（3）在实验中摆角θ小于10°，为了减小计时误差，应当在摆线平衡位置时开始计时，因为此时摆球速度较快，与最大摆角时相比，经过相同的距离的时间较短，即相同的视觉误差下时间误差较小.
【实验步骤】
（1）做单摆：
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。
如上图。
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂。
（2）测摆长：
用米尺量出悬线长Lˊ（准确到0.1mm），用米尺和三角板（或游标卡尺）测出摆球的直径d（准确到0.1mm），然后计算出悬点到球心的距离L，
即为摆长。
（3）测周期：
把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过10°），然后放开小球让它摆动，用秒表测出单摆完成30～50次全振动的时间，计算出单摆的振动周期。
（4）改变摆长，重做几次实验。
（5）根据单摆的周期公式，计算出每次的重力加速度，并求出几次实验得到的重力加速度的平均值。
【例题1】（1993全国卷·23）一位同学用单摆做测量重力加速度的实验。
他将摆挂起后，进行了如下步骤：
A、测摆长L：
用米尺量出摆线的长度。
B、测周期T：
将摆球拉起，然后放开。
在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数到摆球第60次通过最低点时，按秒表停止计时。
读出这段时间t，算出单摆的周期T＝t/60。
C、将所测得的L和T代单摆的周期公式
算出g，将它作为实验的最后结果写入报告中去。
指出上面步骤中遗漏或错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正。
（不要求进行误差计算）
【解析】A．要用卡尺测摆球直径d，摆长l等于摆线长加d/2。
如果说明用米尺量摆长时，摆长的下端从球心算起，也给这1分。
C．g应测量多次，然后取g的平均值做为实验最后结果。
如果说明摆长和周期的测量要进行多次，并取它们的平均值为l和T，算出g，也给这1分。
【点拨】
【数据处理】
1、实验记录：
物理量
次
摆长l（米）
振动次数n（次）
N次历时t（秒）
周期T（秒）
g=4π2l/T2（米/秒2）
g（米/秒2）
当地g
1
2
3
2、实验数据处理：
（1）方法一（公式法）：
将实验数据代入公式
，求出每次重力加速度的值，然后求g的平均值，即为本地的重力加速度。
【例题1】（1999上海卷·17）在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长L和周期T计算重力加速度的公式是g=____________。
如果已知摆球直径为2.00厘米，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，那么单摆摆长是_______，如果测定了40次全振动的时间如图中秒表所示，那么秒表读数是_______秒，单摆的摆动周期是________秒。
【解析】
L=L0+
=88.40-1.00=87.40cm。
75.21.88
【点拨】明白基本仪器的使用及读数规则，是实验的前提。
【例题2】（2006上海物理·18）有一测量微小时间差的装置，是由两个摆长略有微小差别的单摆同轴水平悬挂构成．两个单摆摆动平面前后相互平行．
（1）现测得两单摆完成50次全振动的时间分别为50．0s和49．0s，则两单摆的周期差
＝s；
（2）某同学利用此装置测量小于单摆周期的微小时间差，具体操作如下：
把两摆球向右拉至相同的摆角处，先释放长摆摆球，接着再释放短摆摆球，测得短摆经过若干次全振动后，两摆恰好第一次同时同方向通过某位置，由此可得出释放两摆的微小时间差．若测得释放两摆的时间差Δt＝0.165s，则在短摆释放s（填时间）后，两摆恰好第一次同时向（填方向）通过（填位置）；
（3）为了能更准确地测量微小的时间差，你认为此装置还可做的改进是
。
【答案】
（1）0.02s
（2）8.085s左最低点（或平衡位置）（3）同时加大两摆的摆长
【分析】
（1）
（2）先释放的是长摆，故有nT1=nT2+Δt，解得n=8.25，所以短摆释放的时间为t=nT2=8.085s，此时两摆同时向左经过平衡位置。
（3）在不改变摆长差的同时增大摆长，△T越小，可测得的时间差越小。
【高考考点】单摆在小振幅条件下单摆作简谐运动周期公式
【易错点】第二空时最容易错的一空，学生容易将其误认为是长摆释放的时间8.25s。
【点拨】
（2）方法二（图像法）：
利用试验中的数据进行T2——L图像处理，
由单摆的周期公式
得
，以摆长为纵轴，T2为横轴做出L—T2图像，是一条过原点的直线，求出图像的斜率，
，
。
【释例1】在利用单摆测重力加速度的实验中，某学生在实验中，测出了五组摆长L和周期T的值，然后作出-L，图线如图所示，再求出图线的斜率k，最后由斜率k求出重力加速度g=_____．
【解析】
【释例1】下表是用单摆测定重力加速度的实验中获得的有关数据
摆长l（m）
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2（s2）
2.0
2.4
3.2
4.8
（1）利用上述数据，在右图坐标系中描出l-T2图象.
