数学公式.docx

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数学公式

公式  

1．星期，每过一年星期数加1，闰年加2 

2．圆分割平面：

n2-n+2  

3．两两握手问题，另称几个队比赛问题，两两比，共比36场，有几个队。

  M（m-1）/2=36  

4．行程问题之二次相遇公式S=3a-b（下有详解） 

5．隔N天=每N+1天，如隔5天便是每六天。

6．平均数=中位数=首项+尾项/2，项数=[（末项-首项）/分差]+1  

7．吃糖问题：

吃颗糖，每天至少一颗，则共有方法，2N-1 

8．渡河问题  

N次渡河最多可渡过的人数=渡河次数×（每次人数-1）+1  

9．奇数加减奇数=偶数   偶数加减偶数=偶数  

所以若两数和/差为奇，则两数奇偶相反；若两数和/差为偶，则两数奇偶相同   

一．页码类问题。

王先生在编一本书，其页数需要用6869个数字，问这本书具体是多少页？

      A.1999 B.9999 C.1994 D.1995  

【析】 1～9 页是9个数字，  10～99 页是 2×90＝180个数字  

100～999页 是 3×900＝2700个 数字  那么我们看剩下的是多少  6869－9－180－2700＝3980  

剩下3980个数字都是4位数的个数  则四位数有 3980/4=995个  

则这本书是 1000＋995－1＝1994页  为什么减去1  

是因为四位数是从1000开始算的！

二．隔人除人问题。

1．有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取偶数位置上的牌，问最后剩下的一张牌是多少号？

    A、1 B、16 C、128 D、256  

―――――――――――――――――――――――――――  

【析】抽取偶数位置上的牌，1是奇数位置上的，这个位置从未发生变化，所以1始终不可能被拿走，即最后剩下的就是编号1的骨牌。

2．有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数位置上的牌，问最后剩下的一张牌是多少号？

【析】 我们将1至10排开，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，  抽取一次后我们可以发现，留下的2。

4。

6。

8。

10都是2的倍数，  再抽取第二次，留下的4。

8是2的2次，3次方，  再抽取第三次，只有8这个2的三次方留下了。

总结：

大家记住这样一个规律 直线排列最后剩下的是总数目里面最大的2^n次方  此题300内最大的2的n次方就是256  

所以如果每次拿走奇数位置上的骨牌，那么最后剩下的就是编号256  

三．整除问题（这个现在不太常用了）  

下列哪项能被11整除？

  A．937845678 B．235789453 C．436728839 D．867392267  ----------【析】  

9＋7＋4＋6＋8＝34  3＋8＋5＋7＝23  34－23＝11  所以 答案是A  

所有的奇数位置上的数之和－所有偶数位置上数字之和＝11的倍数 那么这个数就能被11整除。

这类题目属于数字整除特性题目我们这里就顺便介绍几个这样的规律：

（1） 1与0的特性：

 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.  

（2） 若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3） 若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4） 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5） 若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：

13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：

613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！

过程唯一不同的是：

倍数不是2而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除  

四．行程问题。

（重中之重）  

任何行程问题，包括年龄问题，钟表问题，关键是找出不变量，巧用比例。

  速度和×相遇时间=相遇/相离路程  速度差×追及时间=路程差  

1．甲乙二人分别从相距若干公里的A、B两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，甲又经1小时到达B地，乙又经4小时到达A地，甲走完全程用了几小时      A．2 B．3 C. 4 D．6  

―――――――――――――――  【析】  

不管时间怎么变速度比是不变的。

 第一步就是找出不变量，之后便是巧用比例。

  假设相遇时用了a小时  

那么甲走了a小时的路程 乙需要4小时  根据速度比＝时间的反比  则V甲：

V乙＝4 ：

a  

那么乙走了a小时的路程 甲走了1小时  还是根据速度比＝时间的反比  则 V甲：

V乙＝a ：

1  即得到 4：

a＝a:

