普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一.docx

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普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷一

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学模拟卷

（一）

本试卷共9页，满分150分。

考生注意：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上

粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

共12题每题5分共60分

1．

已知集合P={x|1

x≤2},

P（R

≤x≤3},Q={x|2

那么

∪?

Q）=

A.（1,3）

B.[1,3]

C.[1,+

∞）

D.?

2．已知

=b+i（a,b∈R）,则a+b=

A.-1

B.1

C.-2

D.2

3．甲校有3600

名学生,乙校有5400

名学生,丙校有1800

名学生,为统计三校学生的情况

计划

采用分层抽样法

抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分别抽取学生（）人.

A.30,30,30

B.30,45,15

C.20,30,10

D.30,50,10

4．在平面直角坐标系

xOy中,已知椭圆C:

=1（a>b>0）,点A是椭圆C的右顶点,点B为

椭圆C的上顶点,点F（-c,0）是椭圆C的左焦点,椭圆的长轴长为

4,且BF⊥AB,则c=

A.-1

B.

C.2

-2

D.

+1

5．设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6．函数f（x）=Asin（

ωx+φ）（A>0,

ω>0,|）的部φ分|<图象如图所示

则

1

A.f（x）=sin（2x-）B.f（x）=sin（x-）

C.f（x）=sin（2x+）D.f（x）=sin（x+）

7．正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16,则的最小值等于

A.1B.C.D.

8．如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SA⊥平面ABCD,SA=,BC=1,M为线段SB的中点,动点P,Q分别在线段SC,CD上,则2MP+PQ的最小值是

A.1

B.

C.

D.2

9．已知函数f（x）=

若f（2-a2

）>f（|a|）,则实数a的取值范围是

A.（-1,1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.（-2,2）

|x-1|

2

的大致图象为

10．函数f（x）=e-e（x-1）

A.B.

C.D.

11．在锐角三角形

ABC中,内角A,B,C的对边分别为

2

2

a,b,c,bcosAcosC=accosB,则角B的取

值范围为

A.（,）

B.[,）

C.[,）

D.（,]

12．已知过原点O的直线交双曲线

-=1（a>0,b>0）的左、右两支分别于

A,B两点,F为双曲

线的左焦点,若4|AF|·|BF|=|AB|2

+2b

2

则此双曲线的离心率为

A.

B.

C.2

D.

2

二、填空题：

共

4题每题5分共20分

13．已知函数f（x）=x2f'

（2）+3x,则f'

（2）=

.

14．已知在等差数列{an}中,{an}的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若

=6,则正整数k=

.

15．已知函数f（x）=x（ex-e-x）-cosx的定义域为[-3,3],则不等式f（x2+1）>f（-2）的解集为

.

16．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为

a,b,c,且

点M在边AC上,

且cos∠AMB=-

ABM

的面积等于

.

BM=则△

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明/证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答

（一）必考题（60分）

17

．已知公比不为

n

n

6

243成等差数列.

1的等比数列{a

}的前n项和为S,满足S=

且a,a,a

（1）求等比数列{an}的通项公式;

（2）若数列{bn}满足bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.

18．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,AB⊥BC,B1C⊥BC,B1A⊥AB,B1C=2.

（1）求证:

BB1⊥AC;

（2）求直线AB1和平面ABC所成角的大小.

19．2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:

年龄段

人数（单位:

18018016080

人）

约定:

此单位45岁59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.

（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?

（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷

关心民生大事.完成下列2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?

热衷关心民生大不热衷关心民生总计

事大事

青年12

3

中年5

总计30

（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器）中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任的2人能胜任才艺表演的概率是多少?

附参考数据与参考公式:

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

.

20．设椭圆

的右焦点为

过的直线与交于

两点,点

的坐标为.

（1）当与轴垂直时,求直线

的方程;

（2）设为坐标原点,求的值.

21．已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）当a<0时,证明f（x）-≤-2.

（二）选考题（10分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（θ为参数）,直线l的参数方程为

（t为参数）.

（1）若a=-1,求C与l的交点坐标;

（2）

若C上的点到l距离的最大值为

求a.

23．已知f（x）=|x+1|+|2x-1|.

（1）

画出f（x）的图像并解不等式f（x）

≥3;

（2）若不等式f（x）≥-a||x恒成立,求a的取值范围.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

4

文科数学模拟卷

（一）参考答案

1.C

【解析】本题主要考查集合的并、补运算,指数函数的性质,考查的数学核心素养是数学运算.

先根据指数函数的单调性求出集合Q,再利用集合的并、补运算求P∪（?

RQ）.

∵2x≤2,

x≤1,Q={x|x≤1},R

Q={x|x>1},

所以P∪（?

RQ）={x|x≥1}.

C.

∴

∴

∴?

故选

2.B

【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念,考查考生对基础知识的掌握情况.将

等号两边同时乘以i,然后利用复数相等列出方程组求解即可;也可直接利用复数的除法运算

化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可.