（2）利用图象，取T2＝4.2s2时，l＝ 1.05 m，重力加速度g＝ 9.86 m/s2.
【解析】
（1）l-T2图象如图中直线所示.
（2）T2＝4.2s2时，从图中画出的直线上可读出其摆长约为l＝1.05m，将T2与l代入公式g＝
得g＝9.86m/s2
【点拨】
【释例1】一组同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用正确的操作方法，测定了6组摆长L和周期T的对应值。
为了求出当地的重力加速度g，4位同学提出了4种不同的方法：
①从测定的6组数据中任意选取1组，用公式g=4π2L/T2求出g作为测量值；
②分别求出6个L值的平均值
和6个T值的平均值
，用公式g=4π2
/
2求出g作为测量值；
③分别用6组L、T的对应值，用公式g=4π2L/T2求出6个对应的g值，再求这6个g的平均值作为测量值；
④在坐标纸上作出T2-L图象，从图象中计算出图线的斜率k，根据g=4π2/k求出g作为测量值。
你认为以上4种方法中，错误的是哪一种____（填代号即可），其余正确方法中偶然误差最小的是哪一种______（填代号即可）。
【解析】错误的是②，因为L和T之间不是一次函数的关系。
偶然误差最小的是④，因为偶然误差总是有时偏大有时偏小。
而描点后画线时要求尽可能多的点在该直线上，其余点尽可能均衡地分布在该直线两侧，实际上是把偶然误差减小到最小了。
【点拨】
【释例2】（2008天津理综·22）（3）某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出L一T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。
他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g=。
请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将。
（填“偏大”、“偏小”或“相同”）
【答案】
相同
【解析】题目考查了用单摆测重力加速度
设A、B的摆线长为LA和LB，摆线到重心的距离为L1，所以A、B的两处的摆长分别为LA＋L1和LB＋L1，根据周期公式
得
则
（1）
（2）
（2）－
（1）得
从式子中可以看出，最终的结果与重心的位置无关，所以不影响g值的测量。
【点拨】
【释例3】（2008上海物理·17）在“用单摆测重力加速度”的实验中：
（1）某同学的操作步骤为：
a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
b．用米尺量得细线长度l
c．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球
d．用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝t/n
e．用公式
计算重力加速度
按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比＿＿＿（选填“偏大”、“相同”或“偏小”）。
（2）已知单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为
，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数。
为了用图像法验证该关系式，需要测量 的物理量有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图像中的横轴表示＿＿＿＿＿＿。
【答案】
（1）偏小
（2）T′（或t、n）、θ，T′
【解析】单摆摆长为摆线长度与小球半径之和，因该同学将偏小的摆长代入公式计算，所得重力加速度的测量值偏小于实际值；
为验证该关系式，需要测量单摆在任意摆角θ时的周期T′，根据公式与图像的函数关系式可推导得到摆角θ=0时横轴的截距为T0。
【点拨】
【误差分析】
（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。
①悬点是否固定
②球、线是否符合要求
③是否形成圆锥摆
④摆长的测量是否出现误差
（2）本实验偶然误差主要来自于时间的测量上。
①采取倒计时数振动次数的方法。
②多测振动次数。
（3）本次实验中进行长度（摆线长、摆球直径）的测量时读数读到毫米位即可，秒表读数读到秒的十分位即可。
【注意】
（1）为减小计算误差，不应先算T的平均值再求g，而应先求出每次的g值再平均。
