全国中考数学压轴题60例学生版.docx

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全国中考数学压轴题60例学生版

1．（2014•重庆）已知：

如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=

，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？

若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

2．（2014•重庆）如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4

，AD=7，AH=

．现有两个动点E，F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求线段AC的长；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N两点．试问：

是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？

若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．

3．（2014•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

4．（2014•达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．

（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．

（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．

（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

5．（2014•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．

（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；

（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为

，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？

若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．

6．（2014•十堰）已知抛物线C1：

y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）．

（1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：

S△OAD的值；

（3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在

（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：

是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？

若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

7．（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣

）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣

）在y轴上，过点（0，

）作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．

（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；

（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

8．（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．

（1）填空：

△AOB≌△　_________　≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：

A（0，　_________　）；

（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；

（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣

，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．

9．（2014•盐城）【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：

PD+PE=CF．

小军的证明思路是：

如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：

PD+PE=CF．

小俊的证明思路是：

如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：

PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：

PD﹣PE=CF；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

【结论运用】如图4，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值；

【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，且AD•CE=DE•BC，AB=2

dm，AD=3dm，BD=

dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．

10．（2014•仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（

，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当BQ=

AP时，求t的值；

（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？

若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2014•河南）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣

x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PE=5EF，求m的值；

（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？

若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2014•成都）如图，已知抛物线y=

（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣

x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

13．（2014•徐州）如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？

若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长．

14．（2014•泸州）如图，已知一次函数y1=

x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣

，0）．

（1）求二次函数的最大值；

（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程

=0的根，求a的值；

（3）若点F、G在图象C′上，长度为

的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．

15．（2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：

M为AN的中点；

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：

△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，

（2）中的结论是否仍成立？

若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

16．（2014•山西）综合与探究：

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．

（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；

（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：

当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2014•咸宁）如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）∠PBD的度数为　_________　，点D的坐标为　_________　（用t表示）；

（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？

若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

18．（2014•莆田）如图，抛物线C1：

y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．

（1）如图1，若m=

．

①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；

②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

（2）如图2，当OB=2

﹣m（0＜m＜

）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．

19．（2014•南宁）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在

（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？

若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

20．（2014•天水）如图

（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4

，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图

（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

21．（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．

①如图

（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？

说明理由．

②如图

（2），直线y=

x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为

：

2？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=

x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

23．（2014•荆州）如图①，已知：

在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=

，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求证：

四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？

若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

24．（2014•苏州）如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4

cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为　_________　°；

（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；

（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

25．（2014•深圳）如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，

①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；

②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？

若有请直接写出F点的坐标．

26．（2014•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．

（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．

（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：

PC的值．

（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：

PC的值．

27．（2014•义乌市）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．

①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；

②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（2014•陕西）问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？

若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

29．（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．

（1）求该反比例函数的关系式；

（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；

①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；

②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=

．

30．（2014•临沂）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

31．（2014•攀枝花）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2

，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；

（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？

若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

32．（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？

如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

33．（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：

方案一：

直接锯一个半径最大的圆；

方案二：

圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；

方案三：

沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；

方案四：

锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．

（1）写出方案一中圆的半径；

（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？

（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．

①求y关于x的函数解析式；

②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？

并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．

34．（2014•南充）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；

（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

35．