解法一

由已知可得

a+2i=（b+i）i,即a+2i=bi-1.

由复数相等可得

所以a+b=1.

解法二

=2-ai=b+i,由复数相等可得

解得

所以a+b=1.

3.B

4.A

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质

考查考生的运算求解能力

.由BF⊥AB及

OB⊥AF,得到|BO|2=|OF||OA|,·

结合a2=b2+c2得到的值,从而根据a=2得到c的值.

2

2

2

2

2

由题意得A（a,0）,B（0,b）,由BF⊥AB及OB⊥AF,得|BO|=|OF|

|OA|,·即b=ac,又a=b+c,所以

ac=a2-c2,即e2+e-1=0,解得e=

或e=-

（舍去）,又a=2,

所以c=-1.

5.A

【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算,意在考查考生分析问题、解决

问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题.

若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b=|a||b|,或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”

是“a∥b”的充分而不必要条件,选A.

6.C

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题

和解决问题的能力.

由题中图象可知

A=

又

所以函数f（x）的最小正周期T=4×

=π,ω=

=2,结合题中

图象可知f（）=

sin（+φ）=0,所以

+φ=kπ∈（kZ）,因为|φ|<,所以φ=,即f（x）=

sin（2x+）.

【备注】【解题思路】首先根据题中图象可以得到

A=

然后由T=4×（

）求出函数f（x）

的最小正周期

T,进而可得ω,最后结合特殊点可求

φ,即可求出f（x）.

7.B

【解析】先由通项公式列式求公比

再代入已知条件确定

n,m的大小关系式,最后用基本不等

式求最小值.设{an}的公比为q（q>0）,

∵a2014q2=a2014q+2a2014,∴q2-q-2=0,∴q=2或q=-1（舍去）,

5

又a1qm-1·a1qn-1=16,∴qm+n-2=16,∴m+n-2=4,m+n=6,∴=（）·（5+

）≥（5+2）=,当且仅当m=4,n=2时等号成立,故选B.

8.D

【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、

推理论证能力.先根据题意证明CD⊥平面SAD,BC⊥平面SAB,得到对于给定的点P,PQ达到

最短的条件,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平

面几何的有关知识求最值.

因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD,

又SA⊥平面ABCD,CD?

平面ABCD,所以CD⊥SA,又SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD,同理

BC⊥平面SAB.

解法一

易知对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.

设SP=t,t∈[0,

],cos∠BSC=

则PM=

≥,

又

?

?

PQ=1-

t,

记2y=2（MP+

PQ）?

y=

+1-t,

移项平方得（y-1+t）2=1+t2-t,

化简可得t2-

（1+y）t+2y-y2=0,

由方程有解可得=[（1+y）]2-4××（2y-y2）≥0?

5y2-6y+1≥0

解得y≥1或y≤（舍去）,故2MP+PQ=2y≥2,故选D.

解法二如图,将四棱锥S-ABCD补成长方体STUV-ABCD,

对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.过点P作PH⊥平面CDVU,连接HQ,由SA=,BC=1,得SD=2,

则cos∠SDA=cos∠HPQ=,

则PH=PQ·cos∠HPQ=PQ,

6

则2MP+PQ=2（MP+PQ）=2（MP+PH）,

当且仅当M,P,H三点共线时MP+PH的值达到最小,易知此时MP+PH=1,即（2MP+PQ）min=2.9.A

【解析】本题是函数与不等式的综合题,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思想、数形结合思想.根据分段函数的单调性,数形结合求解.

由题意知,f（x）=作出函数f（x）的大致图象如图所示,由函数f（x）的图象可

知,函数f（x）在R上单调递增,由f（2-a2）>f（|a|）,得2-a2>|a|.当a≥0时,有2-a2>a,即（a+2）（a-1）<0,解得-2-a,即（a-2）（a+1）<0,解得-1

实数a的取值范围是（-1,1）.故选A.

10.B

【解析】先根据函数图象的平移变换可知,函数f（x）的图象关于直线x=1对称,再利用特殊值,排除错误选项.

设函数g（x）=e|x|-ex2,则g（-x）=e|x|-ex2=g（x）,所以g（x）为偶函数,易知f（x）的图象可以看作是由g（x）

的图象向右平移

1个单位长度得到的,故f（x）的图象关于直线

x=1

对称,排除A,D,又

0

2

=1,排除C,故选B.

f

（1）=e-e

×（1-1）

11.B

【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、

两角和的正切公式、正弦定理和余弦定理

在解三角形中的应用等知识

考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力

考查数

学运算、逻辑推理的核心素养

.

解法一

利用正弦定理、同角三角函数的基本关系、

两角和的正切公式以及一元二次方程根

的判别式进行求解;解法二

利用余弦定理进行求解.

