形形色色的曲线37页.docx

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形形色色的曲线37页

形形色色的曲线

1.用折纸法画抛物线2

2.用折纸法画椭圆2

3.百发百中3

4.双曲线为摄影师帮忙4

5.杰尼西亚的耳朵5

6.用三角板画抛物线6

7.用三角板画椭圆6

8.垂足曲线和反垂足曲线7

9.摆线9

10.摆线滑梯9

11.最速降线10

12.滚珠荡秋千11

13.利用摆线板画摆线12

14.摆线时钟12

15.短幅摆线和长幅摆线14

16.直线运动和旋转运动的合成14

17.卡丹的转盘问题15

18.内摆线15

19.曲线之星16

20.外摆线17

21.曲线之心18

22.利用三角板画心脏线18

23.帕斯卡的蜗牛19

24.利用三角板画蜗线20

25.蜗线是外摆线21

26.变幅外摆线21

27.变幅内摆线28

28.套藤圈36

1.用折纸法画抛物线

抛物线是与一个定点F及一条定直线a的距离相等的点的轨迹，F叫做这条抛物线的焦点，a叫做它的准线．

抛物线用圆规和直尺是作不出来的，可是用一张矩形的纸却可以“折出”一段抛物线.有一张矩形纸片，设它的一条边为准线a，在纸片内部居中的地方取一个点F作为焦点，用笔在F的位置上做好记号，然后把纸片折一次，使得a边正好通过F,然后抹平纸片，得到一条折痕l（为了看得清楚，不妨用笔把直线l描出来）．继续这样折下去，得到若干条折痕，你会发现这些折痕“围出”一条抛物线的轮廓．只要画一条与这些折痕都相切的光滑曲线，就能得到所要画的抛物线了.这种方法很有趣,每条折痕都是这条抛物线的一条切线．若干条折痕包围住同一条抛物线，就把这条抛物线的轮廓清楚地显示出来了.

2.用折纸法画椭圆

椭圆是到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这两个定点叫做椭圆的焦点，椭圆能不能用折纸法作出呢?

也能．具体作法如下.先用圆规在纸上画一个圆，再沿圆剪下一张圆纸片来．设圆心是O，在圆内任取一点F（不能取O），用笔在F的位置做上记号．把圆纸片翻起一角，使圆周正好通过F,然后抹平纸片，得到一条折痕l（为了看得清楚，用笔把l描出来）．这样继续折下去，就得到若干条折痕，你会发现，这些折痕围出一个椭圆的轮廓．画一条与这些折痕都相切的光滑曲线，就得到所要画的椭圆了,而且F和O就是椭圆的焦点.

3.百发百中

用硬纸做一个椭圆形的盒子，并且在椭圆形盒底的一个焦点上放一粒钮扣，作为子弹，在另一个焦点处竖立一个钢笔套，作为靶子，你不需要瞄准，把钮扣子弹沿着盒底面内的任何方向弹射出去，经过盒壁反射后，都一定命中靶子，真是不折不扣的百发百中呢!

这个游戏的原理，在物理方面是利用了反射定律，在数学方面是利用了椭圆的切线和法线的性质，反射定律告诉我们，当一束光线被平面镜反射时，反射光线与镜面法线的夹角（反射角），总是等于入射光线与法线的夹角（入射角），当反射镜的表面形状是曲面时，可以把一小块曲面近似地当成一小块平面，因而“反射角等于入射角”这一定律仍然适用．现在我们的盒底是椭圆形的，而椭圆的法线有一个特殊的性质：

若P是椭圆上的任意点，F1和F2是两个焦点，则法线PN平分

．因此，如果有一束光线沿F2P方向射到椭圆上，经反射后一定沿PF1方向射出.因为P是椭圆上的任意点，所以从一个焦点F2沿任何方向射出的光线，经过椭圆反射后都通过另一个焦点F1，把射出光线换成射出钮扣，经过椭圆盒壁反射后，那当然总是会击中放在另一个焦点F2处的钢笔套!

4.双曲线为摄影师帮忙

双曲线是到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹，这两个定点叫做双曲线的焦点.把双曲线绕着两个焦点的连线在空间旋转一周，所得到的曲面叫做旋转双叶双曲面．有一种灯具的反射镜的表面就是做成这种曲面的形状．这种镜面有一个特点，把光源放在一个焦点上，那么它所发出的光线经过镜面反射以后，好像都是从另一个焦点发出来似的．

这样做出的灯具有什么好处呢?

