相交线与平行线提高题.docx

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相交线与平行线提高题

【例题】如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，且OM平分∠NOC．若∠BOC=4∠NOB，求∠MON的度数．

【分析】遇到类似“∠BOC=4∠NOB”这样条件，常设∠NOB=2x，∠BOC=8x（目的为了计算和书写方便，也为了更好理解，是常法——强烈建议），则有∠CON＝6x，再根据“垂直的定义、角平分线的定义”可得到∠MON=0.5∠CON=3x，∠BOM=∠MON+∠NOB=3x+2x=90°，求出x的值，进一步即可得∠MON的度数．

【解】设∠NOB=2x，∠BOC=8x，

　　　则∠CON=∠COB﹣∠BON

     　　　　　=8x﹣2x=6x.

　　∵OM平分∠CON，

　　∴∠MON=0.5∠CON=3x，

　　∵OM⊥AB，

　　∴∠AOM=90°，

　　∴∠BOM=∠MON+∠NOB

　　　　　=3x+2x=90°，

     　解得x=180，

　　∴∠MON=3x=3×18°=54°，

　　即∠MON的度数为54°．

【点评】本题涉及到对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，同时务必要注意解题规范，几何书写入门必须严格掌握

【练习】

如图，已知AB、CD相交于点O，OB平分∠COE，OF⊥AB于O，

（1）若∠EOF=120°，求∠AOD的度数；

（2）若∠BOE=1/4∠EOF，求∠DOE的度数

【解】

（1）

∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°

又∵∠EOF=120°

∴∠BOE=∠EOF﹣∠BOF=30°

∵OB平分∠COE

∴∠BOC=∠BOE=30°

∵∠AOD=∠BOC

∴∠BOC=30°；

（2）设∠BOE＝x,则∠EOF=4x

∵∠BOF=∠EOF﹣∠BOE

          =4x－x=3x.

∵∠BOF=90°，

∴3x=90°，解得:

x=30°

∵OB平分∠COE，

∴∠COE=2∠BOE=2x=60°

∴∠DOE=180°﹣∠COE=120°．

【例题】如图，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，

（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；

（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数（用含α的式子表示）；

（3）从

（1）

（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？

（1）∵∠AOE+∠AOF=180°

　　　（邻补角的定义），

∴∠AOF=180°－∠AOE，

　　　＝1800－400＝140°；

又∵OC平分∠AOF，

∴∠FOC=0.5∠AOF=70°，

∴∠EOD=∠FOC=70°

　　（对顶角相等）；

而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，

∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；

（2）∵∠AOE+∠AOF=180°，

　　　（邻补角的定义）

　∴∠AOF=180°－∠AOE=180°﹣α；

 又∵OC平分∠AOF，

 ∴∠FOC=0.5∠AOF=90°﹣0.5α，

 ∴∠EOD=∠FOC=90°﹣0.5α

   （对顶角相等）；

 而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，

 ∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=0.5α；

（3）从

（1）

（2）的结果中不难观察出：

∠AOE=2∠BOD．

【反思】利用对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握对顶角相等、垂直的定义、角平分线的定义是解题的关键，注意领会解题思路和解题过程和格式.几何入门书写必须严格规范.

【练习】O为直线DA上一点，OB⊥OF，EO是∠AOB的平分线．

（1）如图

（1），若∠AOB=130°，求∠EOF的度数；

（2）若∠AOB=α，90°＜α＜180°，求∠EOF的度数；

（3）若∠AOB=α，0°＜α＜90°，请在图

（2）中画出射线OF，使得

（2）中∠EOF的结果仍然成立．

【解答过程】

（1）∵EO是∠AOB的平分线，

　　　∠AOB=130°，

∴∠AOE＝0.5∠AOB＝650.

∵OB⊥OF，∴∠BOF=90°，

∴∠AOF=∠AOB﹣∠BOF

　　　=130°﹣90°=40°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

　　　=65°﹣40°=25°；

（2）∵∠AOB=α，90°＜α＜180°，

     EO是∠AOB的平分线，

∴∠AOE=0.5∠AOB＝0.5α，

∵∠BOF=90°，∴∠AOF=α﹣90°，

∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF

     　=0.5α﹣（α﹣90°）

　　　=900－0.5α；

（3）如下图示，

∵∠AOB=α，0°＜α＜90°，

∴∠BOE=∠AOE=0.5α，

∵∠BOF=90°，

∴∠EOF=∠BOF﹣∠BOE

      =900－0.5α．

【试题】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．求证：

AD∥BC．

【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：

内错角∠2和∠E相等.

