沪科版初三下册数学 242 圆的基本性质 教案教学设计.docx

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沪科版初三下册数学242圆的基本性质教案教学设计

24.2　圆的基本性质

第1课时圆的概念和性质

【教学目标】

1.会用圆规画圆,理解圆的描述定义,掌握圆各部分名称及圆的特征.

2.了解点与圆的位置关系,理解点到圆心的距离与半径之间的关系.

【重点难点】

重点：

掌握圆各部分的名称及圆的特征.

难点：

点与圆的各种位置关系,点到圆心的距离与半径r的关系.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

　　一、创设情境,导入新课

教师：

前面我们已经学习过两种常见的几何图形,三角形、四边形.大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？

学生：

折叠、平移、旋转、推理证明等方法.

教师：

好！

大家总结得很详细,今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆,圆的性质与应用同样需要通过折叠、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究.

　　利用简单的问题导出本节课的学习课题,有利于提高学生对本节课的学习兴趣,为更好地学习圆的对称性作准备.

二、师生互动,探究新知

教师：

大家看教材,你能用自己的语言口述圆的定义吗？

学生看教材.

学生：

将线段OP的一个端点O固定,使线段OP绕着点O在平面内旋转一周,另一个端点P运动所形成的封闭曲线叫做圆.

看教材练习第1题.

教师：

你能举出一些圆形物体的实例吗？

学生甲：

太阳、盘子等.

学生乙：

车轮、表盘等.

活动：

利用圆规画一个⊙O,使⊙O的半径r＝3cm.

教师：

在平面内任意取一点P,点与圆有哪几种位置关系？

学生：

圆内、圆上和圆外.

教师：

分别在圆内、圆上、圆外各取一个点,量出这些点到圆心的距离,并比较它们与圆半径的大小.

你有什么发现？

学生小组讨论,教师参与.

师生共同努力完成：

如果⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,那么

点P在圆内⇔d＜r,

点P在圆上⇔d＝r,

点P在圆外⇔d＞r.

教师：

请大家看教材内容,我们来认识一下弧、弦、直径等与圆有关的概念.请你把重要的信息写下来.

教师点拨,学生看教材写：

圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：

经过圆心的弦叫做直径.

如右图,以A、B为端点的弧记作

读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦,弦CD是⊙O的一条直径.

大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫半圆弧,简称半圆.半圆是弧,但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧,也不是优弧.

直径是弦,但弦不一定是直径.

教师还要说明弓形,等圆,等弧的定义.

用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,通过学生的自我学习或者小组学习完成对定义的深化.

通过小组交流,教师点拨,实现知识系统化.

　　三、运用新知,解决问题

1.教材练习第2题.

2.教材练习第3题.

　　主要是通过练习题来巩固学生所学习的知识,提高小组合作能力和水平.

　　四、课堂小结,提炼观点

今天我们学习了什么知识？

你有哪些收获？

还有什么问题吗？

　　通过简短的总结,让学生对本节知识形成整体框架.

　　五、布置作业,巩固提升

教材习题24.2第1题.

　　加深认识,深化提高.

┃教学小结┃

【板书设计】

圆的概念和性质

1.圆的概念：

平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.

2.点与圆的位置关系：

（1）点P在⊙O上⇔OP＝r；

（2）点P在⊙O内⇔OP＜r；

（3）点P有⊙O外⇔OP＞r.

3.圆的相关概念

24.2　圆的基本性质

第2课时垂径定理及其逆定理

【教学目标】

1.能理解圆的轴对称性和垂径定理及其逆定理.

2.能运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.

【重点难点】

重点：

垂径定理及其逆定理.

难点：

垂径定理及其逆定理的证明.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

一、创设情境,导入新课

你知道赵州桥吗？

它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？

通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题.

　　结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透,并引入新知识.

二、师生互动,探究新知

1.实验发现

实验：

用纸剪一个圆（课前让学生做好）,沿着圆的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么？

由此你得到了什么结论？

结论：

圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.

2.探究活动1：

垂径定理

如下图,在圆形纸上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为E,再将纸片沿CD对折.

