数列的概念学案.docx

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数列的概念学案

数列的概念学案

第一章数列

本章概述

●课程目标

1.双基目标

（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；

（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；

（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；

（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；

（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.

2.情感目标

（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.

（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.

（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.

●重点难点

重点：

等差数列与等比数列的通项公式.

前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.

难点：

等差数列、等比数列的性质及应用.

●方法探究

1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.

2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.

3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.

4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.

本章注意问题：

（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.

（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果.

（3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.

§1数列

第1课时数列的概念

知能目标解读

1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.

2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.

3.了解数列的分类.

4.了解数列的表示方法：

列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.

重点难点点拨

重点：

了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.

难点：

将数列作为一种函数去认识、了解.

学习方法指导

1.数列的定义

（1）数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号{an}表示数列时，不能把{an}看成一个集合，这是因为：

①数列{an}中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；②数列{an}中的数是可以重复的，即数列{an}中可以有相等的项，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.

（2）数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如an.其中的右下角标n表示项的位置序号.

（3）{an}与an是不同的概念，{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…，而an仅表示数列的第n项.

2.数列的项与项数

数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数an，由于数列{an}的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f（n）.而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f（n）对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.

3.数列的分类

判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.

4.通项公式

（1）由于数列可看做是定义域为正整数集N+（或它的有限子集）的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.

（2）如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.

（3）如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

如的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就没有通项公式.

注意：

（1）一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如an=（-1）n，可以写成an=（-1）n+2，还

-1（n为奇数）

可以写成an=，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.

1（n为偶数）,

（2）有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,…根据有限项可以写成an=2n，也可以写成an=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.

5.数列的递推公式

（1）递推公式：

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.

（2）关于递推公式及应用需注意的几个问题：

①通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.

②如何用递推公式给出一个数列

用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.

注意：

（1）并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.

（2）以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.

（3）根据数列的递推公式可求数列中的任一项.

例如：

设数列{an}满足：

a1=1

，写出这个数的前5项.

an=1+（n>1）

由题意可知a1=1,a2=1+=1+1=2,a3=1+=1+=，a4=1+=1+=，a5=1+=1+=.

∴此数列前5项分别为：

1，2，，，.

本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.

知能自主梳理

1.数列的概念

（1）数列：

一般地，按照一定排列的一列数叫做数列.

（2）项：

数列中的每个数都叫做这个数列的.

（3）数列的表示：

数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为：

.数列的第1项a1也称，an是数列的第n项，叫数列的.

2.数列的分类

项数有限的数列叫作，项数无限的数列叫作.

3.数列的通项公式

如果数列｛an｝的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么式子叫作数列{an}的.

4.数列的表示方法

数列的表示方法一般有三种：

、、.

［答案］1.

（1）次序

（2）项（3）｛an｝首项通项

2.有穷数列无穷数列

3.通项公式

4.列表法图像法解析法

思路方法技巧

命题方向数列的概念

［例1］下列各式哪些是数列？

若是数列，哪些是有穷数列？

哪些是无穷数列？

（1）{0,1,2,3,4};

（2）0,1,2,3,4;

（3）0,1,2,3,4…;（4）1,-1,1,-1,1,-1…;

（5）6,6,6,6,6.

［分析］此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决.

［解析］

（1）是集合，不是数列；

（2）、（3）、（4）、（5）是数列.

其中（3）、（4）是无穷数列，

（2）、（5）是有穷数列.

变式应用1下列说法正确的是（）

A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列

B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列

C.1,4,2,，不是数列

D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列

［答案］D

［解析］由数列的概念知A中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A、B均不正确，C中显然是数列，D中数列{2n-3}是确定数列，通项公式为an=2n-3，但-1,1,3,5，…前4项符合an=2n-3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列.

命题方向数列的通项公式

［例2］写出下面各数列的一个通项公式

（1）3,5,9,17,33,…;

（2），，，，…；

（3）,2,，8，，…;

（4），，，，….

［分析］通过观察，找出所给出的项与项数n关系的规律，再写通项公式.

［解析］

（1）通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,…其通项公式为2n，故原数列的一个通项公式为an=2n+1.

（2）通过观察，发现分子部分为正偶数数列{2n}，分母各项分解因式：

1•3,3•5，5•7，7•9,…为相邻奇数的乘积，即（2n-1）•（2n+1），故原数列的一个通项公式为an=.

（3）由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列,，，，，…中，分母为2，分子为n2，故an=.

（4）数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；分子的前

一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为（n+1）2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an==.

［说明］在根据数列的前n项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式.

变式应用2写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：

（1）1，3，7，15，31，…;

（2）1，，，，…；

（3）0.9，0.99，0.999，……，0.，….

