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微积分发展简史
微积分发展简史
一．微积分思想萌芽
微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?
天下篇》中记载了惠施的一段话：
"一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是：
"割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理：
"幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬（Antiphon,B.C420年左右）的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯（Eudoxus,B.C409-B.C356）那里得到补充和完善。
之后，阿基米德（Archimedes,B.C287-B.C212）借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
他的方法通常被称为"平衡法"，实质上是一种原始的积分法。
他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。
但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。
平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。
与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
阿基米德、阿波罗尼奥斯（Apollonius,c.BC262-c.BC190）等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。
古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。
二．十七世纪微积分的酝酿
微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。
1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。
一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。
这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：
第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。
这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。
开普勒（J.Kepler,1571-1630）与无限小元法。
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。
他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。
卡瓦列里（B.Cavalieri,1598-1647）与不可分量法。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》（1635）中系统地发展了不可分量法。
他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。
他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，既是我国的祖原理）：
如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。
利用这个原理他建立了等价于下列积分：
的基本结果，并解决了开普勒的旋转体体积的问题。
巴罗（I.Barrow,1630-1677）与"微分三角形"。
巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。
他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。
巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任"卢卡斯数学教授"，也是英国皇家学会的首批会员。
当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生-当时才27岁的牛顿来担任。
巴罗让贤已成为科学史上的佳话。
笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）、费马（P.deFermat,1601-1665）和坐标方法。
笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。
笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的"圆法"以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。
代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。
沃利斯（J.Wallis,1616-1703）的"无穷算术"。
沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。
在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。
其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。
前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。
虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。
因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
三．微积分的创立-牛顿和莱布尼茨的工作
1．牛顿的"流数术"
牛顿（I.Newton,1642-1727）1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。
17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。
史托克斯的劝说词中的一句话：
"在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失"，可以说是科学史上最幸运的预言。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。
在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文-《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了"正流数术"（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了"反流数术"；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了"微积分基本定理"。
"微积分基本定理"也称为牛顿-莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。
该定理用我们现代的语言叙述就是：
设函数在区间连续，对内任何，令
，
则。
如果是的一个原函数，则
。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。
1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》。
在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：
《运用无穷多项方程的分析学》（简称《分析学》，1669）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，1671）；《曲线求积术》（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。
在《分析学》中，牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的"瞬"，记作，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。
在论文《流数法》中，牛顿又恢复了运动学观点。
他把变量叫做"流"，变量的变化率叫做"流数"，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。
在《流数法》中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：
"已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系"；以及反过来"已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系"。
在《流数法》和《分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：
《流数法》以动力学连续变化的观点代替了《分析学》的静力学不可分量法。
牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了"首末比方法"。
牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说"在数学中，最微小的误差也不能忽略...。
在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的"。
在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：
"流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比"，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。
可以看出，牛顿的所谓"首末比方法"相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。
1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。
而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
2．莱布尼茨的微积分工作
莱布尼茨（W.Leibniz,1646-1716）出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。
1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。
这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。
然而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困绕以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉。
据说莱布尼茨的葬礼只有他忠实的秘书参加。
在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯（C.Huygens,1629-1695），在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）等人的著作。
与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。
特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。
1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。
1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程：
莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的是有穷量，有时又是小于任何指定的量然而不是零。
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能。
就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。
然而，一个局外人的一本小册子却引起了"科学史上最不幸的一章"：
微积分发明优先权的争论。
瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼茨又被英国数学家指责为剽窃者。
这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方。
这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换。
在牛顿和莱布尼茨二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。
虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面。
3．18世纪微积分的发展
在牛顿和莱布尼茨之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔（M.Rolle,1652-1779）在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。
微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布（JacobBernoulli,1654-1705）和约翰（JohnBernoulli,1667-1748），他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。
其中，约翰给出了求型的待定型极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达（L'Hospital,1661-1704）编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。
18世纪，微积分得到进一步深入发展。
1715年数学家泰勒（B.Taylor,1685-1731）在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。
后来麦克劳林（C.Maclaurin,1698-1746）重新得到泰勒公式在时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为"麦克劳林级数"。
雅各布、法尼亚诺（G.C.Fagnano,1682-1766）、欧拉（L.Eular,1707-1783）、拉格朗日（J.L.Lagrange,1736-1813）和勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的"椭圆积分"，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。
这方面的贡献主要应归功于尼古拉?