（2）实验过程中：
①易混淆的是：
摆通过平衡位置的次数与全振动的次数。
②易错的是：
图象法求g值，g≠k而是g=4π2/k；T=t/n和T=t/（n-1）也经常错用，（前者是摆经平衡位置数“0”开始计时，后者是数“1”开始计时）。
③易忘的是：
漏加或多加小球半径，悬点未固定；忘了多测几次，g取平均值。
【释例1】用单摆测重力加速度时，若测得的数值与当地重力加速度的公认值相差较大，则引起这一“误差”的可能原因是（C）
①形成了水平面内的圆锥摆式运动
②测量摆长时，漏测了摆球的直径
③测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，并计数1，直至数到30次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为t，计算出周期
。
④单摆的最大偏角大于10°
A.①②B.①②③
C.①②③④D.②③④
【解析】①、④没有符合单摆做简谐振动的条件；②应正确测量摆长；③中的T应为：
，并且实验方法不正确.故选C项。
【点拨】
【例题2】（2007全国理综Ⅱ·22）在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：
A、适当加长摆线
B、质量相同、体积不同的摆球，选用体积较大的
C、单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D、当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
其中对提高测量结果精确度有利的是AC。
【解析】
【点拨】
【注意事项】
（1）选材料时应注意：
①线要细且不易伸长（线的弹性要小），
②球要用密度大且直径小的金属球，以减小空气阻力影响。
（2）实验误差控制：
①摆线上端的悬点要固定不变，不能在摆动中出现移动或晃动，以防摆长改变。
②要在摆角小于10°的情况下进行实验。
③要使单摆在竖直平面内摆动，不能形成锥摆。
（3）摆长的测量：
①摆长应为悬点到球心的距离，即l=L+D/2；其中L为悬点到球面的摆线长，D为球的直径。
②在不使用游标卡尺的情况下：
（4）测周期的方法：
①计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低位置时进行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。
②为减小记时误差，采用倒数计数法，即当摆球经过平衡位置时开始计数，“3，2，1，0，1，2，3……”数“0”时开始计时，数到“60”停止计时，则摆球全振动30次，T=t/30。
③计时从平衡位置开始是因为此处摆球的速度最大，人在判定它经过此位置的时刻，产生的计时误差较小。
（5）要多次测量取其平均值.
【例题1】在利用单摆测重力加速度的实验中，现有三个大小相同的小球：
小铁球，小铝球，小木球和三条细线：
棉线、丝线、细铜线，装置单摆时应选用（B）
A．棉线和小铁球 B．丝线和小铁球C．铜线和小木球 D．丝线和小铝球
【例题2】（1998上海卷·）做“用单摆测定重力加速度”的实验，下述说法中正确的是〖AB〗
A、如果有两个大小相同的铁球和木球（都有小孔）可供选择，则选用铁球作为摆球较好。
B、单摆的偏角不要超过50。
C、为了便于改变摆线的长度，可将摆线的一头绕在铁架上端的圆杆上以代替铁夹。
D、测量摆长时，应该用力拉紧摆线。
【解析】所选摆球场应该是密度大质量大（远大于线的质量）、体积小（忽略空气阻力）的球。
A对。
为了保证单摆的运动可近似看作是简谐振动，必须保证偏角不要超过50和线长近1米两个条件，（sinθ≈tanθ）,A对。
单摆在振动时悬点必须固定，C错；
测量摆长时，摆线应自然竖直下垂而不是用力拉紧摆线。
【点拨】明白最基本的道理，问题也就好解决。
【实验结论】
从表中计算的g看，与查得的当地标准g值近似相等，其有效数字至少3位。
附：
秒表构造：
1、外壳按钮：
使指针启动、停止和回零，如下图所示。
2、表盘刻度：
秒针指示大圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒；秒钟转一周历时30秒；分针指示小圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1分或0.5分，分针转一周历时15分。
3、秒表的工作原理：
机械秒表靠发条转动力矩通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针，即将发条的弹性势能转化为动能，使指针摆动。