［解析］

（1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为2n,故原数列通项公式为an=2n-1,n∈N+;

（2）调整为，，，，它的前几项都是自然数的倒数，∴an=；

（3）0.9=1－0.1，0.99=1－0.01，0.999=1－0.001，…

∴第n项an=0.=1－0.1=1－.

命题方向数列通项公式的简单应用

［例3］在数列｛an｝中通项公式是an＝（-1）n-1•,写出该数列的前5项，并判断是否是该数列中的项？

如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.

［分析］由通项公式写出数列的前5项，令an=,判断是否有正整数解即可.

［解析］a1=（-1）0•＝，a2=（-1）1•＝－，a3=（-1）2•＝.

a4=（-1）3•＝－，a5=（-1）4•＝.

∴该数列前5项分别为：

，－，，-,.

令（-1）n-1•=得

n>1且为奇数

8n2-81n+81=0.

∴n=9.所以是该数列中的第9项.

［说明］已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.

变式应用3以下四个数中，哪个是数列{n（n＋1）}中的项（）

A.380B.39C.32D.23

［分析］数列{an}的通项公式f（n）=n•（n+1），对于某个数m，若m是数列{an}中的项，则n•（n+1）=m必有正整数解.若无正整数解，则m肯定不是{an}中的项.

［答案］A

［解析］依次令n（n+1）=23或32或39检验知无整数解.只有n•（n+1）=380有整数解n=19.

探索延拓创新

命题方向数列的递推公式

［例4］在数列{an}中，a1=2,a2=1,且an+2=3an+1-an,求a6+a4-3a5.

［分析］由a1=2，a2=1及递推公式an+2=3an+1-an,依次找出a3,a4,a5,a6即可.

［解析］解法一：

∵a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,

∴a3=3a2-a1=3×1-2=1,

a4=3a3-a2=3×1-1=2,

a5=3a4-a3=3×2-1=5,

a6=3a5-a4=3×5-2=13,

∴a6+a4-3a5=13+2-3×5=0.

解法二：

∵an+2=3an+1-an,

令n=4,则有a6=3a5-a4,∴a6+a4-3a5=0.

［说明］递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.

变式应用4已知数列{an}的首项a1=1,an=2an-1+1（n≥2），那么a5=.

［答案］31

［解析］由递推关系式an=2an-1+1和a1=1可得

a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,

a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31.

名师辨误做答

［例5］已知数列{an}的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{an}的通项公式的有（）

①an=［1+（-1）n+1］;②an=sin2π，（n∈N+）;③an=［1+（-1）n+1］+（n-1）（n-2）;④an=;

1（n为偶数）

⑤an=

0（n为奇数）

A.4个B.3个C.2个D.1个

［误解］D

［辨析］误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.

［正解］B将n=1,2,3,4分别代入验证可知①②④均正确.均可以作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.

课堂巩固训练

一、选择题

1.数列，，2，，…，则2是该数列的（）

A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项

［答案］B

［解析］数列，，2，，…的一个通项公式为an=（n∈N＋）,令2＝,得n=7.故选B.

2.数列0，，，，，…的通项公式为（）

A.an=B.an=C.an=D.an=

［答案］C

［解析］解法一：

验证当n=1时，a1=0,排除A、D；当n=2时，a2=,排除B，故选C.

解法二：

数列0，，，，，…即数列，，，，，…，

∴该数列的一个通项公式为an=,故选C.

3.数列1，3，6，10，x，21，…中，x的值是（）

A.12B.13C.15D.16

［答案］C

［解析］∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,

x-10=5

∴,∴x=15.

21-x=6

二、填空题

4.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,则ak+1=.

［答案］2k+3

［解析］∵an=2n+1,∴ak+1=2（k+1）+1=2k+3.

5.已知数列｛an｝的通项公式an=（n∈N+）,则是这个数列的第项.

［答案］10

［解析］令an=,即=,

解得n=10或n=-12（舍去）.

三、解答题

6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.

（1）-1,1,-1,1;

（2）-3,12,-27,48;

（3），,，;

（4），，，.

［解析］

（1）各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an=（-1）n;

（2）各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42,…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an=（-1）n3n2;

（3）因为=,=，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n+2；分子依次为3,4,5,6为序号n+2，故通项公式为an=;

（4）因为分母3,15,35,63可看作22-1,42-1,62-1，82-1，故通项公式为an==.

课后强化作业

一、选择题

1.已知数列,,,,…,,则0.96是该数列的（）

A.第22项B.第24项C.第26项D.第28项

［答案］B

［解析］因为数列的通项公式为an=,由=0.96得n=24，故选B.

2.已知an=n2+n,那么（）

A.0是数列中的项B.20是数列中的项

C.3是数列中的项D.930不是数列中的项

［答案］B

［解析］∵an=n（n+1）,且n∈N+,

∴an的值为正偶数，故排除A、C；

令n2+n=20,即n2+n-20=0,解得n=4或n=-5（舍去）.

