高等数学公式大全.docx
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高等数学公式大全
考研数学知识点-高等数学
一.函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
公式1．lim
x→0
sinx
x
=1
连续，
x
0
ϕ2（x）
1
12
v→0
1
n→∞
⎛
nu
→
则
dy
dx
=f[ϕ2（x）]ϕ2（x）−f[ϕ1（x）]ϕ1（x）
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2．两个无穷小的比较
数学二）
设limf（x）=0，limg（x）=0，且lim
f（x）
g（x）
=l
xn
2
2!
n!
（1）l=0，称f（x）是比g（x）高阶的无穷小，记以
f（x）=0[g（x）]，称g（x）是比f（x）低阶的无穷
sinx=x−
3
3!
5!
n
x2n+1
（2n+1）!
+0（x2n+1
）
小。
（2）l≠0，称f（x）与g（x）是同阶无穷小。
cosx=1−
2
2!
4!
n
x2n
（2n）!
+0（x2n）
（3）l=1，称f（x）与g（x）是等价无穷小，记以
ln（1+x）=x−
2
23
n
n
+0（xn）
f（x）~g（x）
3．常见的等价无穷小
当x→0时
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x
32n+1
arctanx=x−+0x2n+1
352n+1
（1+x）〈=1+〈x+〈（〈−1）x2+⊄+〈（〈−1）⊄[〈−（n−1）]xn+0（xn）
2!
n!
1−cosx~
12
2
6．洛必达法则
（1+x）〈
−1~〈x
法则1．（
0
0
型）设
（1）limf（x）=0，limg（x）=0
二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正
n→∞
（2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正
n→∞
准则2．（夹逼定理）设g（x）≤f（x）≤h（x）
（2）x变化过程中，f′（x），g′（x）皆存在
（3）lim=A（或∞）
则lim=A（或∞）
（注：
如果lim不存在且不是无穷大量情形，则
不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）
若limg（x）=A，limh（x）=A，则limf（x）=A
法则2．
∞
∞
型）设
（1）limf（x）=∞，limg（x）=∞
3．两个重要公式
1
（2）x变化过程中，f′（x），g′（x）皆存在
Editedby杨凯钧2005年10月
∫f（t）dt，其中f（t）连续，则dx=f（x）
dy
（1）y=
∫ϕ（）f（t）dt，其中ϕ（x），ϕ（x）可导，f（t）
（2）y=
x
公式2．lim⎜1+
⎝
lim（1+v）v=e
1⎞
1⎞
⎛
⎟=e；ulim∞⎜1+⎟=e；
n⎠⎝u⎠
′′
（）
xxn
当x→0时，e=1+x++⊄++0x
xx5
++⊄+（−1）
xx4
+−⊄+（−1）
xx3
+−⊄+（−1）
n+1x
（
）
xx5
+−⊄+（−1）
n+1x
x，ex−1~x，ln（1+x）~x，
整数），则limxn=A存在，且A≥m
f′（x）
g′（x）
f（x）
g（x）
整数），则limxn=A存在，且A≤M
f′（x）
g′（x）
f（x）
g（x）
（
考研数学知识点-高等数学
（3）lim=A（或∞）
则lim=A（或∞）
7．利用导数定义求极限
值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f（x）≤M，
则称M为函数f（x）在[a,b]上的最大值。
同样可以定义最
小值m。
定理3．（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a,b]上
基本公式：
lim
∆x→0
f（x0+∆x）−f（x0）
∆x
=f′（x0）[如果
连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m
和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个⎩，使
存在]
8．利用定积分定义求极限
得
f（⎩）=c
基本公式
1
lim
n→∞n
n
[如果存在]
推论：
如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
设x0是函数y=f（x）的间断点。
如果f（x）在间断点
x0处的左、右极限都存在，则称x0是f（x）的第一类间断
与f（b）异号，则在（a,b）内至少存在一个点⎩，使得
f（⎩）=0
这个推论也称为零点定理
五．导数与微分计算
1．导数与微分表
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（c）′=0
d（c）=0
〈
〈−1〈
〈−1
dx（〈实常数）
（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
（sinx）′=cosx
dsinx=cosxdx
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
（cosx）′=−sinx
（tanx）′=sec2x
dcosx=−sinxdx
dtanx=sec2xdx
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f（x），有以下几个基本
性质。
这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f（x）在闭区间[a,b]上
（cotx）′=−csc2x
（secx）′=secxtanx
（cscx）′=−cscxcotx
dcotx=−csc2xdx
dsecx=secxtanxdx
dcscx=−cscxcotxdx
连续，则f（x）必在[a,b]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭
（logax）′=
dlogax=
1
xlna
dx
xlna
（a>0,a≠1）
（a>0,a≠1）
区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和
（lnx）′=1
x
dlnx=
1
x
dx
最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下：
定义设f（x0）=M是区间[a,b]上某点x0处的函数
2
（ax）′=axlna（a>0,a≠1）
dax=axlnadx（a>0,a≠1）
Editedby杨凯钧2005年10月
f′（x）
g′（x）
f（x）
g（x）
⎛k⎞
∑=k1f⎜⎝n⎟⎠=∫0f（x）dx
1
（x）′=〈x
（）=〈x
（〈实常数）dx
考研数学知识点-高等数学
x
x
x
⎭′（t）存在，且ϕ′（t）≠0，则
（arcsinx）′=
1
1−x
2
darcsinx=
1
1−x
2
dx
dy
dx
=
⎭′（t）
ϕ′（t）
（ϕ′（t）≠0）
22
1
1−x2
1
1+x2
1+x
′
1
x2+a2
1
1
dx
1−x2
dx
1
dx
二阶导数
⎡dy⎤⎡dy⎤
dy1
dx2dxdtdx[ϕ′（t）]3
dt
5．反函数求导法则
设y=f（x）的反函数x=g（y），两者皆可导，且
dln（x+x2+a2）=
2
1
2
dx
f′（x）≠0
′
22
dln（x+x2−a2）=
2．四则运算法则
1
x2−a2
1
2
dx
则
二阶导数g′′（y）==
11
⎡1⎤
d⎢⎥
dydxdy
dx
[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x）
[f（x）⋅g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
=−
f′′（x）
3
=−
f′′[g（y）]
{f′[g（y）]}3
（f′（x）≠0）
′
⎢g（x）⎥=g2（x）
3．复合函数运算法则
（g（x）≠0）
6．隐函数运算法则
设y=y（x）是由方程F（x,y）=0所确定，求y′的方
设y=f（u），u=ϕ（x），如果ϕ（x）在x处可导，f（u）
在对应点u处可导，则复合函数y=f[ϕ（x）]在x处可导，
且有
法如下：
把F（x,y）=0两边的各项对x求导，把y看作中间变
量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允
dy
dx
dydu
dudx
许出现y变量）
对应地dy=f′（u）du=f′[ϕ（x）]ϕ′（x）dx
由于公式dy=f′（u）du不管u是自变量或中间变量
都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导
方法得出导数y′。
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
设x=ϕ（t），y=⎭（t）确定函数y=y（x），其中ϕ′（t），
g
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