证明：

∵AE平分∠BAD，

   　 ∴∠1=∠2，

      ∵AB∥CD，

     ∴∠1=∠CFE

     　∵∠CFE=∠E，

　　 ∴∠2=∠E，

　　 ∴AD∥BC．

【点评】本题是角平分线的性质以及平行线的判定定理的综合运用．

【拓展】如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CEF=∠F．求证：

AD∥BC．

【分析】可利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件：

内错角∠2和∠E相等.

证明：

∵AE平分∠BAD，

      ∴∠1=∠2，

      ∵AB∥CD，

      ∴∠1=∠CFE

     　∵∠CEF=∠F，

　　 ∴∠2=∠E，

　　 ∴AD∥BC．

【反思】注意体会拓展与原题（试题内容和解答过程）的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.

【例题】已知：

如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，∠A=∠ADE，∠C=∠E．

（1）若∠EDC=3∠C，求∠C的度数．

（2）求证：

BE∥CD．

（1）∵∠A=∠ADE，

      ∴AC∥DE，

      ∴∠EDC+∠C=180°，

    又∵∠EDC=3∠C，

    ∴4∠C=180°，

    即∠C=45°；

（2）∵AC∥DE，

    ∴∠E=∠ABE，

    又∵∠C=∠E，

    ∴∠C=∠ABE，

    ∴BE∥CD．

【反思】

（1）要能回答出上面每一步推理的根据，特别要注意逻辑顺序.

（2）本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时应注意判定与性质的区别，不可用错．

【拓展】

      已知：

如图，点B在直线AC上，BE和AD交于F点，∠A=∠ADE，∠DCB=∠DEB．

（1）若∠DCB=3∠EDC，求∠DCB的度数．

（2）求证：

BE∥CD．

【例题】如图，D、E在△ABC的边AB上，F点在边BC上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：

CD∥EF．

【拓展1】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：

CD∥EF．

【拓展2】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：

CD∥EF．

【拓展3】如图，D、E在△ABC的边AB所在的直线上，F点在边BC所在直线上，已知∠AGD=∠ACB，∠1=∠2．求证：

CD∥EF

【例题】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠A=∠F，∠C=∠D，求证BD∥CE．

【拓展1】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠A=∠AFD，∠C=∠D，求证BD∥CE．

【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠CAF=∠F，∠C=∠D，求证BD∥CE．

【拓展2】如图，A、B、C三点在同一直线上，D、E、F也在同一直线上，已知∠CAF=∠AFD，∠C=∠D，求证BD∥CE．

【例题】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．

【分析】∠1与∠2均不是“三线八角”的角，因此通过a∥b，想方设法构造“三线八角”，建立∠1、∠2及∠ACB之间的联系，从而求出∠2的度数.

法一：

如下图示，

法二：

（图解）如下图示，

【反思与拓展】

【拓展1】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．（不可用“三角形内角和定理”）

【拓展2】如图，直线a∥b，AC⊥BC，∠2=55°，求∠1的度数．

8.【例题】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

理由：

　∵∠AGF=∠ABC，

     　　∴BC∥GF

          ∴∠1=∠3；

          又∵∠1+∠2=180°，

          ∴∠2+∠3=180°，

          ∴BF∥DE；

          ∴∠AFB＝∠AED

          ∵DE⊥AC，

          ∴∠AED＝90°

          ∴∠AFB＝90°

          ∴BF⊥AC．

【点评】本题考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，并正确运用平行线的判定和性质是正确答题的关键．解题时要注意几何语言书写格式与过程，同时要注意思路与正确解答之间的关系.