伯努利（NicholasBernoulli,1687-1759）、欧拉和拉格朗日等数学家。
另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折。
在这方面，贡献最突出的当数欧拉。
他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、单值函数与多值函数等，发现了函数和函数，并在《无限小分析引论》中明确宣布：
"数学分析是关于函数的科学"。
而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的。
他的《无限小分析引论》（1748）、《微分学原理》（1755）与《积分学原理》（1768~1770）都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被当作标准教材而广泛使用。
四．微积分中注入严密性
微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。
但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础-无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。
正因为如此，这一学说从一开始就受到多方面的怀疑和批评。
最令人震撼的抨击是来自英国克罗因的主教伯克莱。
他认为当时的数学家以归纳代替了演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。
伯克莱集中攻击了微积分中关于无限小量的混乱假设，他说：
"这些消失的增量究竟是什么？
它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消失量的鬼魂吗？
"伯克莱的许多批评切中要害，客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，引起了当时不少数学家的恐慌。
这也就是我们所说的数学发展史上的第二次"危机"。
多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。
从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。
18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔（d'Alembert,1717-1783）、欧拉和拉格朗日。
达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算"仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限"；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。
欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。
微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始见成效。
首先是捷克数学家波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848）1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。
然而，波尔察诺的工作长期淹没无闻，没有引起数学家们的注意。
19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西（A-L.Cauchy,1789-1857）。
柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的《分析教程》（1821）、《无穷小计算教程》（1823）以及《微分计算教程》（1829），它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
柯西的研究结果一开始就引起了科学界的很大轰动，就连柯西自己也认为他已经把分析的严格化进行到底了。
然而，柯西的理论只能说是"比较严格"，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。
比如柯西定义极限为：
"当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限"，其中"无限趋向于"、"可以随意小"等语言只是极限概念的直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。
另外，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：
任何无理数都能用有理数来任意逼近。
当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。
基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。
所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。
另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯（W.Weierstrass,1815-1897），他曾在波恩大学学习法律和财政，后因转学数学而未完成博士工作，得到许可当了一名中学教员。
魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人，在中学教书的同时，他以惊人的毅力进行数学研究。
由于他在数学上做出的突出成就，1864年他被聘为柏林大学教授。
魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义：
如果给定任何一个正数，都存在一个正数，使得对于区间内的所有的都有，则在处连续，如果上述叙述中，用代替，则说在处有极限。
这就是今天极限论中的""方法。
魏尔斯特拉斯用他创造的一套语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。
另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就首先要使实数系本身严格化。
而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）。
因此，分析的所有概念便可由整数导出。
这就是魏尔斯特拉斯所倡导的"分析算术化"纲领。
基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了"现代分析之父"的称号。
1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。
1872年，戴德金（R.Dedekind,1831-1916）、康托尔（B.Cantor,1829-1920）几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。
这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
五．微积分的应用与新分支的形成
18世纪的数学家们一方面努力探索在微积分中注入严密性的途径，一方面又不顾基础问题的困难而大胆前进，极大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，其紧密程度是数学史上任何时期都无法比拟的，它已成为18世纪数学的鲜明特征之一。
微积分的这种广泛应用成为新思想的源泉，从而也使数学本身大大受益，一系列新的数学分支在18世纪逐渐成长起来。
1．常微分方程与动力系统
常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。
从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程，这些问题在当时以挑战的形式被提出而在数学家之间引起激烈的争论。
牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟等都曾讨论过低阶常微分方程，到1740年左右，几乎所有的求解一阶方程的初等方法都已经知道。
1728年，欧拉的一篇论文引进了著名的指数代换将二阶常微分方程化为一阶方程，开始了对二阶常微分方程的系统研究。
1743年，欧拉给出了阶常系数线性齐次方程的完整解法，这是高阶常微分方程的重要突破。
1774-1775年间，拉格朗日用参数变易法解出了一般阶变系数非齐次常微分方程，这一工作是18世纪常微分方程求解的最高成就。
在18世纪，常微分方程已成为有自己的目标和方向的新数学分支。
18世纪，在处理更为复杂的物理现象时得到了偏微分方程，到了19世纪，数学家们求解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题，且所得到的常微分方程大都是陌生的。
对这些微分方程，数学家们便采用无穷级数解，即现在所谓的特殊函数或高级超越函数。
对18、19世纪建立起来的众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转向证明解的存在性，这也是微分方程发展史上的一个重要转折点。
最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪20年代，他给出了形如的常微分方程的第一个存在性定理。
19世纪后半叶，常微分方程的研
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