初中数学平方差公式教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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初中数学平方差公式教学设计学情分析教材分析课后反思
14.2.1平方差公式教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
平方差公式．
2．内容解析
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式．当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果．平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．平方差公式也是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征．公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式．平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的的整式乘法运算到特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法．探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：
平方差公式．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）理解平方差公式，能运用公式进行计算．
（2）在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．
2．目标解析
达成目标
（1）的标志：
学生知道由多项式乘法到平方差公式是一般到特殊的过程，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的基本结构与特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算．
达成目标
（2）的标志：
学生在探索平方差公式的过程中，能够体验到由具体到抽象的过程可以更好的发现公式，体会和理解公式；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解验证平方差公式的具体方法，感知数形结合的思想．
三、教学问题诊断分析
由于公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2中的a，b本身可能为负数，而且a，b可以是具体的数、单项式、多项式等，情况比较复杂，这对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，有时会有困难．作为平方差公式的应用，教材引入对两个数乘积的简捷计算，将两个因数分解成两个数的和与这两个数的差，而且这两个数的平方容易计算是解题的关键，这一内容对一部分学生来说，也有一定难度．解决上述两个问题的关键是理解平方差公式的结构特征，解决问题时要回到公式本身上来．
本节课的教学难点：
平方差公式的变式运用．
四、教学支持条件分析
为了利用图形面积验证公式，可让学生亲自动手展示割补情形（图1）．
a
A
F
a
b
图1
长方形AMHG的面积＝（a＋b）（a－b），割下长方形EFGH添补到长方形MBCD处，形成多边形ABCDEF，而多边形ABCDEF的面积＝a2－b2，由此得出（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
五、教学过程设计
1．探究平方差公式
问题1在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x＋1）（x－1）＝；
（2）（m＋2）（m－2）＝；
（3）（2x＋3）（2x－3）＝．
师生活动：
一位学生在黑板上板书，学生共同分析板书的结果．
设计意图：
（1）承前启后，为本节内容的引入作铺垫；
（2）让学生在每个算式的计算过程中进一步巩固多项式乘法法则，体会多项式乘法与本节内容的关系“一般——特殊”；（3）三个特殊的算式具有代表性和层次性，可以为抽象概括出一般的结论奠定基础．
追问1：
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
追问2：
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
追问3：
你能将发现的规律用式子表示出来吗？
追问4：
你能对发现的规律进行推导吗？
师生活动：
学生观察并独立思考，尝试着进行概括．发现相乘的两个多项式均为相同的两个数的和、两个数的差的形式，而且这两个多项式的积恰好是这两个数的平方差．用一般化的式子可以表示为（a＋b）（a－b）＝a2－b2，运用多项式乘法法则及合并同类项可以推导此公式．
设计意图：
让学生经历由具体到抽象的过程，即经历观察（每个具体的算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、抽象（不同算式及其结果的共同特征）、概括（可能具有的规律）、推理（论证概括的结果）的过程，从中体会研究数学问题的基本思想方法：
“具体——抽象”．
2．理解平方差公式
问题2前面探究所得的式子（a＋b）（a－b）＝a2－b2，称为乘法的平方差公式，你能将平方差公式用文字语言表述吗？
师生活动：
学生回答问题，相互补充．
设计意图：
（1）让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力；
（2）学生在用文字语言表述公式内容时，可以加深对公式结构特征的理解．
问题3
（1）边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角,你能分别表示出余下纸板的面积吗？
（2）你能用余下的纸板拼成一个长方形吗？
面积又可以怎么表示？
（3）上述两种方法表示的面积有什么关系？
师生活动：
教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程．若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题．
设计意图：
通过探究活动，让学生认识平方差公式的几何意义，使学生更好地理解这一公式，并在此过程中体会数形结合思想．
3．巩固平方差公式
1、下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
设计意图：
通过正误辨析及纠错、改错，让学生进一步理解平方差公式的结构特征，准确运用公式进行计算．
2、运用平方差公式计算：
（1）（3x＋2）（3x－2）；
（2）（－x＋3y）（－x－3y）．
师生活动：
师生共同分析解答，教师板书
（1），学生板书
（2）．在解答
（1）的过程中，教师引导学生要明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式，写出平方差，再化简得出结果；在解答
（2）的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法．
解：
（1）（3x＋2）（3x－2）＝（3x）2－22＝9x2－4；
（a＋b）（a－b）＝a2－b2
（2）（－x＋2y）（－x－2y）＝（－x）2－（2y）2＝x2－4y2．
设计意图：
让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式子相当于公式中的“第二个数”b，并运用公式进行计算．
问题4从例1和练习中，你认为运用平方差公式解决问题时应注意什么？
师生活动：
学生回答问题，并相互补充．可以总结出以下经验：
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：
一般地，“第一个数”a的符号相同，“第二个数”b的符号相反；（4）公式中的字母a，b可以是具体的数、单项式、多项式等；（5）不能忘记写公式右边的“平方”．
设计意图：
引导学生深入分析平方差公式的结构特征，明确a，b的意义，在运用公式进行计算时一定要抓住关键：
找准哪个数或式相当于“第一个数”a，哪个数或式相当于“第二个数”b．通过此过程，突破本节课的难点．
例2计算：
（1）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）；
（2）102×98．
师生活动：
师生共同分析，得出：
（1）中的前两个多项式的积可以直接利用平方差公式，后两个多项式的积不具备平方差公式的结构特征，不能用此公式；
（2）是两个数乘积的简便计算，这两个因数恰好可以分解成两个数（100与2）的和与这两个数的差，且这两个数的平方容易计算．问题
（2）对一部分学生来说，有一定难度，教师要注意引导学生认真观察，并及时总结规律——第一个数是两个因数的平均数．
设计意图：
第
（1）题是新旧知识的综合运用，此题要让学生深刻理解平方差的结构特征，明白只有符合公式结构特征的乘法，才能运用公式简化运算；第
（2）题是平方差公式在数的乘法中的应用，属于两个数乘积的简便计算问题，可以使学生将平方差公式的知识迁移到新的问题情境中，既巩固新知，又培养学生分析和解决问题的能力．
练习
运用平方差公式计算：
（1）（a＋3b）（a－3b）；
（2）（3＋2a）（－3＋2a）；
（3）51×49；（4）（3x＋4）（3x－4）－（2x＋3）（3x－2）．
师生活动：
四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视、指导，师生交流．
设计意图：
通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算．
4．归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）平方差公式的结构特征是什么？
（3）应用平方差公式时要注意什么?
