最新中考数学专题训练函数的实际应用.docx
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最新中考数学专题训练函数的实际应用
最新中考数学专题训练---
函数的实际应用
1.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件,并且每售出一件A款式和B款式服装,甲店铺获利润分别为30元和35元,乙店铺获利润分别为26元和36元.某日,王老板进A款式服装36件,B款式服装24件,并将这批服装分配给两个店铺各30件.
(1)怎样将这60件服装分配给两个店铺,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同?
(2)怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下,王老板获利的总利润最大?
最大的总利润是多少?
解:
(1)设A款式服装分配到甲店铺为x件,则分配到乙店铺为(36-x)件;B款式分配到甲店铺为(30-x)件,分配到乙店铺为(x-6)件,
根据题意得:
30x+35×(30-x)=26×(36-x)+36(x-6),解得x=22.
所以36-x=14(件),30-x=8(件),x-6=16(件),
故A款式服装分配到甲店铺为22件,则分配到乙店铺为14件;
B款式分配到甲店铺为8件,分配到乙店铺为16件,能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同;
(2)设总利润为w元,根据题意得:
30x+35×(30-x)≥950,解得x≤20,解得6≤x≤20.
w=30x+35×(30-x)+26×(36-x)+36(x-6)=5x+1770,
∵k=5>0,∴w随x的增大而增大,
∴当x=20时,w有最大值1870.
∴A款式服装分配给甲、乙两店铺分别为20件和16件,B款式服装分配给甲、乙两店铺分别为10件和14件,最大的总利润是1870元.
2.某天上午7:
30,小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8:
30的动车.记汽车的行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过60千米/小时).根据经验,v,t的对应值如下表:
v(千米/小时)
20
30
40
50
60
t(小时)
0.6
0.4
0.3
0.25
0.2
(1)求平均速度v(千米/小时)关于行驶时间t(小时)的
函数表达式;
(2)若小芳从开始打车到上车用了10分钟,小芳想在动车出发前半小时到达动车站,若汽车的平均速度为32千米/小时,小芳能否在预定的时间内到达动车站?
请说明理由;
(3)若汽车到达动车站的行驶时间t满足0.3≤t≤0.5,求平均速度v的取值范围.
解:
(1)根据表格中数据,设v=
,
∵当v=20时,t=0.6,
∴k=20×0.6=12,
∴v=
(t≥0.2);
(2)不能.
理由:
∵1﹣
﹣
=
,
∴当t=
时,v=
=36>32,
∴若汽车的平均速度为32千米/小时,小芳不能在预定的时间内到达动车站;
(3)∵0.3≤t≤0.5,
∴24≤v≤40,
答:
平均速度v的取值范围是24≤v≤40.
3.某企业是一家专门生产季节性产品的企业,经过调研预测,它一年中获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=-n2+14n-24.
(1)若利润为21万元,求n的值;
(2)哪一个月能够获得最大利润,最大利润是多少?
(3)当产品无利润时,企业会自动停产,企业停产是哪几个
月份?
解:
(1)由题意得:
-n2+14n-24=21,
解得n=5或n=9;
(2)y=-n2+14n-24=-(n-7)2+25,
∵-1<0,∴开口向下,y有最大值,
即n=7时,y取最大值25,
故7月能够获得最大利润,最大利润是25万;
(3))∵y=-n2+14n-24=-(n-2)(n-12),
当y=0时,n=2或者n=12.
又∵图象开口向下,∴当n=1时,y<0,
当n=2时,y=0,当n=12时,y=0,
则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.
4.进入夏季后某款空调供不应求,厂家加班生产并销售,在第一个产销期的12天中,为提高产量,从第5天开始增加了工时生产成本,每台空调的成本P(元)与时间x(天)的关系如表:
时间x(天)
每台空调的成本P(元)
0<x≤5
P=400
5<x≤12
P=40x+200
已知每天生产的空调数量y(台)与时间x(天)近似满足函
数关系y=2x+16,每台空调的出售价格为1400元.
请解答下列问题:
(1)设厂家的日销售利润为W元,求W(元)与时间x(天)的
函数关系式;
(2)确定该厂哪一天获得最大利润,最大利润是多少?
(3)设厂家在第一个产销期,获得最大利润时的成本为P1,日生产量为y1.现计划从第13天开始,按每台成本P1元,每台生产y1台进行生产并完全售出,但由于机器损耗等原因,实际平均每台空调的成本比统计增加了a%,使得厂家10天的销售利润与原计划的8天的销售利润持平,求a的值.
解:
(1)当0<x≤5时,W=y(1400-P)=(2x+16)(1400-
400)=2000x+16000;
当5<x≤12时,W=y(1400-P)=(2x+16)[1400-(40x+20)]=-80x2+1760x+19200;
(2)当0<x≤5时,W=2000x+16000,
∵2000>0,W随x的增大而增大,
∴当x=5时,W有最大值为26000元;
当5<x≤12时,W=-80x2+1760x+19200
=-80(x-11)2+28880,
∴当x=11时,W有最大值28880元,
综上,第11天的利润最大,最大利润是28880元;
(3)y1=2×11+16=38(件),P1=40×11+200=640(元),
由题意得:
[1400-640(1+a%)]×38×10=28880×8,
解得a=23.75,
∴a的值为23.75.
