中考数学冲刺专题 压轴训练之辅助线作图专题.docx

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中考数学冲刺专题压轴训练之辅助线作图专题

2020中考数学冲刺专题压轴训练之辅助线作图专题（含答案）

1.已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．

（1）在图①中，以AB为边，作等边三角形；

（2）在图②中，作一个含30°角的直角三角形．

第1题图

解：

（1）作图如解图①，△AOB即为所求；

（2）作图如解图②，△FCD即为所求（答案不唯一）．

第4题解图

2.已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．

（1）在图①中，作出BC的垂直平分线；

（2）在图②中，作出一个顶角为36°的等腰三角形．

第2题图

解：

（1）作图如解图①，EF即为所求；

（2）作图如解图②，△EBC即为所求（答案不唯一）．

第5题解图

3.等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD.（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图①，∠A<90°；

（2）如图②，∠A>90°.

第3题图

解：

作图如解图所示．

第3题解图

【作法提示】

（1）如解图①，连接AD，由于AB为直径，则∠ADB＝90°，由于AB＝AC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠EAD，于是得到BD＝DE；

（2）如解图②，延长CA交⊙O于点E，连接BE，DE，与

（1）一样得到∠BAD＝∠DAC，而∠DAC＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BAD＝∠BED，∴DE＝BD.

4.如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图．

（1）如图①，已知△ABC，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，请作出∠ABC的平分线BP；

（2）如图②，已知△ACD中，AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过A，C，D三点，请作出∠ABC的平分线BQ.（不写作法，保留作图痕迹）

第4题图

解：

（1）如解图①，BP即为所求；

（2）如解图②，BQ即为所求．

第4题解图

5.如图，线段AB是⊙O的直径，BC⊥CD于点C，AD⊥CD于点D，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

（1）在图①中，当线段CD与⊙O相切时，请在CD上确定一点E，连接BE，使BE平分∠ABC；

（2）在图②中，当线段CD与⊙O相离时，请过点O作OF⊥CD，垂足为F.

第5题图

解：

（1）作图如解图①所示；

（2）作图如解图②所示．

第5题解图

【作法提示】

（1）如解图①，E为圆的切点，连接AH，OE，BE，由圆的基本性质和垂径定理得到

＝

，再由弧长和圆周角关系确定BE平分∠ABC，BE即为所求；

（2）如解图②，连接AC，DH相交于点G，连接OG并延长交CD于点F，连接AH，由圆的基本性质得四边形ADCH为矩形，再结合矩形性质得到OG∥AD∥BC，再由已知得到OF⊥DC，OF即为所求．

类型三　以特殊四边形为辅助画图

6.请仅用无刻度的直尺在下列图①和图②中按要求画菱形．

（1）图①是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；

（2）图②是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE>DE），以AE为边画一个菱形．

第6题图

解：

作图如解图所示．

第6题解图

【作法提示】

（1）如解图①，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长交CD于点G，再连接FO并延长交BC于点H，连接EH，HG，GF，由矩形性质及中位线性质，得到四边形EFGH为平行四边形，并且EG⊥FH，∴四边形EFGH即为所求作的菱形．

（2）如解图②，连接AC与BD相交于点O，延长AE交CD于点G，连接GO并延长交AB于点H，连接CH交BD于点F，连接AF，CE，易证△AED≌△CED，则AE＝CE，同理可证△ABF≌△CBF，则AF＝CF，由图可知AC为等腰△AEC和等腰△AFC的公共底边，则△AEC≌△AFC，则AE＝CE＝AF＝CF，∴四边形AECF为所求作的菱形．

7.

（1）如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点Q，使AP＝CQ;

（2）如图②，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ.

第7题图

解：

作图如解图所示．

第7题解图

【作法提示】

（1）如解图①，连接AC与BD相交于点O，然后连接PO并延长与CD交于点Q，由平行四边形的性质可知，此点即为所求所作点Q；

（2）如解图②，连接AP，并延长交BC于点E，连接AC交BD于点O，延长EO交AD于点F，连接FC交BD于点Q，由平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质可证点Q为所求．

8.请你按照下列要求用无刻度直尺作图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图①，请你作一条直线（但不过A、B、C、D四点）将平行四边形的面积平分；

（2）如图②，在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．

第8题图

解：

作图如解图所示．

第8题解图

【作法提示】

（1）如解图①，连接AC，BD相交于点O，过点O作任意一条直线l都平分平行四边形ABCD的面积，直线l即为所求；

（2）如解图②，连接AC、BD相交于点N，同

（1）中的作法，作所挖矩形的对角线交于点M，连接MN，线段MN所在的直线即为所求作的直线．

9.已知正方形ABCD如图所示，M，N在直线BC上，MB＝NC，试分别在图①、图②中仅用无刻度的直尺画出一个不同的等腰三角形OMN.