4、秒表的读数：
不足30秒即秒针转不到一周时，直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值，因为大圆周上有红、黑两种字体，黑字030，红字060，意思是秒针转两周才60秒；同理分析所指的小圆周上也有两种字体，黑字015，红字030，分针转两周才30分；通常是分针读红字，秒针读红字，分针读黑字，秒针读黑字，记时为两个示数之和。
5、秒表的使用方法：
A．按钮开始记时，分针、秒针都启动。
B．按钮停止记时，分针、秒针都停止。
C．按钮分针、秒针回“0”位，此时在使用有两个按钮的表时，应按“0”位侧边的钮。
6、注意事项：
A．上发条不宜紧，用完后不必松发条。
B．计时中途不可按钮。
C．防止打击和强烈振动。
D．切勿放在磁铁附近。
（如收录机、电视机旁）。
【例题精析】
【例题1】（2007成都二诊·22）在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
①某同学用精度为0．1mm的游标卡尺按正确操作方法测量出所选摆球的直径，测量结果如图所示，该球直径为_____1．25______cm。
②该同学分别选用了四种不同材料制成且直径相同的实心摆球做实验，各次实验中测
量的数据如下表。
若每次实验都符合操作规范，测量长度和时间的技术水平都相同，则第____2_____次实验中，根据测量数据计算出的结果最接近当地的重力加速度值。
实验次数
摆球材料
摆长l/m
最大摆角
全振动次数N/次
所测时间t/s
1
铜
0.40
15°
20
25.6
2
铁
1.00
5°
50
100.5
3
铝
0.40
15°
50
64.4
4
木
1.00
5°
20
41.5
【解析】①
②
【例题2】某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小为3cm左右，外形不规则的大理石块代替小球。
他设计的实验步骤是：
A．将石块用细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点。
B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长。
C．将石块拉开一个大约α=30°的角度，然后由静止释放。
D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T=t/30得出周期。
E．改变OM间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的L和T。
F．求出多次实验中测得的的平均值作为计算时使用的数据，带入公式
求出重力加速度g。
（1）你认为该同学以上实验步骤中有重大错误的是_______________。
为什么?
（2）该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小?
________。
你认为用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难?
【解析】
（1）B（摆长应从悬点到大理石块的质心）、C（摆角太大，不能看作简谐运动）、F（必须先分别求和各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值）。
（2）小。
设两次实验中摆线长分别为L1、L2，对应的周期分别为T1、T2，石块质心到M点的距离为x，由
和
可解得：
【点拨】
【实验创新】
【例题1】变器材，用教学楼阳台代替铁架台，用数米长的尼龙细线拴好的小挂锁代替摆球，用米尺只测量摆线的一段长度，用秒表测量周期T仍能测量当地重力加速度，其简要方法如下：
如下图所示，设阳台上的悬点为O，挂锁的重心为O′在摆长上离挂锁附近作一红色标记M，用米尺量OM=L1，而MO′=L2，不必测量，则：
T12=4π2（L1+L2）/g……①在悬点处放松（或收起）一段线，再量OM=L2，MO′=L0不变，则T2=4π2（L2+L0）/g……②
由①②式得：
g=4π2（L2+L1）/（T12-T22）（其中T1、T2测量方法同上述方法）
此实验也可以用T2-L图象法去求。
【例题2】变器材，变对象，在地球表面借助电视机，依据周期公式，用机械手表测月球表面自由落体的加速度g月。
有一位物理学家通过电视机观看宇航员登月球的情况，他发现在登月密封舱内悬挂着一个重物在那里微微摆动，其悬绳长跟宇航员的身高相仿，于是他看了看自己的手表，记下了一段时间t内重物经最低点的次数，就算出了g月，已知他记下重物由第一次经最低点开始计时数到n=30次的时间t为1分12.5秒，并估计绳长