思考：

①上图是轴对称图形吗？

如果是,其对称轴是什么？

②你能发现图中有哪些等量关系？

与同伴说一说你的想法.

通过讨论,可得下面定理：

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

验证：

你能用逻辑的方法验证垂径定理吗？

例1　已知,如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.

求证：

AE＝EB,

＝

（或

＝

）

分析：

如图,连接OA、OB,则OA＝OB.可通过证明Rt△OAE和Rt△OBE全等,结合轴对称证明.

3.探究活动2：

垂径定理的推论.

你能写出垂径定理的逆命题吗？

这个逆命题正确吗？

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

若AB是⊙O的一条弦,且AP＝BP,过点P作直径CD,则AB⊥CD,

＝

＝

.

思考：

平分弧的直径垂直于平分这条弧所对的弦吗？

教师引导学生先写出垂径定理的逆命题,再判断出此逆命题是正确的.

根据逆命题画出图形,写出已知,求证.

引导学生仿照垂径定理的证明来证明这个命题.

指出思考的问题是正确的,也是垂径定理的逆定理.

最后教师归纳垂径定理及其逆定理.

例2　出示教材例3,并让学生解决.让学生亲自动手,进行实验、探究,得出圆的轴对称性.

让学生亲自动手,进行实验、探究,得出圆的轴对称性.

通过该问题引导学生探究、发现垂径定理,初步感知.

引导学生自主、合作探究,培养学生逻辑推理能力.

学会用类比的方法解决问题,掌握垂径定理的逆定理.

　　会利用垂径定理解决问题.

　　三、运用新知,解决问题

1.教材练习第1题.

2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M.

（1）

＝1cm,

＝1cm,那么

＝______cm,

＝______cm,⊙O的周长是______cm.

（2）若CD＝8,AB＝10,则OM＝________.

（3）若BM＝1,CD＝8,则OC＝________.

进一步巩固所学知识,加深对定理的理解.

　　四、课堂小结,提炼观点

本节课你有什么收获？

你还有什么疑惑？

　　五、布置作业,巩固提升

1.教材练习第1,3题.

2.在直径为20cm的圆柱形油桶内装入一些油后,截面如图,如果油面宽AB＝12cm,那么油的最大深度是多少？

　　分层教学,加深认识,深化提高.

┃教学小结┃

【板书设计】

垂径定理及其逆定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理的逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

解题方法：

连接一条半径,半径、弦心距、弦的一半构成直角三角形（如图）.

24.2　圆的基本性质

第3课时弦、弧、圆心角、弦心距间的关系

【教学目标】

1.了解圆是旋转对称图形及圆心角的概念.

2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.

【重点难点】

重点：

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.

难点：

“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

　　一、导入新课

教师引导,学生自学教材知识.

　　二、师生互动,探究新知

1.教师出示两张透明纸,指导学生分别作半径相等的⊙O和⊙O′,然后把两张纸叠在一起,使⊙O与⊙O′重合,用图钉钉住圆心,将上面一个圆旋转任意一个角度.

指出问题：

两个圆还能重合吗？

归纳：

圆是旋转对称图形,对称中心为圆心.

2.将⊙O绕圆心O旋转任意角度以后,出现一个角∠AOB,请同学们观察一下这个角有什么特点？

如图：

圆心角的概念：

顶点在圆心的角叫做圆心角.

3.教师用多媒体课件出示教材图24－25.

4.提问：

当∠AOB＝∠A′O′B′时,根据圆的旋转对称性,你能推测出,两个圆心角所对的

＝

弦AB与弦A′B′,弦心距OM与OM′之间有怎样的关系.

指导学生利用圆的旋转对称性进行证明.

想一想：

在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距之间有怎样的关系？

总结：

在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所以弦的弦心距相等.

想一想：

如果AB＝A′B′（或

＝

或OM＝OM′或∠AOB＝∠A′OB′）,

能否得到其余的量也相等？

为什么？

归纳：

在同圆或等圆中,圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等.