第9题图

解：

作图如解图所示．

第9题解图

【作法提示】

（1）如解图①，连接AC，BD交于点O，由正方形的性质知，OB＝OC，再由∠OBM＝∠OCN，MB＝NC得到△OBM与△OCN全等，从而OM＝ON，△OMN即为所求的等腰三角形；

（2）如解图②，容易得到△ABM与△DCN全等，∴AM＝DN，∠M＝∠N，再由AD∥MN得到∠OAD＝∠M，∠ODA＝∠N，∴∠OAD＝∠ODA，∴OA＝OD，∴OM＝ON，△OMN即为所求的等腰三角形．

10.如图是以两个大小不同的正方形为基本图案镶嵌而成的图形，请仅用无刻度的直尺按不同的方法分别在图①、图②中画一个正方形，使它的面积等于这两个大小不同的正方形的面积之和．

要求：

（1）用虚线连线；

（2）要标注你所画正方形的顶点字母．

第10题图

解：

作图如解图所示．

第10题解图

【作法提示】

（1）如解图①，顺次连接A、B、C、D四点，正方形ABCD即为所求作的正方形；

（2）如解图②，连接四个大正方形的对角线，交点分别为A、B、C、D，连接AB、BC、CD、DA，正方形ABCD即为所求作的正方形．

类型四　以三角形为辅助画图

11.如图，已知C为AB的中点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边△ACE与等边△BCD，连接BE.（保留作图痕迹，不写作法）

（1）请你用无刻度的直尺在图①中，作出AE的中点P；

（2）请你用无刻度的直尺在图②中，过点C作CD的垂线l.

第11题图

解：

作图如解图所示．

第11题解图

【作法提示】由等边三角形的性质可得点M是CD的中点．

（1）如解图①，连接AD与CE相交于点N，可知点N为CE的中点，可作射线MN与AE相交于点P，点P即为AE的中点；

（2）如解图②，在

（1）的基础上，连接CP，根据等边三角形性质，即可知CP所在的直线l为CD的垂线．

12.如图，请用无刻度的直尺按下列要求画图；

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的两点，且BM＝CN，请画出线段BC的垂直平分线；

（2）如图②，等边△ABC和等边△ACD，点E是AB边的中点，请画出线段BC的垂直平分线．

第12题图

解：

（1）如解图①，AD即为所求；

（2）如解图②，AF即为所求．

第12题解图

【作法提示】

（1）连接CM和BN相交于点O，利用三角形全等可证明OB＝OC，而AB＝AC，则直线AO垂直平分BC如解图①；

（2）连接BD交AC于点O，连接CE交BO于点P，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质，可判断CE和BO为等边△ABC的高、中线，所以直线AP垂直平分BC如解图②.

类型五　以网格为辅助画图

13.在8×6的正方形网格中，正方形网格的边长为单位1.已知△ABC顶点均在格点上，请用无刻度的直尺画图．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在图①中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形，顶点在格点上；

（2）在图②中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为其中一个顶点的正方形，顶点也在格点上．

第13题图

解：

作图如解图所示．

第13题解图

【作法提示】由题意可知，△ABC的面积为10.

（1）如解图①，作出BC边上高为2的平行四边形即可，平行四边形BCHG与BCNM均为所求；

（2）如解图②，作出以C为顶点的边长为

的正方形即可，正方形CDEF与CPQR均为所求．

14.图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．

（1）在图①中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；

（2）在图②中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD的面积等于

（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（画出一种即可）．

第14题图

解：

作图如解图所示．

第14题解图

【作法提示】

（1）如解图①，过点O向线段OM作垂线，此直线与第一个格点的交点为N，连接MN，△MON即为所求作的等腰直角三角形；

（2）如解图②、③，根据勾股定理画出图形即可．

15.在图①，②中，⊙O经过了正方形网格中的小正方形顶点A，B，C，D，现请你仅用无刻度的直尺分别在图①，②中画出一个满足下列条件的∠P：

（1）∠P是圆周角，顶点P不能与点A，B，C，D重合；

（2）∠P在图①，②中的正切值分别为1，0.5.（保留作图痕迹，不写作法）

第15题图

解：

作图如解图所示．

第15题解图

【作法提示】连接正方形的对角线交⊙O于点E，F，P，G，连接EF交BD于点H，连接FP.

（1）如解图①，连接PE，由正方形和圆的对称性易知EF＝PF，∠EPF即为所求；

（2）如解图②，连接HP，在

（1）的基础上，由垂径定理得到FP＝2FH，延长PH交⊙O于点M，∠FPM即为所求．