C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PB≠PC
解析：
∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.
答案：
C
5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
解析：
由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
答案：
B
6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（ ）
A.
B．1
C.
D．2
解析：
设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝
，
矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝
，
tan∠A1AB1＝
＝
.
又∠FDB1＝∠A1AB1，所以
＝
.
故B1F＝
×
＝
.故选A.
答案：
A
二、填空题
7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）．
解析：
连接AC，BD交于O，因为底面各边相等，所以BD⊥AC；又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：
DM⊥PC（或BM⊥PC）
8．（2017·上饶质检）已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：
①若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；
③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；
⑤若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n.
其中正确说法的序号为________．
解析：
对于①，注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此①不正确；对于②，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α，β平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n⊥β，因此②正确；对于③，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，③正确；对于④，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此④不正确；对于⑤，m与n有可能平行，因此⑤不正确．综上所述，其中正确的说法有②③.
答案：
②③
9．（2017·泉州模拟）点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：
①三棱锥A－D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
解析：
连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥P－AD1C的体积不变．
又因为VP－AD1C＝VA－D1PC，所以①正确．
因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．
由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1，故③不正确；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
答案：
①②④
三、解答题
10．如图，几何体EF－ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.
（1）求证：
AC⊥FB；
（2）求几何体EF－ABCD的体积．
解：
（1）证明：
由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.
∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC，
∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥AC.
又∵四边形ABCD为直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，
∴AC＝2
，BC＝2
，则有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，
∴AC⊥FB.
（2）连接EC，过B作CD的垂线，垂足为N，
易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.
∵VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VB－EFC＝
S梯形ABCD·DE＋
S△EFC·BN＝
，
∴几何体EF－ABCD的体积为
.
11．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
（1）证明：
平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
解：
（1）证明：
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
（2）设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝
x，GB＝GD＝
.
因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝
x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝
x.
由已知得，三棱锥E－ACD的体积
V三棱锥E－ACD＝
×
·AC·GD·BE
＝
x3＝
，故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝
.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为
.
故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2
.
1．（2017·兰州质检）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）
①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥平面DEC；
②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN⊥AE；
③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.
解析：
由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE＝AD，折叠后如图所示．
①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.
因为M，N分别是AD，BE的中点，
所以点P为AE的中点，故NP∥EC.
又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，
所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC.
所以AE⊥MP，AE⊥NP，
又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP.
又MN⊂平面MNP，
所以MN⊥AE，②正确；
③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误．
④当CE⊥ED时，CE⊥AD，这是因为由于CE⊥EA，EA∩ED＝E，所以CE⊥平面AED，AD⊂平面AED，得出EC⊥AD，④正确．
答案：
①②④
2．如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.
（1）求证：
BC⊥AF；
（2）试判断直线AF与平面EBC是否垂直.若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
解：
（1）证明：
因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，
因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，
所以BC⊥平面EABF.
又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.
（2）直线AF垂直于平面EBC.
证明如下：
由
（1）可知，AF⊥BC.
在四边形EABF中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝
，则∠EBA＝∠FAE.
设AF∩BE＝P，因为∠PAE＋∠PAB＝90°，故∠PBA＋∠PAB＝90°.
则∠APB＝90°，即EB⊥AF.
又EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.
3．如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：
DF∥a；
（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？
若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．
解：
（1）证明：
在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.
（2）线段BE上存在点G，且BG＝
BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：
取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，
∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
⇒GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG，
∴平面DFG⊥平面CDE.
此时，如平面图所示，
∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝
EF.
由△HGB∽△FGE可知
＝
，
即BG＝
BE.
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