高中数学专题训练五三个二次问题doc.docx

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高中数学专题训练——三个二次问题

（二次函数、不等式、方程）

1.解关于x的不等式：

（1）x2－（a＋1）x＋a＜0，

（2）2x2

mx20．

2设集合A={x|x2＋3k2≥2k（2x－1）}，B={x|x2－（2x－1）k＋k2≥0}，且A

B，试求k的取值

范围．

3．不等式（m2－2m－3）x2－（m－3）x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－1＜x＜1，解关于x的不等式qx2＋px

23

＋1＞0．

5．若不等式1x2qxp0的解集为x|2x4，求实数p与q的值．

p

6.设fxax2bxca0，若f01，f11，f－11,试证明：

对于

5

任意1x1，有fx.

4

7（.经典题型，非常值得训练）

设二次函数f

xax

2

bxca

0

，方程fxx0

的两个根x1,x2满足0x1

1

0,x1

时，证明x

f

xx1.

x2.当x

a

8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围.

（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围.

9.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,（a,b,c∈R）.

（1）求证：

两函数的图象交于不同的两点A、B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

t

y

（a>0且a≠1）

10.已知实数t满足关系式loga

loga

a3

a

3

（1）令t=ax,求y=f（x）的表达式；

（2）若x∈（0,2]时，y有最小值

8，求a和x的值.

11.如果二次函数y=mx2+（m－3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m

的取值范围.

p

q

r

12.二次函数f（x）=px2+qx+r中实数p、q、r满足

m1

=0,其中m>0,求证：

m2

m

（1）pf（m

）<0;

m

1

（2）方程f（x）=0在（0，1）内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为P=160－2x,生

产x件的成本R=500+30x元.

（1）该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于

1300元

（2）当月产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少元

14.已知a、b、c是实数，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，g（x）＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f（x）|≤1．

（1）证明：

|c|≤1；

（2）证明：

当－1≤x≤1时，|g（x）|≤2；

15.

设二次函数f

x

ax2

bxca0，方程fx

x0的两个根x1,x2满足

0

x1x2

1

f

x的图像关于直线x

x0对称，证明：

x0

x1

.

且函数

.

a

2

16.已知二次函数f（x）ax2bx1（a,bR,a0），设方程f（x）x的两个实数根

为x1和x2.

（1）如果x

2

x

2

4，设函数

f（x）的对称轴为

x

x0

，求证：

x0

1

；

1

（2）如果x1

2

，x2

x12，求b的取值范围.

17.设f（x）3ax2

2bxc.若abc0,f（0）

0，f

（1）

0,求证：

（Ⅰ）a＞0且－2＜a＜－1；

b

（Ⅱ）方程f（x）

0在（0，1

）内有两个实根.

18.已知二次函数的图象如图所示：

（1）试判断及的符号；

（2）若|OA|＝|OB|，试证明。

19.为何值时，关于

的方程

的两根：

（1）为正数根；

（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（

3）都大于

1；（4）一根大

于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20.证明关于的不等式与，当

为任意实数时，至少有一个桓成立。

21.已知关于的方程两根为，试求

的极值。

x28x20

22.若不等式mx2mx10对一切x恒成立，求实数m的范围.

23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a

集.

答案：

1.解：

（1）原不等式可化为：

（xa）（x

1）

0,若a＞1时，解为

1＜x＜a，若a＞1时，

解为a＜x＜1，若a=1时，解为

（2）△=m2

16．

①当m2

16

0即m

4或m

4时，△＞0．

方程2x2

mx

2

0有二实数根：

x1

m

m2

16,x2

m

m2

16.

4

4

∴原不等式的解集为

x|x

m

m2

16或x

m

m2

16.

4

4

①当m=±4时，△=0，两根为x1

x2

m.

4

若m4,则其根为－

1，∴原不等式的解集为

x|x

R,且x

1．

若m

4,则其根为

1，∴原不等式的解集为

x|x

R,且x

1．

②当－4＜m

4时，方程无实数根．∴原不等式的解集为

R．

2．解：

A{x|[x

（3k

1）][x（k

1）]

0}，比较3k

1,k

1的大小,

因为（3k

1）

（k

1）

2（k

1）,

（1）当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x

k

1}.

（2）当k=1时，x

R.

（3）当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=

x|x

k

1或x3k1.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式

4k2

4（k2

k）

4k，

（1）当k=0时，

0,xR.

（2）当k＞0时，△＜0，x

R.

（3）当k＜0时，

0,x

k

k或x

k

k.

故：

当k

0时，由B=R，显然有A

B，

当k＜0时，为使A

3k1

k

k

k

1，于是k

1

时，AB.

B，需要

1

k

k

k

综上所述，k的取值范围是：

k0或1k0.

3..解：

（１）当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，

①若m＝3，原不等式解集为R

②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0

1

4

（２）若m2－2m－3≠0，依题意有

m2

2m

3

0

1m

3

（m

3）2

4（m2

2m

即

1

3

3）0

m

5

∴－1＜m＜3

5

综上，当－

1＜m≤3时，不等式（m2－2m－3）x2－（m－3）x－1＜0的解集为R.

5

1，x2

1

4..解：

由已知得

x

1

是方程x2＋px＋q=0的根，

＝－

＝

2

3

∴－p=－

1

＋

1

q=－

1

1

2

3

2

×

3

∴p＝1，q＝－1，∴不等式qx2＋px＋1＞0

66

即－1x2＋1x＋1＞0

66

∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：

由不等式

1x2

qx

p

0的解集为x|2x

4

，得

p

2和4是方程1

x2

qx

p

0的两个实数根，且

1

0．（如图）

p

p

1

y

0

P

24

pq

p

0.

o2

4

x

24p2

解得P22,q

32.

