤又称为兔子数列,这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1,3,4,7,11,18,(),47…
在学习了数列⑤的前提下,数列⑥的规律就显而易见了,从第3项开始,每一项都等于其前两项的和.因此,括号中应填的是29,即29=11+18。
数列⑥不同于数列⑤的原因是:
数列⑥的第2项为3,而数列⑤为1,数列⑥称为鲁卡斯数列。
⑦1,3,6,10,(),21,28,36,()。
方法1:
继续考察相邻项之间的关系,可以发现:
因此,可以猜想,这个数列的规律为:
每一项等于它的项数与其前一项的和,那么,第5项为15,即15=10+5,最后一项即第9项为45,即45=36+9.代入验算,正确。
方法2:
其实,这一列数有如下的规律:
第1项:
1=1
第2项:
3=1+2
第3项:
6=1+2+3
第4项:
10=1+2+3+4
第5项:
()
第6项:
21=1+2+3+4+5+6
第7项:
28=1+2+3+4+5+6+7
第8项;36=1+2+3+4+5+6+7+8
第9项:
()
即这个数列的规律是:
每一项都等于从1开始,以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此,
第五项为15,即:
15=1+2+3+4+5;
第九项为45,即:
45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1,2,6,24,120,(),5040。
方法1:
这个数列不同于上面的数列,相邻项相加减后,看不出任何规律.考虑到等比数列,我们不妨研究相邻项的商,显然:
所以,这个数列的规律是:
除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此,括号中的数为第6项720,即720=120×6。
方法2:
受⑦的影响,可以考虑连续自然数,显然:
第1项1=1
第2项2=1×2
第3项6=1×2×3
第4项24=1×2×3×4
第5项120=1×2×3×4×5
第6项()
第7项5040=1×2×3×4×5×6×7
所以,第6项应为1×2×3×4×5×6=720
⑨1,1,3,7,13,(),31
与⑦类似:
可以猜想,数列⑨的规律是该项=前项+2×(项数-2)(第1项除外),那么,括号中应填21,代入验证,符合规律。
⑩1,3,7,15,31,(),127,255。
则:
因此,括号中的数应填为63。
小结:
寻找数列的规律,通常从两个方面来考虑:
①寻找各项与项数间的关系;②考虑相邻项之间的关系.然后,再归纳总结出一般的规律。
事实上,数列⑦或数列⑧的两种方法,就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候,从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此,仔细观察,认真思考,选择适当的方法,会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中,1=2-1
3=22-1
7=23-1
15=24-1
31=25-1
127=27-1
255=28-1
所以,括号中为26-1即63。
(11)1,4,9,16,25,(),49,64.
1=1×1,4=2×2,9=3×3,16=4×4,25=5×5,49=7×7,64=8×8,即每项都等于自身项数与项数的乘积,所以括号中的数是36。
本题各项只与项数有关,如果从相邻项关系来考虑问题,势必要走弯路。
(12)0,3,8,15,24,(),48,63。
仔细观察,发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11),因此,本数列的规律是项=项数×项数-1.所以,括号中填35,即35=6×6-1。
(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,()。
前面的方法均不适用于这个数列,在观察的过程中,可以发现,本数列中的某些数是很有规律的,如1,2,3,4,5,而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项,所以不妨把数列分为奇数项(即第1,3,5,7,9项)和偶数项(即第2,4,6,8项)来考虑,把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下:
奇数项:
1,2,3,4,5
偶数项:
2,4,8,16可以看出,奇数项构成一等差数列,偶数项构成一等比数列.因此,括号中的数,即第10项应为32(32=16×2)。
(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,()。
同上考虑,把数列分为奇、偶项:
偶数项:
2,4,6,8,10
奇数项:
1,3,9,27,().所以,偶数项为等差数列,奇数项为等比数列,括号中应填81(81=27×3)。
像(13)(14)这样的数列,每个数列中都含有两个系列,这两个系列的规律各不相同,类似这样的数列,称为双系列数列或双重数列。
例2下面数列的每一项由3个数组成的数组表示,它们依次是:
(1,3,5),(2,6,10),(3,9,15)…问:
第100个数组内3个数的和是多少?
方法1:
注意观察,发现这些数组的第1个分量依次是:
1,2,3…构成等差数列,所以第100个数组中的第1个数为100;这些数组的第2个分量3,6,9…也构成等差数列,且3=3×1,6=3×2,9=3×3,所以第100个数组中的第2个数为3×100=300;同理,第3个分量为5×100=500,所以,第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
方法2:
因为题目中问的只是和,所以可以不去求组里的三个数而直接求和,考察各组的三个数之和。
第1组:
1+3+5=9,第2组:
2+6+10=18
第3组:
3+9+15=27…,由于9=9×1,18=9×2,27=9×3,所以9,18,27…构成一等差数列,第100项为9×100=900,即第100个数组内三个数的和为900。
例3按下图分割三角形,即:
①把三角形等分为四个相同的小三角形(如图(b));②把①中的小三角形(尖朝下的除外)都等分为四个更小的三角形(如图(C))…继续下去,将会得到一系列的图,依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来,成为一个数列:
1,4,13,40…请你继续按分割的步骤,以便得到数列的前5项.然后,仔细观察数列,从中找出规律,并依照规律得出数列的第10项,即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.
分析与解答
第4次分割后的图形如左图:
因此,数列的第5项为121。
这个数列的规律如下:
第1项1
第2项4=1+3
第3项13=4+3×3
第4项40=13+3×3×3
第5项121=40+3×3×3×3
或者写为:
第1项1=1
第2项4=1+31
第3项13=1+3+32
第4项40=1+3+32+33
第5项121=1+3+32+33+34
因此,第10项也即第9次分割后得到的不重叠的三角形的个数是29524。
例4在下面各题的五个数中,选出与其他四个数规律不同的数,并把它划掉,再从括号中选一个合适的数替换。
①42,20,18,48,24
(21,54,45,10)
②15,75,60,45,27
(50,70,30,9)
③42,126,168,63,882
(27,210,33,25)
解:
①中,42、18、48、24都是6的倍数,只有20不是,所以,划掉20,用54代替。
②15、75、60、45都是15的整数倍数,而27不是,用30来替换27。
③同上分析,发现这些数中,42、126、128、882都是42的整数倍,而63却不是.因此,用210来代替63。
习题六
按一定的规律在括号中填上适当的数:
1.1,2,3,4,5,(),7…
2.100,95,90,85,80,(),70
3.1,2,4,8,16,(),64
5.2,1,3,4,7,(),18,29,47
6.1,2,5,10,17,(),37,50
7.1,8,27,64,125,(),343
8.1,9,2,8,3,(),4,6,5,5
习题六解答
1.等差数列,括号处填6。
2.等差数列,括号处填75。
3.等比数列,括号处填32。
5.相邻两项的和等于下一项,括号处填11。
6.后项-前项=前项的项数×2-1,括号处填26。
7.立方数列,即每一项等于其项数乘以项数再乘以项数,括号处填216。
8.双重数列,括号处填7.