24复习课学案设计.docx
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24复习课学案设计
第二十四章 圆
复习课
学习目标
通过复习,进一步掌握圆的概念和性质,以及有关的计算公式,并能运用所学的知识解决问题.
学习过程设计
一、整理本章知识结构
二、本章知识点概括及应用
（一）圆的有关概念
1.圆（两种定义）、圆心、半径;
2.圆的确定条件:
（1）圆心确定圆的 ,半径确定圆的 ;
（2）不在同一直线上的 个点确定一个圆.
3.弦、直径;
4.圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧;
5.等圆、等弧、同心圆;
6.圆心角、圆周角;
7.圆内接多边形、多边形的外接圆;
8.割线、切线、切点、切线长;
9.反证法:
假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立.
（二）圆的基本性质
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形,任何一条 所在的直线都是它的对称轴.
（2）圆是中心对称图形, 是对称中心.
2.圆的弦、弧、直径的关系
（1）垂径定理:
垂直于弦的直径 这条弦,并且平分弦所对的 .
（2）平分弦（不是直径）的直径 于弦,并且平分弦所对的 .
[引申]一条直线若具有:
①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧,这五个性质中的任何两条,必具有其余三条性质,即“知二推三”.（注意:
具有①和③时,应除去弦为直径的情况）
【例1】☉O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则AB,CD间的距离为 .
3.弧、弦、圆心角的关系
（1）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也 .
（2）在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弦 .
（3）在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角 ,所对的弧 .
归纳:
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量 .
【例2】（2011山东济宁）如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.
（1）求证:
BD=CD;
（2）请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?
并说明理由.
4.圆周角的性质
（1）定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 .
（2）在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧 .
（3）推论:
半圆（或直径）所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 .
判断:
（1）相等的圆心角所对的弧相等.
（2）相等的圆周角所对的弧相等.
（3）等弧所对的圆周角相等.
【例3】（2012广西南宁）如图,点B,A,C,D在☉O上,OA⊥BC,∠AOB=50°,则∠ADC= °.
（三）点与圆的位置关系
设☉O的半径为r,OP=d,则:
点P在圆内⇔d r;点P在圆上⇔d r;点P在圆外⇔d r.
【例4】有两个同心圆,半径分别为R和r,P是圆环内一点,则OP的取值范围是 .
（四）直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r,圆心O到l的距离为d,则:
直线l与☉O相交⇔d r⇔直线和圆有 公共点;
直线l与☉O相切⇔d r⇔直线和圆只有 公共点;
直线l与☉O相离⇔d r⇔直线和圆 公共点.
圆的切线
1.定义:
和圆只有 公共点的直线是圆的切线.
2.判定
（1） .
（2） .
（3） .
【例5】（2012江苏无锡）已知☉O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与☉O的位置关系是（ ）
A.相切B.相离
C.相离或相切D.相切或相交
3.性质
（1）圆的圆心到切线的距离等于 .
（2）定理:
圆的切线 于过切点的半径.
（3）切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角.
【例6】（2012广东湛江）如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上,以AE为直径的☉O与直角边BC相切于点D.
（1）求证:
AD平分∠BAC;
（2）若BE=2,BD=4,求☉O的半径.
4.圆与三角形
（1）三角形的外接圆
①定义:
经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆.
②三角形外心的性质:
a.是三角形三条边 的交点;b.到三角形 距离相等;c.外心的位置:
锐角三角形外心在三角形 ,直角三角形的外心恰好是 ,钝角三角形外心在 .
（2）三角形的内切圆
①定义:
与三角形 都相切的圆叫做三角形的内切圆.
②三角形内心的性质:
a.是三角形 的交点;b.到三角形 的距离相等;c.都在三角形 .
【例7】
（1）选择题:
下列命题正确的是（ ）
A.三角形外心到三边距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心、外心重合
D.三角形一定有一个外切圆
（2）一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆的半径为2cm,则这个三角形的面积为 .
（五）正多边形和圆
1.正多边形的定义
, 的多边形叫做正多边形,其 的圆心叫做这个正多边形的中心.
2.正多边形与圆的关系
把圆分成n（n≥3）等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形,这时圆叫做正n边形的外接圆.
3.正多边形的有关计算（11个量）
边数n,内角和,每个内角度数,外角和,每个外角度数,中心角αn,边长an,半径Rn,边心距rn,周长ln,面积Sn
.
4.正多边形的画法
画正多边形的步骤:
首先画出符合要求的 ;然后用量角器或用尺规 ;最后顺次连接各等分点.如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形.注意减少累积误差.
【例8】（2010山东省济南市）如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（ ）
A.2
cmB.
cm
C.
cmD.1cm
（六）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
弧长公式:
扇形面积公式:
圆锥的侧面积和全面积公式:
【例9】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2
若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为（ ）
A.4πB.4
π
C.8πD.8
π
（七）有关作图
怎样把一个破镜重圆?
【例10】如图,AB是☉O的任意一条弦,OC⊥AB,垂足为P,若CP=7cm,AB=28cm,你能帮老师求出这面镜子的半径吗?
参考答案
二、本章知识点概括及应用
（一）
2.
（1）位置 大小;
（2）三
（二）1.
（1）直径
（2）圆心
2.
（1）平分 两条弧
（2）垂直 两条弧
【例1】2cm或14cm
3.
（1）相等 相等
（2）相等 相等 （3）相等 相等 相等
【例2】
（1）证明:
∵AD为直径,AD⊥BC,
∴
=
.∴BD=CD.
（2）解:
B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
理由:
由
（1）知,∵BD=CD,∴∠BAD=∠CBD.
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,
∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.
又∵BD=CD,∴DB=DE=DC.
∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
4.
（1）相等 一半
（2）一定相等 （3）直角 直径
【例3】25
（三）< = >
【例4】r（四）< 2 = 1 > 没有
1.一个
2.
（1）定义法
（2）点线距离法 （3）切线的判定定理
【例5】D
3.
（1）半径
（2）垂直 （3）相等 平分
【例6】
（1）证明:
连接OD,
∵BC与☉O相切于点D,
∴OD⊥BC.
又∵∠C=90°,∴OD∥AC,
∴∠ODA=∠DAC.而OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,∴∠OAD=∠DAC,
即AD平分∠BAC.
（2）解:
设圆的半径为R,在Rt△BOD中,BO2=BD2+OD2,
∵BE=2,BD=4,∴（BE+OE）2=BD2+OD2,
即（2+R）2=42+R2,解得R=3,
故☉O的半径为3.
4.
（1）①三个顶点 ②a.垂直平分线 b.三边 c.内部 斜边的中点 外部
（2）①三边 ②a.三个内角平分线 b.三边 c.内部
【例7】
（1）C
（2）30cm2
（五）1.各边相等 各角相等 外接圆
4.圆 等分圆周
【例8】A
（六）l弧长=
S扇形=
=
lR S圆锥侧=πrl S圆锥全=πr（r+l）
【例9】D
（七）作任意两条弦的垂直平分线,交点即为圆心.确定好圆心后,就可使破镜重圆.
【例10】综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径.
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