（1）rear=mid-1
（2）head=mid+1（3）head>rear
38．
（1）p!
=null
（2）pf=p（3）p!
=*t（4）*t=null
四．应用题
1．概念是基本知识的主要部分，要牢固掌握。
这里只列出一部分，目的是引起重视，解答略。
2．
（1）散列表存储的基本思想是用关键字的值决定数据元素的存储地址
（2）散列表存储中解决碰撞的基本方法：
①开放定址法形成地址序列的公式是：
Hi=（H（key）+di）%m，其中m是表长，di是增量。
根据di取法不同，又分为三种：
a．di=1，2，…，m-1称为线性探测再散列，其特点是逐个探测表空间，只要散列表中有空闲空间，就可解决碰撞，缺点是容易造成“聚集”，即不是同义词的关键字争夺同一散列地址。
b．di=12，-12，22，-22，…，±k2（k≤m/2）称为二次探测再散列，它减少了聚集，但不容易探测到全部表空间，只有当表长为形如4j+3（j为整数）的素数时才有可能。
c．di=伪随机数序列，称为随机探测再散列。
②再散列法Hi=RHi（key）i=1，2，…，k，是不同的散列函数，即在同义词产生碰撞时，用另一散列函数计算散列地址，直到解决碰撞。
该方法不易产生“聚集”，但增加了计算时间。
③链地址法将关键字为同义词的记录存储在同一链表中，散列表地址区间用H[0..m-1]表示，分量初始值为空指针。
凡散列地址为i（0≤i≤m-1）的记录均插在以H[i]为头指针的链表中。
这种解决方法中数据元素个数不受表长限制，插入和删除操作方便，但增加了指针的空间开销。
这种散列表常称为开散列表，而①中的散列表称闭散列表，含义是元素个数受表长限制。
④建立公共溢出区设H[0..m-1]为基本表，凡关键字为同义词的记录，都填入溢出区
O[0..m-1]。
（3）用分离的同义词表和结合的同义词表解决碰撞均属于链地址法。
链地址向量空间中的每个元素不是简单的地址，而是关键字和指针两个域，散列地址为i（0≤i≤m-1）的第一个关键字存储在地址空间向量第i个分量的“关键字”域。
前者的指针域是动态指针，指向同义词的链表，具有上面③的优缺点；后者实际是静态链表，同义词存在同一地址向量空间（从最后向前找空闲单元），以指针相连。
节省了空间，但易产生“堆积”，查找效率低。
（4）要在被删除结点的散列地址处作标记，不能物理的删除。
否则，中断了查找通路。
（5）记录负载因子
3．评价哈希函数优劣的因素有：
能否将关键字均匀影射到哈希空间上，有无好的解决冲突的方法，计算哈希函数是否简单高效。
由于哈希函数是压缩映像，冲突难以避免。
解决冲突的方法见上面2题。
4．哈希方法的平均查找路长主要取决于负载因子（表中实有元素数与表长之比），它反映了哈希表的装满程度，该值一般取0.65~0.9。
解决冲突方法见上面2题。
5．不一定相邻。
哈希地址为i（0≤i≤m-1）的关键字，和为解决冲突形成的探测序列i的同义词，都争夺哈希地址i。
6．
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
14
01
9
23
84
27
55
20
比较次数
1
1
1
2
3
4
1
2
平均查找长度：
ASLsucc=（1+1+1+2+3+4+1+2）/8=15/8
以关键字27为例：
H（27）=27%7=6（冲突）H1=（6+1）%10=7（冲突）
H2=（6+22）%10=0（冲突）H3=（6+33）%10=5所以比较了4次。
7．由于装填因子为0.8，关键字有8个，所以表长为8/0.8=10。
（1）用除留余数法，哈希函数为H（key）=key%7
（2）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
21
15
30
36
25
40
26
37
比较次数
1
1
1
3
1
1
2
6
（3）计算查找失败时的平均查找长度，必须计算不在表中的关键字，当其哈希地址为i（0≤i≤m-1）时的查找次数。
本例中m=10。
故查找失败时的平均查找长度为：
ASLunsucc=（9+8+7+6+5+4+3+2+1+1）/10=4.6ASLsucc=16/8=2
（4）intDelete（inth[n]，intk）
//从哈希表h[n]中删除元素k，若删除成功返回1，否则返回0
{i=k%7；//哈希函数用上面
（1），即H（key）=key%7
if（h[i]==maxint）//maxint解释成空地址
printf（“无关键字%d\n”，k）；return（0）；}
if（h[i]==k）{h[i]=-maxint；return
（1）；}//被删元素换成最大机器数的负数
else//采用线性探测再散列解决冲突
{j=i;
for（d=1；d≤n-1；d++）
{i=（j+d）%n；//n为表长，此处为10
if（h[i]==maxint）return（0）;//maxint解释成空地址
if（h[i]==k）{h[i]=-maxint；return
（1）；}
}//for
}
printf（“无关键字%d\n”，k）；return（0）
}
8．
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
15
24
10
19
17
38
18
40
比较次数
1
1
2
1
4
5
5
5
哈希表a:
ASLsucc=24/8=3；
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
15
17
24
10
19
40
38
18
比较次数
1
3
1
2
1
2
4