【拓展1】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1＝∠2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

【拓展2】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠1＝∠2，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

【拓展3】已知，如图，DE⊥AC于E，∠AGF=∠ABC，∠BDE＝∠BFC，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

【例题】如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？

并加以证明；

（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．

【拓展1】如图，CD∥AB，∠DCB=30°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？

并加以证明；

（2）若∠CEF=110°，求∠ACB的度数．

【拓展2】如图，CD∥AB，∠DCB=80°，∠CBF=20°，∠EFB=80°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？

并加以证明；

（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．

【试题】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求证：

DE∥BC．

【拓展1】如图，已知∠1＝∠2，∠DBF=∠DEF，求证：

DE∥BC．

【拓展2】如图，已知∠1＝∠2，∠4+∠DEF＝1800，求证：

DE∥BC．

【例题】如图，AB∥CD，∠ABE=70°，∠DCE=144°，求∠BEC的度数．

【分析】图中虽有AB∥CD，但无法直接得到“三线八角”，因此必须添加“辅助线”，将已知和所求的角进行联系，想方设法构造出“三线八角”的基本图形，然后根据平行线的性质和判定进行转化.方法有多种：

分别说明如下：

法一：

过E点往右侧作EF∥CD，如下图示：

法二：

过E点往左侧作EF∥CD，如下图示：

法三：

过B点作BF∥CD，交DC的延长线于F，如下图示：

法四：

过C点作CF∥BE交AB的延长线于F，如下图示：

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定，利用已有的平行线，再构造“三线八角”是解题的关键，当然如果学了三角形（或多边形）的内角和，则解法就更多了：

只要能得到“三线八角”均可得解．

【拓展1】如图，AB∥CD，∠ABE=70°，∠DCE=54°，求∠BEC的度数

【拓展2】如图，AB∥CD，∠ABE=35°，∠DCE=110°，求∠BEC的度数．

【拓展3】如图，AB∥CD，∠ABE=40°，∠DCE=20°，求∠BEC的度数．

【试题】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．

（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．

（2）如图2中，∠ABM=1/3∠ABF，∠CDM=1/3∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=　　．

【解析】

（1）首先先求出∠ABE+∠CDE的度数，方法均有4种，下面仅提供一种解法：

如下图示，过E点作EG∥CD，因AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，得到∠ABE+∠2＝1800，∠CDE+∠1＝1800，从而∠ABE+（∠1+∠2）+∠CDE＝3600，而∠BED＝∠1+∠2＝800，所以∠ABE+∠CDE＝2800.

 再求∠3+∠4的度数，因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5（∠ABE+∠CDE）＝1400.

     类似上述思路，可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝1400.如下图示：

（2）如下图示：

类似前面分析，可得到：

∠ABE+∠CDE＝3600－∠E，

∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE

　　　　　＝0.5（∠ABE+∠CDE）

                ＝…＝1800－0.5∠E，

进一步，得到：

∠3+∠4＝1/3∠ABF+1/3∠CDF

          ＝1/3（∠ABF+∠CDF）

          ＝1/3（1800－0.5∠E）

          ＝600－1/6∠E.

得到∠BMD＝∠7+∠8

　　　　　＝600－1/6∠E.

即6∠BMD+∠E＝3600.

（3）与

（2）题类似，如下图示：

类似前面分析，可得到：

∠ABE+∠CDE＝3600－∠E，

∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE

　　　　　＝0.5（∠ABE+∠CDE）

                ＝…＝1800－0.5∠E，

进一步，得到：

∠3+∠4＝1/n∠ABF+1/n∠CDF

          ＝1/n（∠ABF+∠CDF）

          ＝1/n（1800－0.5m0）

          ＝1800/n－m0/（2n）.

得到∠BMD＝∠7+∠8

　　　　 ＝1800/n－m0/（2n）.

即∠BMD+∠E＝（3600－m0）/（2n）.

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用，关键在于“如何构造”三线八角“．

【拓展】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示，写出∠M=　　

【提示】解法类似，m0/（2n）.

【试题】已知：

如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．

（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，总有：

∠CPD=∠PCA+∠PDB，请说明理由；

（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系（只需直接给出结论）？

【图文解析】

     前面已有文章分析，此类问题均有4种解法，其各种情况的结论也类似.下面也仅用一种常用方法简析：

     每小题均过点P作a的平行线，根据平行线的性质进行求解.

【拓展】已知：

如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点，点P在直线AB上运动（不与A、B两点重合）．当点P在如下图的平面各个区域内运动时，试直接到写出∠CPD、∠PCA、∠PDB之间的数量关系.

如图，∠1＝∠BDC，CE⊥AE于E，∠2+∠3＝180°，求证：

DA⊥AE

已知，如图，BCE、AFE是直线，AB//CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

AD//BE

如图，∠1＝∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，求证：

FG//BC