解法一

由b2cosAcosC=accos2B及正弦定理,得sin2BcosAcosC=sinAsinCcos

2B,即

tan2B=tanAtanC,所以tan2B=-tanAtan（A+B）,即tan2B=-tanA

·

整理得

2

3

2

3

tanA-（tanB-tanB）tanA+tan

B=0,则关于tanA的一元二次方程根的判别式

=（tanB-tan

B）2-4tan2B≥0,又△ABC为锐角三角形,所以得（tan2B-3）（tan2B+1）≥0,得tanB

≥,所以≤B<.

解法二

2

2

2

·

=ac·（

2

由bcosAcosC=accosB及余弦定理,得b·

）,即

（b2+c2-a2）·（b2+a2-c2）=（c2+a2-b2）2,即b4-（a2-c2）2=b4+（c2+a2）2-2b2（c2+a2）,化简得a4+c4=b2（c2+a2）,则

cosB=≤,当且仅当a=c时等号成立,又△ABC为锐角三角

形,所以≤B<.

12.B

【解析】本题考查双曲线的定义和几何性质,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想,

考查数学运算的核心素养.

先根据双曲线的对称性,构造平行四边形AF1BF,再根据平行四边形的性质,得到

|AB|2+|FF1|2=2（|AF|2+|AF1|2）,最后根据双曲线的定义即可求解.根据双曲线的对称性,将△ABF补形为平行四边形AF1BF（如图）,

7

则F1为双曲线的右焦点,根据平行四边形的性质,得|AB|2+|FF1|2=2（|AF|2+|AF1|2）.

根据双曲线的定义

得|AF|-|AF1|=2a,两边平方得,|AF|2+|AF1|2-2|AF||AF·1|=4a2,即

2

2

2

|AB|

+|FF1|=2（4a+2|AF||AF·1|）,

又|AF1|=|BF|,∴|AB|2+（2c）2=2（4a2+2|AF||BF|）·.

∵4|AF|·|BF|=|AB|2+2b2,∴4c2=8a2+2b2,又b2=c2-a2,∴c2=3a2,

∴双曲线的离心率e=.

13.-1

【解析】函数

f（x）=x2f'

（2）+3x,则f'（x）=2xf'

（2）+3,所以f'

（2）=4f'

（2）+3,解得f'

（2）=-1.

14.11

【解析】本题考查等差数列的性质及前n项和,考查考生的运算能力.由a1=1,S13=91,得出通

项公式

an,然后求出Sk,从而可求出正整数k的值.

解法一

设等差数列{an}的公差为d,则由S13=91,得13a1+

d=91,根据a1=1,得d=1,所以

an=n,所以Sk=

由

=6,得k=11.

解法二

设等差数列{an}的公差为d,在等差数列{an}中,由S13=91及等差数列的性质

可得

13a7=91,所以a7=7,由a1=1,a7=7,可得公差d=1,所以an=n,所以Sk=

由

=6,得k=11.

15.[-

-1）∪（1,

]

【解析】本题主要考查函数的定义域、函数的单调性、一元二次不等式的求解等

考查化归

与转化思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力

.先判断出函数

f（x）的奇

偶性,然后判断出函数

f（x）在[0,3]上的单调性,最后将不等式转化为一元二次不等式进行求解.

因为f（-x）=-x（e-x-ex）-cos（-x）=x（e

x-e-x）-cosx=f（x）,所以函数f（x）为偶函数,易知函数y=x（ex-）在

[0,3]上为增函数,函数y=-cosx

在[0,3]上为增函数,故函数f（x）=x（ex-e-x）-cosx在

[0,3]

上为增函

数.由f（x

2

f（x

2

2

+1）>f（-2）

?

+1）>f

（2）,

可得

2

故不等式

f（x2+1）>f（-2）的解集为[-

-1）∪（1,

].

16.

【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形

考查综合分析问题、解决问题的能力

考

查运算求解能力和应用意识.

首先根据正弦定理

结合

求出角A,然后求出AB的长,利用余弦定理求出

AM

的

长,最后结合三角形的面积公式求解即可

.

8

在△ABC中,,则由正弦定理得,,∴

∴,又sin（A+C）=sinB≠0,

∴cosA=,∵0

由cos∠AMB=-

得sin∠AMB=

在△AMB中,

即

∴AB=4.

设AM=x,

在△AMB中,AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos∠AMB,

∴x2+7-2x××（-）=16,即x2+2x-9=0,解得x=或x=-3（舍去）,

∴S△AMB=AM·AB·sinA=

×4sin

.

17.

（1）设数列{an}的首项为

a1,公比为q（q≠1）,

由题意得

?

?

n-1

n-1

从而an=a1q

=3（-）.

（2）由

（1）得bn=3n（-）n-1,

由Tn=3×（-）0+3×2×（-）+3×3×（-）2+⋯+3n×（-）n-1,①

-Tn=3×（-）+3×2×（-）2+3×3×（-）3+⋯+3n×（-）n,②

由①-②得Tn=3×（-）0