人教版七年级数学上册 有理数 知识点归纳含例题.docx

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人教版七年级数学上册有理数知识点归纳含例题

1.1正数和负数

比0大的数叫做正数，比0小的数叫做负数。

0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。

在正数前面加上符号“－”的数就是负数。

例1、3.2、0.4、25%、

等都是正数；－3.2、－0.4、－25%、－

等都是负数。

正数前面可以加上符号“＋”，也可以省略这个符号。

但负数前面的符号“－”不能省略。

例2、13可以写成＋13，+13也可以省略“＋”号，写成13。

但是－13不能省略“－”号写作13。

0和正数统称为非负数，0和负数统称为非正数。

正数和负数可以分别用来表示相反意义的量。

例3、存入100元记为+100，则取出200元记为-200。

例4、向北走50米记为+50，则向南走70米记为-70。

0不仅可以表示“没有”，还可以表示其它意思。

例5、0是正数和负数的分界。

例6、0℃不代表没有温度，相反，0℃是一个确定的温度。

1.2有理数

正整数、0、负整数统称为整数，即：

整数

正分数、负分数统称为分数，即：

分数

整数和分数统称为有理数。

有理数的分类：

按定义分类按性质分类

有理数

有理数

与小学不同，在初中，如果一个小数能化成分数，那么这个小数也是分数。

例1、因为

，

，

，所以0.2、1.5、

都是分数。

例2、无限不循环小数，如π、1.010010001…等都不是分数。

引入负数之后，奇数和偶数的范围扩大了。

例3、不仅1、3、5、7……是奇数，而且-1、-3、-5、-7……也是奇数。

例4、不仅0、2、4、6、8……是偶数，而且-2、-4、-6、-8……也是偶数。

用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：

①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。

②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向。

在一些特殊情况下，也可以规定直线上从原点向上为正方向，从原点向下为负方向。

例如：

温度计。

③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，……

数轴的三要素是：

原点、正方向、单位长度。

数轴上，原点右边的数是正数，原点左边的数是负数。

数轴上，右边的数比左边的数大。

所有有理数都可以用数轴上的点来表示，包括分数或小数也可以用数轴上的点表示。

例5、从原点向右3.5个单位长度的点表示小数3.5。

例6、从原点向左

个单位长度的点表示分数-

。

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

只有符号不同的两个数互为相反数。

例7、3和－3互为相反数，a和－a互为相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

如果一个数前面已经有“－”号，要求它的相反数，则要添上括号。

例8、－（－6）表示－6的相反数，－（－6）=6。

一个算式里有几个数相加或相减，要求它的相反数，则要把整个算式括起来，再添上“－”号。

例9、3a+b的相反数是－（3a+b）。

例10、4x-6y的相反数是－（4x-6y）。

－（＋a）=－a，－（－a）=a，－0=0

在一个数前面加上符号“－”的数不一定是负数。

例11、a可以表示任意数，如果在它前面加上符号“－”，则变成了－a，但－a不一定是负数。

因为当a=0时，则有－0=0，0不是负数。

所以－a不一定是负数。

相反数的几何意义：

在数轴上，到原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数。

这两个数分别在原点的两侧，并且关于原点对称。

如果a是一个正数，那么在数轴上与原点的距离为a的点有两个，它们分别在原点的两侧，关于原点对称，表示为a和－a。

例12、到原点距离为5的点分别表示为5和－5。

一个数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫做它的绝对值，记作|a|。

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

用字母a表示如下：

①当a＞0，|a|=a。

②当a=0，|a|=0。

③当a＜0，|a|=－a。

任何一个有理数的绝对值都是非负数，所以说绝对值具有非负性，即|a|≥0。

例13、|3|=3，|－3|=3，|0|=0。

比较有理数大小的方法：

①看数轴，数轴上右边的数比左边的数大。

②比较两个负数时，绝对值大的反而小。

例14、比较－5和－7的大小。

|－5|=5，|－7|=7

因为7＞5

所以－7＜－5

已知一个数的绝对值，求这个数，可能有两种情况。

例15、已知|a|=5，则a=±5。

绝对值的化简：

①当a≥0，|a|=a

②当a≤0，|a|=－a

1.3有理数的加减法

有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例1、计算（－3）+（－5）

分析：

两数的符号都是“－”号，所以得数的符号是“－”号。

－3的绝对值是3，－5的绝对值是5。

3+5=8

所以（－3）+（－5）=－8。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例2、计算（－3）+5

分析：

－3的绝对值是3，5的绝对值是5。

5＞3

所以得数的符号是“＋”号，“＋”号可以省略。

5-3=2

所以（－3）+5=2。

③互为相反数的两个数相加得0。

例3、（－6）+6=0

④一个数与0相加，仍得这个数。

例4、6+0=6，－10+0=－10。

计算有理数的加减法时，要先定符号，再算绝对值。

小学所学的加法运算定律对有理数仍然适用。

