16晶体对称性重点.docx
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16晶体对称性重点
/j^x
UESTC
UESTC
相关概念
对称性:
经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。
对称操作：
使晶体自身重合的动作。
对称素：
对称操作所依赖的几何要素。
♦一个几何图形的对称性的高低可以由它所具有的对称操作的数量的多少来决定。
♦对称性高，则具有的对称操作的数量多;
♦对称性低，则具有的对称操作的数量少;
平移（Translation）
反演（Inversion）—具有对称中心;
旋转（Rotation）—具有对称轴;
反映（Reflection）—具有对称面。
平移是一切晶体的内部结构都含有的对称性
㈤
z
勺2
即、
工2
XQ
A=
^21
^22
«23
&丿
坷2
33丿
两点间的距离保持不变,
X=
经过某一对称操作，把晶体中任一点X（心,工2，®）变为X'（玮无；，疋）可以用线性变换来表示.
操作前后，
0点和尤点间距与0点和X点间距相等.
x/+寸+X32=xr+x；2+x；2
UESTC一、旋转
1.旋转对称操作
设晶体外形为一立方体，沿图中所示转轴转动905外形与原来重合。
这样的转动称为转动对称操作。
该轴
称为转动轴。
如果转动180"等晶体都
保持外形重合。
是晶列上最近邻两格点的距离。
=n^AB=AB4-AB^cos04-BA^cos0=AB（1+2cos^）
死'是整数。
cos0=
UESTC
n-\
•••cos0=~,口・1<85&<1,「5'只能取值：
3,2丄0,-1。
2
//:
3
2
1
0
-1；
COS0：
1
0.5
0
-0.5
-1
e:
0
兀
兀
2兀
兀
3
2
3
2兀
2兀
2兀
2兀
2兀
1
6
4
3
2
亠2/r
n=
1,2,3,4,6b
别牙尔
为1,2,3,4,6次1度丿转轴。
UESTC3.度旋转对称轴:
:
:
:
晶体绕某一固定轴M旋转角度2加2以后，能自身重合，则称M为W度（或W次）旋转对称轴。
W只能取1，2,3,4,6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。
（2）对称轴表示方式
1熊夫利（Schoenfliesnotation）符号表示
5C2、555
2国际符号（Internationalnotation）表示
1、2、3、4、6。
（a）
UESTC
正三角形.
（a）
（b）
正方形和正六方形可以在平面内周期性重复排列.正五边形及其它正n边形则不能作周期性重复排列。
UESTC
UESTC
Penrose拼接图案
UESTC二、中心反演（中心反映）
如图所示，有对称心i,晶体中
o'A'
任一点4过中心i连线Ai并延长到使4f与A'是等同点，i
点称为对称心。
2•表示方式
（1）熊夫利符号表示一i
（2）国际符号表示一1
例：
立方体的中心就是对称中心。
如果将对称心放在坐标原点上，则有点与点等同。
UESTC
取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点
（曲,兀2，兀3）变为
/
/、
00）
9
=A
A=
0
-10
宀丿
0-1丿
UESTC三、镜象（镜面反映、对称面）
如图所示，和A'等同，如同镜子一样。
2•表示方式
（1）熊夫利符号表示一b
（2）国际符号表示一加。
O-xy相当于镜面o
UESTC
如以X3=（）面作为对称面，镜象是将图形的任何一点
UESTC四、〃度旋转一反演轴（象转轴）
1・象转轴
（1）定义
先绕"轴转动2加2,再经过中心反演，晶体自动重合，则称M轴为W度旋转一反演轴，又称为"度象转轴。
只有1,2,3,4,6。
⑵符号表示霊2戈＜6
2•〃度象转轴简析
«度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面的分
析，可以得到象旋转轴只有4是独立的。
UESTC
（1）1象转轴—实际上就是对称心/
点绕旋转轴（Z轴）
旋转3600,再经过
中心反演到4点,
（-x-y-z）
A，
UESTC⑵2象转轴一实际上就是镜象勿
+对称心Q）
UESTC（3）3象转轴一实际上就是3度转轴
UESTC（4）6象转轴一实际上就是3度转轴：
：
：
：
+镜面（2Z7）
3’!
7
2’I
UESTC
UESTC（5）4象转轴
UESTC
结论：
晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作：
1,2,3,4,6，1,"4。
这些基本的操作组合起来，就可以得到32种不包括平移的宏观操作类型。
熊夫利符号：
CpGCpCpC；仏b'Sj
UESTC晶体的宏观对称类型:
八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。
由此，推出晶体所属的32个点群。
G
G
C3
C4
Cs
C2h
C3h
^4h
^6h
C2V
C3V
C4V
C6¥
D2
D3
Dj
D6
D2h
D3h
D"
%h
D2d
Djd
G
5
S4
轴
轴一Ill—/正四面体正八面体
UESTC
点群（32种）
Schdnflies符号：
用主轴+脚标表示
主轴:
Cn、巩、Sn、T和O
C„：
n次旋转轴
Sn：
n次旋转一反映轴
V、d
垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面含n次轴（主轴）在内的竖直对称面垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面
D„：
n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴T：
四面体群O：
八面体群
脚标:
h、
h：
V：
d：
国际符号：
以特征方向的对称性来表示
UESTC
所丽秦骤祚都可由这8种操作或它们的组合来完成.一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。
对称性不同的晶体属于不同的群.由旋转.中心反演.镜象和旋转一反演点对称操作构成的群，称作点群。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对
称操作类型。
这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理
性质在不同方向上的对称性。
所以又称宏观对称性。
如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面.
UEST^、晶体的微观对称操作
晶体绕《轴每转2尬角度后，再沿该轴的方向平移卩加的/倍，则晶体中的原子和相同的原子重合（其中/为小于刃的整数；卩为沿H轴方向上的周期矢量）。
晶体只能有I,2,3,4,6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。
晶体绕
轴转9（）0后，再沿该轴平移4/4,能自身重合。
立方系的对称性简析。
Cl
▼
土
/
UESTC（4）三个和四度轴垂直的对称面
UESTC（3）六个2度轴
（5）六个和2度轴垂直的对称面
1•绕三个立方轴转动；T
:
Hi
Bls
UESTC4•绕6条面对角线轴转动龙加上中心反演
UESTC例题3正六面柱的对称性分析
转动2驾勞I
2.绕对棱中点连线转动兀3.绕相对面中心连线转动兀
4•正交变换
5.以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作
正六面柱的对称操作有24个
$
A6v=6v=0
■
UESTC:
:
n
学區删电场同时绕Y轴转动诃2」—JCIT匕XT廿
D'=D=£E
Xzcv
D'=D=£E
\X\'V
♦♦
2=-2=%E
转动的实施
——电场没变
——同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别
S=6-VVcv
♦♦
s=—sXXcv
•♦
UESTC
假设电场沿z轴方向将晶体和电场同时绕Z轴转动n/2
卷=£代=0
UESTC
再取电场方向沿［in］方向
D=£E/y/3D=£E/y/3
UESTC
正四面体晶体上述结论亦然成立
介电常数的论证和推导也适合于一切具有
二阶张量形式的宏观性质：
如导电率、热导率……等
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