5.小米利用暑期参加社会实践,在妈妈的帮助下,利用社区提供的免费摊点卖玩具,已知小米所有玩具的进价均2元/个,在销售过程中发现:
每天玩具销售量y(件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB段为反比例函数图象的一部分,BC段为一次函数图象的一部分,设小米销售这种玩具的日利润为w元.
(1)根据图象,求出y与x之间的函数关系式;
(2)求出每天销售这种玩具的利润w(元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求每天利润的最大值;
(3)若小米某天将价格定为超过4元(x>4),那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元,求该天玩具销售价格的取值范围.
第5题图
解:
(1)∵AB段为反比例函数图象的一部分,A(2,40),
∴当2≤x≤4时,y=
,
∵BC段为一次函数图象的一部分,且B(4,20)、C(14,0),
∴设BC段一次函数函数关系式为y=kx+b,有
,
解得
,
∴当4<x≤14时,y=-2x+28,
∴y与x之间的函数关系式为:
y=
;
(2)当2<x≤4时,w=(x-2)y=(x-2)·
=80-
,
∵随着x的增大,∴-
增大,w=80-
也增大,
∴当x=4时,w取得最大值为40,
当4≤x≤14时,w=(x-2)y=(x-2)(-2x+28)=-2x2+32x-56,
∵w=-2x2+32x-56=-2(x-8)2+72,-2<0,4<8<14,
∴当x=8时,w取得最大值为72,
综上所述,每天利润的最大值为72元;
(3)由题意可知:
w=-2(x-8)2+72,
令w=54,即w=-2x2+32x-56=54,
解得x1=5,x2=11,
由函数表达式可知,要使w≥54,即5≤x≤11,
∴当5≤x≤11时,小米的销售利润不低于54元.
6.某经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理),当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:
月销售量与售价成一次函数关系,且满足下表所示的对应关系.
综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设当每吨售价为x元时,该经销店的月利润为y元.
售价(元)
250
240
月销售量(吨)
52.5
60
(1)当每吨售价是220元时,计算此时的月销售量;
(2)求出y与x之间的函数关系式;
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元,并说明理由;
(4)小李说:
“当月利润最大时,月销售额也最大”,你认为她的说法正确吗?
请说明理由.
解:
(1)因为月销售量与售价成一次函数关系,设约月销售量为p=kx+b,
代入(250,52.5),(240,60),
得
,
∴
,
∴p=-0.75x+240,
当x=220时,p=-0.75×220+240,
∴当每吨售价是220元时,月销售量是75吨;
(2)由题意:
y=(x-100)(-0.75x+240)=-
x2+315x-24000;
(3)由
(2)知,月利润y与售价x的函数关系为:
y=-
x2+315x-24000=-
(x-210)2+9075.
∵-
<0,
∴当x=210时,最大月利润y为9075元,
∴该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨210元;
(4)我认为,小李说的不对.
理由:
∵当月利润最大时,x为210元,
而对于月销售额W=xp=x×(-0.75x+240)=-
(x-160)2+19200来说,当x为160元时,月销售额W最大,
∴当x为210元时,月销售额W不是最大,
∴小李说的不对.
7.某广告公司承接一批宣传画板,形状均为矩形,长、宽之比为1:
0.6,且矩形长在10~30dm之间.每张画板的成本价u(单位:
元)与它的面积s(单位:
dm2)成正比例,每张画板的价格y(单位:
元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与画板的大小无关,是固定不变的.浮动价与画板的长(dm)成正比例.在销售过程中得到了表格中的数据.
画板的长x(dm)
10
20
价格y(元/张)
900
1000
(1)求一张画板的价格y与画板的长x之间满足的函数关系式;
(2)已知出售一张边长为30dm的画板,获得的利润为875元(利润=出售价-成本价),
①求一张画板的利润w与画板的长x之间满足的函数关系式;
②当矩形画板长为多少时,出售一张画板所获得的利润最大?
最大利润是多少?
解:
(1)设y=mx+a,
∵当x=10时,y=900,当x=20时,y=1000,
∴
,解得
,
∴y=10x+800;
(2)∵一张画板的成本价u(单位:
元)与它的面积s(单位:
dm2)成正比例,
∴设u=0.6kx2,
①由题意:
利润w=10x+800-0.6kx2,
当x=30时,w=875,代入求得k=
,
∴w=-
x2+10x+800,
∴画板的利润w与画板的长x之间满足的函数关系式为w=-
x2+10x+800;
②∵w=-
x2+10x+800=-
(x-20)2+900,
∴当x=20时,w最大=900,
∴当矩形画板长为20dm时,可获得最大利润,最大利润是900元.