设计意图：
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——平方差公式，进一步认识公式的结构特征，为运用公式积累经验．
5．布置作业
教科书习题14.2第1题．
六、目标检测设计
1．下列各式中，不能运用平方差公式的是（）.
A．（m－n）（－m－n）B．（x³－y³）（y³＋x³）
C．（－m＋n）（m－n）D．（2x－3）（2x＋3）
设计意图：
考查学生对平方差公式结构特征的理解．
2．计算：
（1）（mn＋9）（9－mn）；
（2）2x（x－1）－（2x＋1）（1－2x）．
设计意图：
考查学生对平方差公式的理解及运用．
3．计算：
1998×2002．
设计意图：
考查学生对平方差公式的应用——两个数乘积的简便计算的掌握．
《平方差公式》学情分析
学生已经掌握了整式的乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号及漏项等问题，学生学习平方差公式的困难在于，对公式的结构特征的理解。
本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“引入→形式→理解→应用→深化公式”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思想，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。
《平方差公式》效果分析
“数学课程标准”对数学课堂教学活动中教师与学生的角色做出了精准的阐释:
“学生是数学学习的主人,数学学习的组织者、引导者和合作者.”陈伟老师在本节课的教学活动中,把学生置于问题情境之中,引导学生经历动手“做数学”的过程.以讲练结合为背景,借助公式应用,设置了“步步向上”的台阶,引领学生在已有经验与知识的基础上构建了一个新的数学模型---平方差公式.激发了学生的探究欲望,也领略了数形结合的美妙.“数学课程标准”强调:
“运用数学的符号和语言描述现实世界的变化规律”.陈老师在教学活动中,鼓励学生用自己的语言进行描述和交流,再逐步学习和掌握规范的数学语言,增强了数学的符号感与数学的逻辑美感,整节教学充满着探究的热情,从一双双渴求知识的眼睛里我们看到了数学教育的价值.从“做数学”到“用数学”是一个能力的形成与提升的过程,教者在例题、习题的选择上颇具匠心,由浅入深,具有教育意义,使学生感受到了数学知识就在身边,学生在解决问题中增强了自信,收获了成功的喜悦.适合的才是最好的,以学生为本的课堂一定是最有生命力的.
《平方差公式》教材分析
1、教材的地位、作用
平方差公式这一内容是在学习整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用。
可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归、换元、整体的数学思想方法的重要载体，让学生感受数学的再创造性。
是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应技能的重要内容。
2、教学目标
（1）知识与技能：
经历探索平方差公式的过程，了解几何意义，理解平方差公式的结构特征，了解几何意义，会利用平方差公式进行简单运算；
（2）过程与方法：
让学生在合作探究中建立平方差公式，准确应用公式，培养学生的建模思想和抽象思维能力，感受换元和化归的思想。
（3）情感、态度与价值观：
让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学简洁美的同时激发学习兴趣和信心。
3、教学重点和难点
重点：
掌握公式的结构特征，准确运用公式。
难点：
对公式的结构特征的探究及几何意义的理解。
14.2.1平方差公式----评测练习
【学习目标】（看一看，我们今天要学什么？
）
1．认识平方差公式,并了解公式的意义。
2．会用平方差公式简化计算解决简单的实际问题。
3.在探究平方差公式的过程中，培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好品质，体验”从特殊到一般”的数学探究方法以及代数与几何的内在统一。
【学习重点难点】
重点：
理解并运用平方差公式计算,并会解决数学问题。
难点：
理解公式中字母的广泛含义，并灵活运用公式。
【学习过程】
一、自主探究（相信自己的理解!
）
1、计算
（1）
；
（2）
；
（3）
。
观察上述算式，等号左边有什么规律？
观察计算结果,你又发现了什么规律？
2、猜想：
。
3、验证：
【归纳】（把你验证的结果的描述出来吧！
）
平方差公式：
文字语言：
二、尝试应用（相信自己的能力!
）
1、下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2、运用平方差公式计算.
（1）
（2）
3、计算.
（1）
（2）
三、能力提高（相信自己的方法！
）
1、运用平方差公式填空.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2、公式逆用：
（1）
;
（2）
（3）已知
那么
.
4、完善总结（相信自己有收获！
）
同学们，通过本节课的学习，你有什么收获呢？
畅所欲言！
5、补偿提高（乘胜追击，挑战极限！
）
1、简便运算：
6、作业布置：
《自主》第90-91页完成.
《平方差公式》课后反思
1、新课标中强调了学生对知识的自主建构与交流探究相结合的学习方式，本节课学生在自主探究中发现知识，在交流讨论中辨析知识。
2、学生通过观察、猜想、操作，验证解决问题，是新课标中所提倡的新的学习方式---问题探究学习。
3、以折纸活动充分调动学生的参与性，让学生做课堂的主人，教师是活动的参与者，合作者。
4、从学生认识事物的规律和顺序出发，逐步设置问题，引导发现公式特征。
《平方差公式》课标分析
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.
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