原来在室内拍照片时，由于自然光线不足，常常需要借助闪光灯或其它照明灯具．为了把被摄对象照得更亮，摄影师总想把灯尽可能放近些．但自然光线接近于平行光线，因而均匀柔和;而灯光则是中心放射式的，灯放得越近，光线的放射性效应越明显．为了既获得足够的亮度，又使光线尽可能地均匀柔和，专门为摄影师设计的照明灯，就往往利用双曲线的光学性质，把反光镜的表面做成旋转双叶双曲面的形状，并让灯丝恰好位于焦点处．

5.杰尼西亚的耳朵

据传说，在意大利西西里岛上有一个山洞，很久以前，叙拉古的暴君杰尼西亚把他的一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但是每次的计划都会被杰尼西亚发现.起初，囚犯们怀疑自己的同伴中有内奸．他们彼此指责，互相猜疑，但始终没有发现任何一个囚犯告密．后来,渐渐觉察到,囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒的耳朵里去了．囚犯们诅咒这个山洞是“杰尼西亚的耳朵”．从上图可看出,山洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在一个焦点附近．狱卒在另一个焦点偷听，无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样会被狱卒听得清清楚楚!

这个传说表明，椭圆形的反射面不但能使从一个焦点发出的光线在另一个焦点会聚，而且能使从一个焦点发出的声音在另一个焦点会聚.人们曾经发现一个古希腊音乐厅的墙壁正是椭圆形的，乐池位于一个焦点附近，在这个音乐厅里，乐队演奏的声音会在另一个焦点重新会聚起来.美国有一个教堂也有类似的设计，这种设计的出发点不得而知.其实声音的聚焦并不是好事，因为在另一焦点附近的听众固然连演奏或演讲者的细声慢语都能听见；但是在室内的其它地方，音响效果却差得多，因而在现代,当设计音乐厅、影剧院、大会堂等大型建筑物时，建筑设计人员都很注意避免声音聚焦．

6.用三角板画抛物线

抛物线也可利用三角板来画，其方法既有趣，又实用．取一点F,并且作一条不通过F的直线a．让三角板的一条直角边LM通过定点F，直角顶点M放在直线a上的任一点处，然后沿另一条直角边MN画直线，就得到所要作的抛物线的一条切线．用同样方法再画出若干条直线，最后再画一条与这些直线都相切的光滑曲线，就得到了所要画的抛物线了．

7.用三角板画椭圆

画一个辅助圆，设圆心是O；在圆内另外再取一点F．让三角板的一条直角边通过F，直角顶点M落在辅助圆上的任意点处，然后沿着另一直角边MN画出一条直线．照这样画法画出若干条直线以后，再画一条与这些直线都相切的光滑曲线，就得到一个椭圆．

若图中的F点在圆外，那么用同样的作法得到的就是双曲线的一支.

8.垂足曲线和反垂足曲线

利用三角板画曲线的方法，不但可以用来画抛物线、椭圆和双曲线，而且可以用来画许多其它曲线。

这种画法是有垂足曲线和反垂足曲线作为背景的．

在图中有一条曲线c，设M是平面曲线c上的任意点，O是这平面内的一个定点．过M作曲线c的切线MT；再作OP

MT，垂足为P．当M沿曲线c移动时，垂足P也画出一条曲线s，s就叫做曲线c关于O点的垂足曲线，反过来，c叫做曲线s关于O点的反垂足曲线．

图中的

可以用三角板来实现，这就是三角板画法的本质.具体地说，让三角板的一条直角边通过O点，另一条直角边与曲线c相切，这时直角顶点P的位置就指出了c关于O点的垂足曲线s.

如果让三角板的一条直角边通过0点，直角顶点P在曲线s上移动，这时另一条直角边就给出了一族直线．与这些直线都相切的光滑曲线，就是s关于O点的反垂足曲线c．

根据前面几节的讨论，可以知道，抛物线关于焦点的垂足曲线是直线，椭圆和双曲线关于焦点的垂足曲线都是圆.反过来，直线关于线外一点的反垂足曲线是抛物线，圆关于圆内一点的反垂足曲线是椭圆，关于圆外一点的反垂足曲线是双曲线.正是利用这些性质，设计出了利用三角板画抛物线、椭圆和双曲线的方法.