1  a=2  

所以答案是甲需要1＋2＝3小时走完全程！

2．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离  

    A、2 B、3 C、4 D、5  

――――――――――――――――  

【析】 这个题目是关于多次相遇问题的类型。

先介绍一下多次相遇问题的模型。

  例如：

有这样一个多次相遇问题的模型图  S……………M…………N……E  

SE这段路程，甲从S出发，乙从E出发，甲乙两个人在M处第一次相遇了，相遇的时候我们知道 甲行驶了 SM的长度。

甲乙路程之和是SE 一个完整的路程。

N点是第2次相遇的地点。

我们发现 此时从第一次相遇的点M开始到第2次相遇的点N。

  甲走了ME＋EN，而乙在跟甲相同的时间下走了MS＋SN  

我们再次发现：

甲乙两者路程之和是 ME＋EN＋MS＋SN＝2SE  

是2倍的全程。

 你可以继续研究第3次相遇的情况。

或者更多次。

我们发现：

第一次相遇时，甲的路程或者乙的路程是1份的话。

第2次相遇时 甲或者乙又行驶了2倍的第一次的路程。

看上述题目：

我们发现 第一次相遇距离A点4千米。

那么我们知道 从A出发的甲是走了4千米， 相遇后2人继续行驶，在距离B点3千米处相遇。

说明甲又走了2×4＝8千米  画个图：

 A．。

。

。

。

。

。

4.。

。

。

。

。

3.。

。

。

。

。

B  

我们发现甲从开始到最后的总路程就是AB＋3  

也就是3倍的第一次的距离。

 所以AB＝3×4－3＝9千米  

那么两个相遇点之间的距离就是 9－4－3＝2千米。

以上是天字一号的解释，我当时看的很辛苦，反正看不看的懂都要记住我下面这个公式，  设甲走的路程为a（本题中为4），b为剩下的那个路程（本题中为3），AB间距离为S  则S=3a-b=3×4-3=9（km）  

则两个相遇点之间的距离就是 9－4－3＝2千米   

3．某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。

已知步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。

问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A、5.5 小时    B、 5 小时    C、4.5小时      D、4 小时  -----------------------------------  

【析】 行程问题先找不变量，谁没变，汽车，一直在均速的跑，实际就是问车子跑了多少小时。

根据题目条件,画个图  

甲...............A.............................B...............乙  图中：

A是汽车回来接先步行的人的地点  B是汽车把先乘车的人放下的地点。

则车先跑了甲B，再跑了BA，再跑了A乙，  在根据相同时间内 路程之比=速度比=40:

8=5:

1  设甲A为1，则（甲A+BA+A乙）：

甲A=5：

1。

  又因为甲A=B乙，  所以AB=2，B乙=1，  

则甲乙为4，那么车跑了甲A+BA+A乙=8，  

所以车跑了路程的两倍（这一点必须记住，像这一种两批人一辆车的问题，车子跑的永远是路程的两倍，就算中间停了几分钟，它跑的路程也是不变的。

）  车路=2S  则2S÷车速=200÷40=5（时）   

4．某车第一次上坡行驶4千米又下坡行驶21千米，第二次在同一道路上行驶上坡7千米又下坡12千米，两次使用时间相等，则车上下坡速度之比是多少？

  【析】比例问题。

上坡多走3KM与下坡多走9KM所用时间相等。

 所以，上坡速：

下坡速=1：

3   

5．相遇追及  

有益于相对运动的用和，速度取和，如相遇  阻碍相对运运动的用差，速度取差，如追及。

  队列相遇：

（火车常用）  

从队尾到队头的时间=队伍长度/速度差  从队头到队尾的时间=队伍长度/速度和  

如：

一个队伍每分钟走60M，A从队尾走到队头又立即返回队尾，用时10分钟，设A速为每分钟150M，则队伍长度为  

【析】X/（150-60）+X/（150+60）=10  所以X=630  

6．环形运动  

异向而行：

则相邻两次相遇的路程和是周长  同向而行，则相邻两次相遇的路程差为周长。

如：

甲乙丙三人沿湖散步，同时从湖边一固定地点出发，甲暗顺时针方向行走，乙与丙暗逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1．25分钟遇到丙，再过3．75分钟第二次遇到乙。

已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长是600米，则丙的速度为多少？

  【析】设甲的速度为x,乙的速度为2x/3 ，丙的速度为y  

甲第一次遇到乙后1．25分钟遇到丙，再过3．75分钟第二次遇到乙  那么：

甲第一次遇到乙后，再过（3.75+1.25）=5分钟第二次遇到乙  600/（x+2x/3）=5  x=72  

甲第一次遇到丙的时间为：

600/（x+y）=600/（72+y）  则：

 600/（72+y）-5=1.25  

y=600/6.25-72=96-72=24（米/分钟）   

7．流水行船。

顺水速=船速+水速    逆水速=船速-水速   

8．钟面追及  

思路：

封闭曲线上的追及问题  

关键：

A。

确定分针与时针的初始位置。

   B．确定时针分针间的路程差。

方法。

A分针比时针每分钟多走11/12格。

B．分钟一分钟走6度，时针走0。

5度。

  如：

小李开了一个多钟头会，会开始时看了下表，结束时又看了下，发现时针分针的位置恰好换了下，问这次大会开了1小时多少分？

【析】分针时钱互换，表明两者共走了720度。

  所以720/（6+0。

5）  

五．集合问题（二次集合公式与三次集合公式必须背会，此为重中之重）  

1．三次集合。

A、B、C三本书，至少读过其中一本的有20人，读过A书的有10人，读过B书的有12人，读过C书的有15人，读过A、B两书的有8人，读过B、C两书的有9人，读过A、C两书的有7人。