教师说明：

把顶点在圆心的周角等分成360份,每一份的圆心角是1°的角.因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以整个圆周也被等分成360份。

我们把每一份这样的弧叫做1°的弧.

一般地,n°的圆心角对着n°的弧,n°的弧对着n°的圆心角.也就是说,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

4.教师用多媒体课件出示例4、例5和例6,要求学生分析问题.

纠正学生做法.

通过学生自己的操作,充分感受圆是旋转对称图形,并且也是中心对称图形.

通过教师和学生的共同努力,得到定理,充分体现合作的价值.学生感受知识之间的密切联系.

掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.

掌握弧的度数与圆心角度数之间的关系.

通过教师的适当点拨,师生的努力达到巩固利用的目的.

　　三、运用新知,解决问题

完成教材练习第1,2,3题.

　　通过练习题来巩固学生所学习的知识.

　　四、课堂小结,提炼观点

让学生归纳学习内容,对学生的归纳给予合理的评价并进一步完善.

　　知识与方法的归纳,对定义认识的升华.

　　五、布置作业,巩固提升

教材习题24.2第6题.

　　加深认识,巩固提升.

┃教学小结┃

【板书设计】

弦、弧、圆心角、弦心距之间的关系

圆心角的概念：

顶点在圆心上的角叫做圆心角.弦、弧、圆心角、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等.

第4课时圆的确定

【教学目标】

1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.

2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.

3.了解反证法的证明思想.

【重点难点】

重点：

点和圆的位置关系的结论：

不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.

难点：

讲授反证法的证明思路.

┃教学过程设计┃

　　教学过程

设计意图

　　一、创设情境,导入新课

在古希腊时,有三个哲学家,由于争论和天气的炎热感到疲倦,因此就在花园里的一棵大树下躺休息并睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后,彼此相看时都笑了,一会儿其中有一个人却突然不笑了,他觉察到什么了？

二、师生互动,探究新知

教师出示下列问题：

1.作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆？

2.作圆,使它经过已知点A、B.你是如何作的？

你能作出几个这样的圆？

其圆心的分布有什么特点？

与线段AB有什么关系？

为什么？

　　通过生动有趣的生活实例引入新课,培养学生的学习兴趣.

3.作圆,使它经过已知点A、B、C（A、B、C三点不在同一条直线上）.你是如何作的？

你能作出几个这样的圆？

引导学生得出：

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

连接3中的三个点,可得一个三角形,它叫做圆的内接三角形,圆叫做三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.

学生作直角、锐角、钝角三角形的外接圆,分别观察外心的位置.

教师多媒体出示动画《王戎不摘李》片段.

教师引导学生假设李子不是苦的,即李子是甜的,那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？

那么,树上的李子还会这么多吗？

这与事实矛盾吗？

说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？

教师引导学生归纳反证法的定义,根据学生总结的情况补充完善.

思考：

经过同一直线上的三点能作出一个圆吗？

教师出示问题,引导、点拨、分析.

学生在教师的引导下,小组合作交流完成证明过程.

教师总结：

反证法的一般步骤先假设命题不成立——从假设出发——矛盾——得出假设命题不成立是错误的——即所求证的命题正确.

引导学生用反证法证明定理：

两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.

　通过该问题引导学生学会探究、发现结论,亲自体验经历数学发生发展的过程.

教师通过引导学生自主、合作探究,培养学生分析问题、解决问题的意识和能力,养成良好的分析问题、解决问题的习惯.

加强教学反思,帮助学生养成系统整理知识的习惯.培养学生对反证法的应用能力.

　　三、运用新知,解决问题

要求学生完成教材练习第1～4题.

　　充分体现小组合作的优势.

　　四、课堂小结,提炼观点

教师引导学生归纳本节课的主要内容,根据学生的回答补充.

　　养成及时总结的习惯.

　　五、布置作业,巩固提升

教材习题24.2第15、16题.

　　加深认识,深化提高.

┃教学小结┃

【板书设计】圆的确定

1.圆的确定条件：

不在同一直线上的三点确定一个圆.

2.三角形的外接圆及外心.

3.反证法.