9.摆线

当动圆C沿着定直线l滚动（没有滑动）时，动圆上一点M所画出的曲线叫做摆线，又叫旋轮线．摆线在它与定直线1的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱；摆线的最高点到定直线的距离2r（动圆的直径）叫做拱高．

我们骑自行车时，滚动车轮的边缘上的一点就在空中画出一条摆线．车轮每旋转一周，该点就画出摆线的一拱．

10.摆线滑梯

把半拱摆线OMA连同y轴一起翻转到x轴下方来，并且连结OA，就做成了两个滑梯：

一个是普通滑梯，它的滑道是斜线OA；另一个是摆线滑梯，它的滑道是摆线弧OMA．如果在O点有甲、乙两人，甲沿普通滑梯滑下，乙沿摆线滑梯滑下，两人同时开始滑动，问：

谁先滑到底?

你大概会回答是甲吧，错了!

你的回答一定是因为甲走过的路程较短．但是请你细想一下，现在的问题是谁花的时间最少，这就不但与路程长短有关，而且跟滑行的速度有关了．甲沿着斜线OA下滑，是做匀加速运动，速度从0开始，缓慢而均匀地增大;乙沿摆线下滑，速度也是从0开始，但是刚开始滑行就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，虽然比甲多走一点路，但究竟谁先到达终点，就很难说了!

如果乙的路线选择得非常巧妙，速度增大得又快，路程的长度增加得又少，为什么不可以先滑到底呢?

假定滑梯是绝对光滑的，两人从O点开始下滑时，初速度是0,并用g来表示重力加速度.可以算出,对于普通滑梯,甲滑完全程所需的时间是

对于摆线滑梯,乙滑完全程所需的时间是

.因为

所以普通滑梯上的人甲后到终点,而摆线滑梯上的人乙先到终点.

11.最速降线

欧洲的数学界在十七世纪时盛行一种挑战的风气：

一个人公开提出一个或一些数学难题，大家都来做，看谁做得快、做得对、做得好.1696年，瑞士数学家约翰·贝努利提出一个难题,向全欧洲的数学家挑战.题目的大意是：

设在竖直平面内有一条曲线，一个质点由于重力的作用，从这条曲线的较高的端点沿曲线下滑到较低的端点，问这条曲线是什么形状时，滑行所需的时间最短（摩擦和空气阻力都忽略）?

这就是著名的“最速降线”问题．

设两个端点在竖直平面内的直角坐标是（0，0）和（a,b），曲线方程是y=f（x），曲线要通过这两点,所以f（0）=0,f（a）=b.经计算,质点沿曲线y=f（x）滑行所需的时间是

.问题归结为求函数y=f（x），满足条件f（0）=0,f（a）=b，并且使上述定积分取最小值．

这个问题看上去好象是个很普通的极值问题，但只要仔细一分析，就知道它非同寻常．人们熟知的极值问题，是函数已经确定，再求函数的极大值或极小值．而现在是不知道函数的表达式，要求出一个函数，使得整个式子达到极小．很显然，这是一种崭新的问题，因而用当时所知道的各种数学工具，包括微分法在内，都难以对付这种陌生而复杂的极值问题.

经过一番努力，这个问题还是有几个人解出来了.解答者除去挑战人约翰·贝努利自己之外，还有牛顿、莱布尼兹和约翰的哥哥雅各·贝努利等，答案就是倒放的摆线弧，沿摆线弧滑下，比任何曲线都快.这个问题带来了意外的收获，那就是在这个解法的基础上，后来发展成为一门非常有用的数学新分支——变分法．在变分法教材里可以找到最速降线是摆线的证明，不过我们通过前面对摆线滑梯的计算，也可对摆线在最速降线问题中的优越地位略知一二了．

12.滚珠荡秋千

有一块钢板，钢板上方有一条光滑的摆线槽，取一粒适当大小的滚珠，放在这摆线槽中的任意位置，例如图中的M点处．当捏着滚珠的手指松开以后，滚珠就会像荡秋千一样，沿着摆线槽来回摆动．试选择不同的M点放开滚珠，并注意观察滚珠连续两次通过摆线槽最低点K的间隔时间，你就会发现一个奇怪的现象：

尽管M点的高低不同，但是滚珠来回摆动一次所花的时间竟没有变!

这个性质叫做摆线的等时性，是十七世纪荷兰物理学家惠更斯发现的.经计算可知，滚珠沿摆线槽来回摆动一次所用的时间是

其中r是产生摆线的轮子的半径,而g是重力加速度。

因此,上述时间值是与M点的位置无关的常数．

13.利用摆线板画摆线