三本书全读过的有多少人？

（）      A.5 B.7 C.9 D.无法计算  

【析】 （不会放图，大家自行画个图效果一目了然）  首先这里不考虑都不参与的元素  

（1） A+B+T=总人数  

（2） A＋2B＋3T＝至少包含1种的总人数  （3） B＋3T＝至少包含2种的总人数  

若还有都不参加者，则设为P，则A+B+T+P=总人数，其他两个公式相同。

  这里介绍一下A、B、T分别是什么  

看图 A＝x＋y＋z； B＝a＋b＋c；T＝三种都会或者都参加的人数  看这个题目我们要求的是看三本书全部读过的是多少人？

实际上是求T  

根据公式：

（1） A＋B＋T＝20  

（2） A＋2B＋3T＝10＋12＋15＝37  （3） B＋3T＝8＋9＋7＝24  

（2）－

（1）＝B＋2T＝17 结合（3） 得到T＝24－17＝7人   

2．二次集合。

现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人  A.27人        B.25人        C.19人        D.10人  

“满足条件一的个数”＋“满足条件二的个数”－“两者都满足的个数”＝“总个数”－“两者都不满足的个数”  

代入公式就应该是：

40+31-x=50-4，得到x=25。

六．牛吃草问题（记住公式）  

（吃的较多的天数×牛数-吃的较少的天数×牛数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长的草  

牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=原有草量  牛的头数×吃草天数+每天新减量×吃草天数=原有草量   

1．水池下有一个出水口，5台抽水机20小时可抽完水，8台抽水机15小时抽完水，若靠出水口漏水，则多久可漏完？

  【析】（吃的较多的天数×牛数-吃的较少的天数×牛数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长的草（每小时漏的水）  （15×8-20×5）÷（20-15）=4（份水）  

牛的头数×吃草天数+每天新减量×吃草天数=原有草量  5×20+4×20=180（份水）  180÷4=45（时）   

七．浓度比例问题  

这类问题首先考虑十字相乘法  

1．有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？

A 24 B 48 C 32 D 16  

【析】 公式：

 mn/（m+n）=120*80/（120＋80）＝48  

公式怎么来的，十字相乘，但我学习一向是好读书不求解，记住公式就行了，没空去解，解只是过程，目的是要记住记死这个公式。

2．一个50 %的溶液X克和一个30%的溶液Y克混合成36%溶液（X+Y）克，问X：

Y=  【析】看到比例，第一反应就要是十字相乘。

 50       6     

 36  

30       14  

所以X：

Y=6：

14  

八．工程问题。

考查的是工效，时间，工作总量之间的关系，两人干活，一快一慢，可假设慢的人全干。

  工程差/速度差=快的人所干时间。

  工程问题取公倍数可更简便。

工程问题（其实是所有数学运算）重视比例，一般很少手算，多用比例。

1．一件工作甲先做6小时，乙接着12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时可以完成。

如果甲做了3小时后乙接着做，还需要多少小时？

【析】    甲        乙  

完成工作  6H       12H 

完成工作  8H       6H  

完成工作  3H       X  

甲做（8-6）H的工作，乙要做（12-6）H。

  所以甲=3乙  

因为甲只做了3H，比6H少3H  所以乙=12+3×3=21（时）   

九．鸡兔同笼问题  

如；超额用水加倍收费，未超2。

5/吨，用15吨给62。

5元，则用12吨多少钱？

  【析】全用超额则15×5=75  

所以（75-62。

5）/（5-2。

5）=5（吨）  则5吨水不超，后面 就好算了。

十．错位排列

有N封信和N个信封，每封信都放错，  则N1=0，M2=1，N3=2，N4=9，M5=44，  

如；甲乙丙丁四人站成一排,已知:

甲不站第一位,乙不站第二位,丙不站第三位,丁不站第四位,则所有可能的站法数位多少种?

 A 6 B12 C9 D24  

【析】N4=9   

十一．传球问题

 N个人排M次球，记X=（N-1）M/N，，则与X最接近的整数为传给非自己的某人的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

如：

甲、乙、丙、丁、戊五人传球，由甲开始传（第一次必须由甲传），第五次又传回甲手中，请问有几次传法？

【析】X=（N-1）M/N，X=（4-1）5/4=60。

75，则最接近的61是传给别人的方法数，60为传回自己的方法数。

 （5为5次方） 

十二．剪绳

一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成2n×m+1段。

 （N为N次方） 如：

将一根绳子连续对折三次,然后每隔一定长度剪一刀,共剪6刀。

问这样操作后,原来的绳子被剪成几段?

  【析】2n×m+1=49  

十三．方阵问题

设最外层一边人数为N  

1．实心方阵人数：

N×N

2．最外层人数：

（N-1）×4  

3．相邻两层，外层人数比内层人数多8  

4．最外层人数=N×N-（N-4）×（N-4）