8.为了创建全国卫生城,某社区要清理一个卫生死角内的垃圾,租用甲、乙两车运送,若两车合作,各运12趟才能完成,需支付运费共4800元;若甲、乙两车单独运完此堆垃圾,则乙车所运趟数是甲车的2倍,已知乙车每趟运费比甲车少200元.
(1)分别求出甲、乙两车每趟的运费;
(2)若单独租用甲车运完此堆垃圾,需运多少趟;
(3)若同时租用甲、乙两车,则甲车运x趟,乙车运y趟,才能运完此堆垃圾,其中为x,y均为正整数.
在(3)的条件下,设总运费为w(元).
①求y与x的函数关系式;
②求w与x的函数关系式,直接写出w的最小值;
③当x≥10且y≥10时,甲车每趟的运费打7折,乙车每趟的运费打9折,直接写出w的最小值.
解:
(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元,
由题意得
,
解得
.
答:
甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元;
(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾,需运a趟,由题意得
12(
+
)=1,
解得a=18,
经检验a=18是原方程的解.
答:
单独租用甲车运完此堆垃圾,需运18趟;
(3)①∵
+
=1,
∴y=36-2x;
②w=300x+100y=300x+100(36-2x),
=100x+3600,(0<x<18,且x为正整数),
∵100>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x=1时,w有最小值,最小值为3700元.
③w=300×0.7x+100×0.9y=300×0.7x+100×0.9(36-2x)=30x+3240,
∵x≥10且y≥10,
∴10≤x≤13,且x为正整数,
∴当x=10时,w有最小值,最小值为3540元.
9.某农户共摘收水蜜桃1920千克,为寻求合适的销售价格,进行了6天试销,试销情况如下:
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
售价x(元/千克)
20
18
15
12
10
9
销售量y(千克)
45
50
60
75
90
100
由表中数据可知,试销期间这批水蜜桃的每天销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间满足我们曾经学过的某种函数关系.若在这批水蜜桃的后续销售中,每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间都满足这一函数关系.
(1)你认为y与x之间满足什么函数关系?
并求y关于x的函数表达式;
(2)在试销6天后,该农户决定将这批水密桃的售价定为15元/千克.
①若每天都按15元/千克的售价销售,则余下的水蜜桃预计还要多少天可以全部售完?
②该农户按15元/千克的售价销售20天后,发现剩下的水蜜桃过于成熟,必须在不超过2天内全部售完,因此需要重新确定一个售价,使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完,则新的售价最高可以定为多少元/千克?
解:
(1)y与x之间满足反比例函数关系,y=
;
(2)①试销6天共销售水蜜桃45+50+60+75+90+100=420千克.
水蜜桃的销售价定为15元/千克时,每天的销售量为60千克,
由题意,
=25天,
所以余下的水蜜桃预计还要销售25天;
②农户按15元/千克的售价销售20天后,
还剩下水蜜桃1920-420-60×20=300千克,
∵必须在不超过2天内全部售完,
∴每天必须至少销售150千克,
把y=150代入y=
解得x=6,
∴新的售价最高定为6元/千克.
10.A、B两城相距900千米,一辆客车从A城开往B城,车速为每小时80千米,同时一辆出租车从B城开往A城,车速为每小时100千米,设客车出发时间为t(小时).
探究:
若客车、出租车距A城的距离分别为y1、y2,写出y1、y2关于t的函数关系式及自变量取值范围,并计算当y1=240千米时y2的值.
发现:
(1)设点C是A城与B城中间的点,AC=
AB,通过计算说明:
哪个车先到达C城?
该车到达C后再经过多少小时,另一个车会到达C?
(2)若两车相距100千米时,求时间t.
决策:
已知客车和出租车正好在A,B之间的服务站D处相遇,此时出租车乘客小王突然接到开会通知,需要立即返回,此时小王有两种选择返回B城的方案:
方案一:
继续乘坐出租车到C城,加油后立刻返回B城,出租车加油时间忽略不计;
方案二:
在D处换乘客车返回B城.
试通过计算,分析小王选择哪种方式能更快到达B城?
解:
探究:
由已知得,y1=80t(0≤t≤
),y2=900-100t(0≤t≤9),
当y1=240时,即80t=240,
∴t=3,
∴y2=900-100×3=600;
发现:
(1)∵AC=
AB=
×900=300km,
∴客车到达C点需要的时间:
80t=300,
解得t=3.75;
出租车到达C点需要的时间:
900-100t=300,
解得t=6>3.75,6-3.75=2.25,
∴客车先到达C,再过2.25小时出租车到达;
(2)两车相距100千米,分两种情况:
①y2-y1=100,即900-100t-80t=100,解得t=
;
②y1-y2=100,即80t-(900-100t)=100,解得t=
.
综上所述:
两车相距100千米时,时间t为
或
小时;
决策:
两车相遇,即80t+100t=900,解得t=5,
此时AD=80×5=400(千米),BD=900-400=500(千米).
方案一:
t1=(2CD+BD)÷100=7(小时);
方案二:
t2=BD÷80=500÷80=6.25(小时).
∵t1>t2,∴方案二更快.