2

6.解：

∵f

1

a

b

c,f1ab

c,f0

c,

∴a

1（f

1

f

1

2f0）,b

1（f

（1）

f

（1））,c

f0

2

2

∴fx

f1x2

x

f1x2

x

f01x2

.∴当

1x0时，

2

2

fx

f

1

x2

x

f

1

x2

x

f0

1

x

2

2

2

x2

x

x2

x

1x2

x2

x

x2

x

（1x2）

2

2

2

2

x2

x1

（x

1）2

55.

2

4

4

当0x

1时，fx

f1

x2

x

f1

x2

2

x

f01x2

2

x2

x

x2

x

1

x

2

x2

x

x2

x

（1x

2

）

2

2

2

2

x2

x1

（x1）2

55.

2

4

4

7.证明：

由题意可知

f（x）

x

a（x

x1）（x

x2）.

0

x

x1

x2

1

∴

a（x

x1）（x

x2）0,

a

∴当x

0,x1时，f（x）

x.

又f（x）

x1

a（xx1）（xx2）

xx1

（xx1）（axax2

1）,

xx1

0,且axax2

11ax2

0,∴f（x）x1,

综上可知，所给问题获证.

8.解：

（1）条件说明抛物线

f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间

（－1，0）和（1，2）内，

画出示意图，得

m

1

f（0）

2m

1

0,

2

m

R,

f

（1）

2

0,

1,

f

（1）

4m

2

0,

m

f

（2）

6m

5

0

2

5

m

6

∴

5

1

6

m.

2

f（0）

0,

f

（1）0,

（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组

0,

0m1

m1,

2

m

1,

（这里0<－m<1是因为对称轴

x=－m应在区间（0，1）内通过）

2

m

1

2或m12,

1

m

0.

9.

（1）证明：

由

y

ax2

bx

c消去y得ax2+2bx+c=0

y

bx

2

2

2

2

［（a+

c

2

32

］

=4b－4ac=4（－a－c）

－4ac=4（a

+ac+c）=4

）

c

2

4

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴3

c2>0,∴>0,即两函数的图象交于不同的两点.

4

（2）解：

设方程

2

的两根为

2b

c

ax+bx+c=0

x和x,则x+x=－

xx=.

1

2

1

2

1

2

a

a

|A1B1|2=（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2

（

2b

2

4c

4b2

4ac4（

a

c）2

4ac

）

a

a2

a2

a

4[（c）2

c

1]4[（c

1）2

3]

a

a

a

2

4

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得c∈（－2,－1）

a

2

∵f（c）

4[（c）2

c

1]的对称轴方程是

c

1

.

a

a

a

a

2

c∈（－2,－1）时，为减函数

a2

∴|A1B1|2∈（3,12）,故|A1B1|∈（3,23）.

10..解：

（1）由loga

t

logt

y

得logat－3=logty－3logta

a3

a3

logay

3

由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=

x

x

∴logay=x2－3x+3，即y=ax23x3（x≠0）.

（2）令u=x2－3x+3=（x－3）2+3（x≠0）,则y=au

24

①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，

则u=（x－3）2+3在（0，2]上应有最大值，但u在（0，2]上不存在最大值.

24

②若a>1,要使y=au有最小值

8，则u=（x－3）2+

3,x∈（0,2]应有最小值

2

4

3时，umin

3

3

∴当x=

=

min

4

2

4

y=a

3

由a4=8得a=16.∴所求a=16,x=3.

2

11.解：

∵f（0）=1>0

（1）当m＜0时，二次函数图象与

x轴有两个交点且分别在

y轴两侧，符合题意

.

0

（2）当m>0时，则3m

解得0＜m≤1

m

0

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

12.证明：

（1）pf（m）p[p（

m

）2

q（

m

）r]

m

1

m1

m1

pm[

pm

q

r]

pm[

pm

p

]

（m1）2

m1m

（m1）2

m

2

m（m

2）（m

1）2

]

p2m[

（m

1）2（m

2）

pm2

1

由于f（x）是二次函数，故

p≠0,又m>0,所以，pf（

m

）＜0.

（m1）2（m2）

m

1

（2）由题意，得f（0）=r,f

（1）=p+q+r

①当p＜0时，由

（1）知f（

m

）＜0

m

1

若r>0,则f（0）>0,又f（

m

）＜0,所以f（x）=0

m

在（0，

）内有解;

m1

m

1

若r≤0,则f

（1）=p+q+r=p+（m+1）=（－

p

r

p

r

2

）+r=

2

>0,

m

m

m

m

又f（

m

）＜0,所以f（x）=0在（

m

1）内有解.

m

1

m

1

②当p＜0时同理可证.

13..解：

（1）设该厂的月获利为

y,依题意得

y=（160－2x）x－（500+30x）=－2x2+130x－500

由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300

∴x2－65x+900≤0，∴（x－20）（x－45）≤0，解得20≤x≤45

∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于

1300元.

（2）由

（1）知y=－2x2+130x－500=－2（x－65）2+

2

∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为

1612元，

∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润

1612元.

14.解

（1）|c|＝|f（0）|≤1（因为0∈[－1，1]）．

所以当－1≤x≤1时，

15.解：

由题意fxxax2（b1）xc.

它的对称轴方程为xb1

2a

由方程f

x

x

0的两个根x1,x2满足

0

x1

x2

1

可得

b

1

1

b

1

b

1

a

0x1

x2

x1

x2

2a

且

2a

a

2a

∴b1

x1

x2

b1

1b1，

2a

2a

a

2a