4
哈希表b:
ASLsucc=18/8
9．
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
关键字
13
22
53
1
41
67
46
51
30
比较次数
1
1
1
2
1
2
1
1
1
（2）装填因子=9/13=0.7（3）ASLsucc=11/9（4）ASLunsucc=29/13
10．11．ASLsucc=19/12
12．常用构造哈希函数的方法有：
（1）数字分析法该法事先需知道关键字集合，且关键字位数比散列表地址位数多，应选数字分布均匀的位。
（2）平方取中法将关键字值的平方取中间几位作哈希地址。
（3）除留余数法H（key）=key%p，通常p取小于等于表长的最大素数。
（4）折叠法将关键字分成长度相等（最后一段可不等）的几部分，进行移位叠加或间界叠加，其值作哈希地址。
（5）基数转换法两基数要互素，且后一基数要大于前一基数。
在哈希表中删除一个记录，在拉链法情况下可以物理地删除。
在开放定址法下，不能物理地删除，只能作删除标记。
该地址可能是该记录的同义词查找路径上的地址，物理的删除就中断了查找路径。
因为查找时碰到空地址就认为是查找失败。
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
关键字
14
01
68
27
55
19
20
84
79
23
11
10
比较次数
1
2
1
4
3
1
1
3
9
1
1
3
13．
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
关键字
4
12
49
38
13
24
32
21
比较次数
1
1
1
2
1
2
1
2
ASLsucc=（1+1+1+2+1+2+1+2）/8=11/8
ASLunsucc=（1+2+1+8+7+6+5+4+3+2+1）/11=40/11
（2）
13题图ASLsucc=11/8ASLunsucc=19/1114题
（2）ASLsucc=13/8ASLunsucc=19/11
值得指出，对用拉链法求查找失败时的平均查找长度有两种观点。
其一，认为比较到空指针算失败。
以本题为例，哈希地址0、2、5、7、9和10均为比较1次失败，而哈希地址1和3比较2次失败，其余哈希地址均为比较3次失败，因此，查找失败时的平均查找长度为19/11，我们持这种观点。
还有另一种理解，他们认为只有和关键字比较才计算比较次数，而和空指针比较不计算。
照这种观点，本题的ASLunsucc=（1+1+2+2+2）/11=8/11
14．由hashf（x）=xmod11可知，散列地址空间是0到10，由于有8个数据，装载因子取0.7。
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
关键字
33
1
13
12
34
38
27
22
比较次数
1
1
1
3
4
1
2
8
ASLsucc=21/8ASLunsucc=47/11
15．
（1）ASL=42/12
（2）a：
ASLsucc=31/12
（2）b：
ASLsucc=18/12（注：
本题[x]取小于等于x的最大整数）
16．
17．查找时，对关键字49,22,38,32,13各比较一次，对21,18各比较两次
18．ASLsucc=15/10
19．ASLsuss=16/11
20．
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
关键字
231
89
79
25
47
16
38
82
51
39
151
比较次数
1
1
1
1
2
1
2
3
2
4
3
ASLsucc=21/11
21．
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
关键字
22
33
46
13
01
67
41
53
30
比较次数
1
2
1
2
4
5
1
1
3
22．
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
关键字
32
17
63
49
24
40
10
30
31
46
47
比较次数
1
1
6
3
1
2
1
1
1
3
3
（2）查找关键字63，H（k）=63MOD16=15，依次与31，46，47，32，17，63比较。
（3）查找关键字60，H（k）=60MOD16=12，散列地址12内为空，查找失败。
（4）ASLsucc=23/11
23．设用线性探测再散列解决冲突，根据公式Snl≈（1+1/（1-α））/2。
可求出负载因子为α=0.67。
再根据数据个数和装载因子，可求出表长m=15/0.67，取m=23。
设哈希函数H（key）=（关键字首尾字母在字母表中序号之和）MOD23。
从上表求出查找成功时的平均查找长度为ASLsucc=19/15<2.0，满足要求。
24．
（1）哈希函数H（key）=（关键字各字符编码之和）MOD7
（2）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
be
cd
aa
ab
ac
ad
bd
bc
ae
ce
比较次数
1
2
1
1
1
1
1
3
3
9
25．α=0.7，所以表长取m=7/0.7=10
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
关键字
SAT
WED
SUN
MON
TUE
THU
FRI
比较次数
6
1
1
1
2
3
4
ASLsucc=18/7ASLunsucc=32/10
