全国名校高三数学优质复习自学专题汇编附详解集合与常用逻辑用语.docx

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全国名校高三数学优质复习自学专题汇编附详解集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语专题

§1.1　集合及其运算

最新考纲

考情考向分析

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩（Venn）图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（Venn）图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

A交B（或B交A）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

知识拓展

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．[P11例9]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3．[P44A组T5]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3或0

答案　B

解析　A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

答案　1

解析　∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.

经检验，a＝1符合题意．

2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　B

解析　B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

思维升华

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二　集合的基本关系

典例

（1）设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是（　　）

A．5B．4C．3D．2

答案　B

解析　∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，

∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2018.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

跟踪训练

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（　　）

A.

或－

B．－

或

C.

或－

或0D．－

或

或0

答案　D

解析　由题意知，A＝{2，－3}．

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上可知，a的值为－

或

或0.

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　（－∞，4]

解析　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则

解得2

综上，m的取值范围是（－∞，4]．

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

典例

（1）（·全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅

答案　A

解析　∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．

又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，

A∪B＝{x|x<1}．

（2）（珠海二中月考）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

A．A∩B＝∅B．A⊆B

C．B⊆AD．A∪B＝R

答案　D

解析　∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.

命题点2　利用集合的运算求参数

典例

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

A．－12

C．a≥－1D．a>－1

答案　D

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）

A．0B．1C．2D．4

答案　D

解析　由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.

（3）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是______．

答案　（－∞，－1]∪{1}

解析　因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}．

思维升华

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练

（1）（天津）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C等于（　　）

A．{2}B．{1,2,4}

C．{1,2,4,6}D．{x∈R|－1≤x≤5}

答案　B

解析　A∪B＝{1,2,4,6}．

又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1,2,4}．

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

A．[－1,2）B．[－1,3]

C．[2，＋∞）D．[－1，＋∞）

答案　D

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，

即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．

又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

典例若集合E＝{（p，q，r，s）|0≤p

A．200B．150

C．100D．50

答案　A

解析　在集合E中，当s＝1时，p＝q＝r＝0，此时只有1个元素；当s＝2时，p，q，r∈{0,1}，此时有2×2×2＝8（个）元素；当s＝3时，p，q，r∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27（个）元素；当s＝4时，p，q，r∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64（个）元素，故card（E）＝1＋8＋27＋64＝100.

在集合F中，（t，u）的取值可能是（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4），共10种可能．同理，（v，w）也有10种可能，故card（F）＝10×10＝100，∴card（E）＋card（F）＝200.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于（　　）

A．{x|3

C．{x|3

答案　B

解析　A＝{x|1

1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．ABD．BA

答案　D

2．（浙江）已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于（　　）

A．（－1,2）B．（0,1）

C．（－1,0）D．（1,2）

答案　A

解析　∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，

∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．

3．（四川）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　C

解析　由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C.

4．（·吉林大学附中模拟）若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于（　　）

A．∅B．{1,2}

C．[0,3）D．{0,1,2}

答案　D

解析　由A中不等式变形，得（x－5）（x＋1）<0，x∈N，解得－1

5．（潍坊调研）已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{0,1}B．{1}

C．{1,2}D．{0,1,2}

答案　B

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为（　　）

A．8B．4

C．3D．2

答案　B

解析　由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．

7．（全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

8．已知集合A＝{x|－1

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．（0，＋∞）

答案　B

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

9．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝________.

答案　（1,2）

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}．

10．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，则m＝______.

答案　1

解析　由集合中元素的互异性，

可得

　所以m＝1.

11．（·衡水模拟）若集合A＝{y|y＝lgx}，B＝{x|y＝

}，则集合A∩B＝________.

答案　[0，＋∞）

解析　集合A＝{y|y＝lgx}＝{y|y∈R}＝R，

B＝{x|y＝

}＝{x|x≥0}，

则集合A∩B＝{x|x≥0}＝[0，＋∞）．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．（·安徽黄山二模）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，∁RB＝

，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1}B．{－1,0}

C．{－2，－1,0}D．{0,1,2}

答案　C

解析　∵集合A＝{－2，－1,0,1,2}，

∁RB＝

＝{x|x<－2或x≥1}，

∴B＝{x|－2≤x<1}，则A∩B＝{－2，－1,0}．

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

可得m＝－1，n＝1.

15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

16．已知集合A＝

，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1

答案　8

解析　由

≥1，得

≤0，

∴－1

又∵B＝{x|x2－2x－m<0}，

A∩B＝{x|－1

∴4是方程x2－2x－m＝0的根，

即42－2×4－m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2

故实数m的值为8.