∴a4=20,故B正确；

令n2+n=930,即（n+31）（n-30）=0.

∴n=30或n=-31（舍去）

∴a30=930,故D错.

3.下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3……，n}）上的函数.

②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.

③数列的项数是无限的.

④数列通项的表示式是唯一的.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.②③D.①②③④

［答案］A

［解析］数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列1，0，-1，0，1，0，-1，0……的通项可以是an=sin，也可以是an=cos等等.

4.数列2，0，4，0，6，0，…的一个通项公式是（）

A.an=［1+（-1）n］B.an=［1+（-1）n+1］

C.an=［1+（-1）n+1］D.an=［1+（-1）n］

［答案］B

［解析］经验证可知B符合要求.

3n+1（n为奇数）

5.已知数列{an}的通项公式是an=,则a2a3等于（）

2n-2（n为偶数）

A.70B.28C.20D.8

［答案］C

［解析］由通项公式可得a2=2,a3=10,∴a2a3=20.

6.（2012•天津武清区）已知数列{an}的通项公式为an=n2-14n+45，则下列叙述正确的是（）

A.20不是这个数列中的项B.只有第5项是20

C.只有第9项是20D.这个数列第5项、第9项都是20

［答案］D

［解析］令an=20,得n2-14n+45=0,解得n=5或n=9,故选D.

7.已知数列,,，,,…,则5是它的第（）

A.18项B.19项C.20项D.21项

［答案］D

［解析］观察可得{an}的通项公式:

an=,（n∈N+）,5==,所以n=21.

8.已知数列{an}对任意的p、q∈N+满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）

A.-165B.-33C.-30D.-21

［答案］C

［解析］∵对任意p、q∈N+都有ap+q=ap+aq.

∴a10=a8+a2=a4+a4+a2=5a2=-30.

二、填空题

9.已知数列,3,,,3,…,,…,则9是这个数列的第项.

［答案］14

［解析］数列可写为,，，，，…，,…,

所以an=,令=9.∴n=14.

10.已知数列{an}中，an+1=对任意正自然数n都成立，且a7=，则a5=.

［答案］1

［解析］由已知a7==,∴a6=.

又∵a6==,∴a5=1.

11.已知数列｛an｝的通项公式是an=,则它的前4项为.

［答案］，，，.

［解析］取n=1,2,3,4,即可计算出结果.

当n=1时，a1==,

当n=2时，a2==,

当n=3时，a3==,

当n=4时，a4==.

12.下列有四种说法，其中正确的说法是.

①数列a,a,a,…是无穷数列；

②数列0,-1,-2,-3,…的各项不可能为正数；

③数列｛f（n）｝可以看作是一个定义域为正整数N+或它的有限子集｛1，2，…，n｝的函数值；

④已知数列｛an｝，则数列｛an+1-an｝也是一个数列.

［答案］①④

［解析］题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以②不正确，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N+或它的有限子集｛1，2,…,n｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.

三、解答题

13.根据数列的通项公式，写出它的前4项：

（1）an=;

（2）an=.

［解析］

（1）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列｛an｝的前4项为:

a1=,a2==,a3=,a4==.

（2）在通项公式中依次取n=1,2,3,4,便可得数列｛an｝的前4项为：

a1=-1,a2=,a3=-,a4=.

14.数列｛an｝的通项公式是an=n2-7n+6.

（1）这个数列的第4项是多少？

（2）150是不是这个数列的项？

若是这个数列的项，它是第几项？

（3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？

［解析］

（1）当n=4时，a4=42-4×7+6＝－6.

（2）令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16（n=-9舍），即150是这个数列的第16项.

（3）令an=n2-7n+6>0，解得n>6或n∴从第7项起以后各项都是正数.

15.已知数列｛an｝中，a1=2,a17=66,通项公式是项数n的一次函数.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）88是否是数列｛an｝中的项？

［解析］

（1）设an=an+b,

∴a1=a+b=2,①

a17=17a+b=66,②

②-①得16a=64,∴a=4,b=-2,

∴an=4n-2（n∈N+）.

（2）令4n-2=88，∴4n=90,n=N+（舍去），

∴88不是数列｛an｝中的项.

16.

（1）在数列1,,3,,,…中，3是数列的第几项？

（2）已知无穷数列：

1×2,2×3,3×4,…,n（n+1）,…,判断420与421是否为该数列的项？

若是，应为第几项？

［解析］

（1）∵a1=1=,a2==,a3=,a4=,

由此归纳得an==.

令an==3,∴n=12.

故3是此数列的第12项.

（2）由an=n（n+1）=420,解得n=20或n=-21（舍去），故420是此数列的第20项.

由an=n（n+1）=421,得n2+n-421=0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项.