加法运算定律：

①加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

字母表示：

a+b=b+a

②加法结合律：

三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后面两个数相加，和不变。

字母表示：

a+b+c=a+（b+c）

③如果一个算式中只有加法运算，则加数的顺序可以任意交换。

有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

字母表示：

a-b=a+（－b）

运用有理数减法法则，可以把减法转化为加法，之后就可以用有理数加法法则来计算。

例5、5-8-7

=5+（－8）+（－7）

=（－3）+（－7）

=－10

拆括号法则：

①a+（－b）=a-b

②a-（－b）=a+b

例6、10+（－8）-（－7）

=10-8+7

=2+7

=9

1.4有理数的乘除法

有理数乘法法则：

①正数乘正数，积为正数。

②正数乘负数，积为负数。

③负数乘正数，积为负数。

④负数乘负数，积为正数。

总的来说就是一句话：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例1、计算3×（－5）

分析：

3和－5异号

所以结果为负数

绝对值相乘：

3×5=15

所以3×（－5）=－15

例2、计算（－4）×（－6）

分析：

－4和－6同号

所以结果为正数

绝对值相乘：

4×6=24

所以（－4）×（－6）=24

计算有理数的加减法和乘法都要先定符号，再确定积的绝对值。

任何数与0相乘，都得0。

要得到一个数的相反数，只要将它乘－1。

乘积是1的两个数互为倒数。

小学所学的乘法运算定律对有理数的乘法仍然适用。

用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略。

例3、a×b可以写为a·b或ab。

乘法运算定律：

①乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

字母表示：

ab=ba

②乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

字母表示：

abc=a（bc）

③如果一个算式中只有乘法运算，那么乘数的位置可以任意交换，积仍然相等。

④乘法分配律：

一个数与两个数的积相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把所得的积相加。

字母表示：

a（b+c）=ab+ac

几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。

简称：

奇负偶正。

几个数相乘，如果至少有一个乘数为0，那么积就为0。

例4、（－723）×（－959）×（－

）×0=0

有理数除法法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

字母表示：

0不能为除数。

从有理数除法法则可以看出：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

运用有理数除法法则，可以除法问题可以转化为乘法问题来解决。

分数可以理解为分子除以分母。

例5、化简：

有理数的混合运算法则：

①如果没有括号，那么按从左往右的顺序来计算，先乘除，后加减。

②如果右括号，那么就要先算括号里面的。

计算有理数的混合运算时，往往要先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求结果。

1.5有理数的乘方

n个相同的因数a相乘，即

，记作

，读作：

a的n次方。

可以读作a的二次方，也可以读作a的平方。

可以读作a的三次方，也可以读作a的立方。

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在

中，a叫做底数，n叫做指数，当

看作a的n次方的结果时，也可以读作：

a的n次幂。

例1、在

中，底数是3，指数是5，

读作“三的五次方”或“3的五次幂”。

一个数可以看作这个数本身的一次方。

指数1通常省略不写。

例2、

，

。

与

是不一样的。

读作：

负a的n次方；

读作：

a的n次方的相反数。

例3、

例4、

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

简称：

奇负偶正。

例5、

，

。

正数的任何次幂都是正数。

0的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算的顺序：

①先乘方，再乘除，最后加减。

②同级运算，按从左到右的顺序进行。

③如果有括号，那么就要先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行。

把一个数表示成

的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法。

一个能表示原来物体或事件实际数量的数，叫做准确数。

与准确数相近的数，叫做近似数。

例6、“今天全班50人都有出勤”，这里的数字50就是准确数。

例7、“我们学校初一大概有250人”，这里的250就是近似数。

求近似数，一般要用四舍五入法。

四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

精确到0.1，也叫精确到十分位；

精确到0.01，也叫精确到百分位；

精确到0.001，也叫精确到千分位；

……

以此类推

例8、5.372精确到十分位是5.4。

例9、6.738精确到0.01是6.74。

从一个数左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，这些数字都是有效数字。

例10、0.0312004有6个有效数字，分别是：

3、1、2、0、0、4。