约等于宇航员身高
。
由T=t/[（n-1）/2]和T=2π
计算出了g月。
【例题3】学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和质量分布均匀的方木块（如一把米尺）做成的摆（这种摆被称为复摆），如图所示。
让其在竖直平面内做小角度摆动，C点为重心，板长为L，周期用T表示。
甲同学猜想：
复摆的周期应该与板的质量有关。
乙同学猜想：
复摆的摆长应该是悬点到重心的距离L/2。
丙同学猜想：
复摆的摆长应该大于L/2。
理由是：
若OC段看成细线，线栓在C处，C点以下部分的重心离O点的距离显然大于L/2。
为了研究以上猜想是否正确，同学们进行了下面的实验探索：
（1）把两个相同的木板完全重叠在一起，用透明胶（质量不计）粘好，测量其摆动周期，发现与单个木板摆动时的周期相同，重做多次仍有这样的特点。
则证明了甲同学的猜想是_错误的（选填“正确”或“错误”）。
（2）用T0表示板长为L的复摆看成摆长为L/2单摆的周期计算值（T0=2
），用T表示板长为L复摆的实际周期测量值。
计算与测量的数据如下表：
板长L/cm
25
50
80
100
120
150
周期计算值T0/s
0.70
1.00
1.27
1.41
1.55
1.73
周期测量值T/s
0.81
1.16
1.47
1.64
1.80
2.01
由上表可知，复摆的等效摆长大于L/2（选填“大于”、“小于”或“等于”）。
（3）为了进一步定量研究，同学们用描点作图法对数据进行处理，所选坐标如图。
请在坐标纸上作出T-T0图，并根据图象中反映出的规律求出
=_1.16（结果保留三位有效数字，其中L等是板长为L时的等效摆长T=2
）。
【解析】
【例题4】将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。
图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球（可视为质点）拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=θ，θ小于10°且是未知量。
图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间，变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。
试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息求：
（g取l0m／s2）
（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球的质量；
（3）摆球运动过程中的最大速度。
【解析】L=0.4m；m=0.05kg；vm=0.283m/s
【例题5】（2006四川理综·22）在“用单摆测定重力加速度”的实验中，①测摆长时，若正确测出悬线长L和摆球直径d,则摆长为;②测周期时，当摆球经过位置时开始计时并计数l次，测出经过该位置N次（约60～100次）的时间为t,则周期为。
此外,请你从下列器材中选用所需器材，再设计一个实验，粗略测出重力加速度g，并参照示例填写下表（示例的方法不能再用）。
A.天平;B.刻度尺;C.弹簧秤;D.电磁打点计时器;E.带夹子的重锤;
F.纸带;G.导线若干;H.铁架台;I.低压交流电源;J.低压直流电源;
K.小车;L.螺旋测微器;M.斜面（高度可调，粗糙程度均匀）。
所选器材（只填器材序号）
简述实验方法（不要求写出具体步骤）
示例
B、D、E、F、G、H、I
安装仪器，接通电源，让纸带随重锤竖直下落。
用刻度尺测出所需数据，处理数据，得出结果。
实验设计
【解析】①
（2分）;②平衡（2分）;
（3分）;
所选器材
简述实验方法
实验设计
A、C、E
用弹簧秤称出带夹子重锤的重力大小G,再用天平测出其质量m,则g=G/m。
或
实验设计
B、D、F、G、I、K、M
安装仪器，接通电源，让纸带随小车一起沿斜面下滑。
用刻度尺测出所需数据。
改变斜面高度再测一次。
利用两次数据，由牛顿第二定律算出结果。
【例题5】几名学生进行野外考察，登上一山峰后，他们想粗略测出山顶处的重力加速度。
于是他们用细线拴好石块P系在树枝上做成一个简易单摆，如图所示。
然后用随身携带的钢
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