26．
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
关键字
27
53
2
31
19
20
8
18
比较次数
3
1
1
1
1
1
1
2
（2）ASLsuss=11/8
27．
（1）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
关键字
0
3
29
200
32
45
58
100
10
126
400
比较次数
1
1
2
1
1
2
3
1
1
3
3
关键字29和45各发生一次碰撞，关键字58,126和400各发生两次碰撞，其余关键字无碰撞。
（2）
散列地址
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
关键字
58
10
100
3
200
32
400
0
45
126
29
比较次数
1
1
2
1
3
1
3
8
1
2
1
发生碰撞次数：
100，126一次；200，400两次；0七次。
其余关键字无碰撞。
28．由α=0.75，得表长m=11/0.75=15
（1）散列函数H（k）=kMOD13（p取小于等于表长的最大素数）
（2）因为p=13，散列地址取0到12，用链地址法解决冲突，实际长就取13。
（2）ASLsucc=18/11（3）ASLunsucc=24/13
29．在B-树中查找关键字从根结点开始，从根往下查找结点，然后在结点内查找关键字，得出查找成功与否的结论。
B+树的非终端结点是索引部分，其查找从根开始，从根往下查到关键字后，要继续查到最下层结点，得到查找成功与否的结论。
另外，B+树还可以在最下层从最小关键字开始，从左往右进行顺序查找，B-树则不能作顺序查找。
30．m阶的B+树和B-树主要区别有三：
（1）有n棵子树的结点中含有n（B-树中n-1）个关键字；
（2）B+树叶子结点包含了全部关键字信息，及指向含关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字大小自小到大顺序链接；（3）B+树的非终端结点可以看成是索引部分，结点中只含其子树（根结点）中最大（或最小）关键字。
B+树的查找既可以顺序查找，也可以随机查找，B-只能顺序查找。
31．本题等价于“含有n个关键字的m阶B-树的最大高度是多少”？
一次检索中最多走一条从根到叶子的路径，由于根结点至少有两棵子树，其余每个（除叶子）结点至少有ém/2ù棵子树，则第三层至少有ém/2ù*2个结点，第l+1层至少有2*ém/2ùl-1个结点。
设B-树深度为l+1，即第l+1层是叶子结点，叶子结点数是n+1（下面推导），故有n+1≥2*ém/2ùl-1，即l≤logém/2ù（
）+1。
附：
推导B-树中叶子结点数s与关键字数n的关系式：
s=n+1
设B-树某结点的子树数为Ci，则该结点的关键字数Ni=Ci-1。
对于有k个结点的B-树，有
∑Ni=∑（Ci-1）=∑Ci-k（1≤i≤k）……
（1）
因为B树上的关键字数，即∑Ni=n（1≤i≤k）……
（2）
而B-树上的子树数可这样计算：
每个结点（除根结点）都是一棵子树，设叶子（子树）数为s；则
∑Ci=（k-1）+s（1≤i≤k）……（3）
综合
（1）
（2）（3）式，有s=n+1。
证毕。
32．表长m=12/0.6=20
（1）H（key）=keyMOD19
（2）两次碰撞。
开地址线性探测法解决冲突，即是用拉链法解决冲突。
见本章四第2题
（2）③
第32题用拉链法解决冲突
33．由于地址空间为10，且从100开始，故散列函数选为H（key）=key%7+100。
散列地址
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
关键字
98
63
79
17
53
19
61
75
46
49
比较次数
1
2
1
1
1
1
2
3
5
10
用线性探测再散列解决冲突，ASLsucc=27/10
34．
35．
36．第一层有1个结点，第二层至少有2个结点，第三层有2*ém/2ù个结点，第四层有2*ém/2ù2个结点，……，第h层至少有2*ém/2ùh-2个结点（h≥2）。
结点总数是
1+2+2*ém/2ù+2*ém/2ù2+…+2*ém/2ùh-2=2*ém/2ùh-1-1
37．
38
.
39．
40．（该题答案不唯一。
如删P时，亦可将双亲结点中M下来与N一起并入左兄弟成为（KLMN）
41．满二叉检索树可以看作是三阶B-树（2—3树）。
B-树的插入和删除算法不适合满二叉检索树。
满二叉检索树插入和删除结点后均破坏了“多路平衡查找树”“叶子在同一层上”（查找失败结点）的定义。
42．
43．B+树的查找可从根结点开始随机查找，也可以从最小关键字起顺序查找。
44．含9个叶子结点的3阶B-树至少有4个非叶子结点，当每个非叶子结点均含3棵子树，第三层是叶子结点时就是这种情况。
当4层3阶B-树有10个叶子结点时，非叶子结点达到最大值8个，其中第一层一个，第二层两个，第三层五个非叶子结点。
45．在二叉排序树上查找关键字K，走了一条从根结点至多到叶子的路径，时间复杂度是O（logn），而在中序遍历输出的序列中查找关键字K，时间复杂度是O（n）。
按序输入建立的二叉排序树，蜕变为单枝树，其平均查找长度是（n+1）/2，时间复杂度也是O（n）。
46．按中序遍历序列将值1~9依次标上。
47．
ASLsucc=（1*1+2*2+4*3+4*4）/11=33/11
48.
ASLsucc=32/10
49.
（2）10,12,1
升级会员 