配套K12示范教案 函数的表示法 第2课时.docx
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配套K12示范教案函数的表示法第2课时
示范教案（函数的表示法第2课时）
第2课时分段函数
导入新课
思路1.当x>1时,f（x）=x+1;当x≤1时,f（x）=-x,请写出函数f（x）的解析式.这个函数的解析式有什么特点？
教师指出本节课题.
思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数h（x）=x,-x1,与f（x）=x-1,g（x）=x2在解析式上有什么区别
x-1,x-1②请举出几个分段函数的例子.
活动：
学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：
①函数h（x）是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:
分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如:
y=应用示例
思路1
1.画出函数y=|x|的图象.
活动：
学生思考函数图象的画法:
①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：
绝对值的概念,我们有y=0,x0,1,x0等.
x,x0,
-x,x0.所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.
图1-2-2-10
解法二：
画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练
x0,x4,21.已知函数y=x2x,0x4,
x2,x4.
（1）求f{f［f（5）］}的值;
（2）画出函数的图象.
分析:
本题主要考查分段函数及其图象.f（x）是分段函数,要求f{f［f（5）］},需要确定f［f（5）］的取值范围,为此又需确定f（5）的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.
解：
（1）∵5>4,∴f（5）=-5+2=-3.∵-30的图象.
步骤:
①画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间（-∞,0］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,再取其在区间（0,+∞）上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.
图1-2-2-12
函数y=f（x）的图象位于x轴上方的部分和y=|f（x）|的图象相同,函数y=f（x）的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f（x）|的图象的一部分.利用函数y=f（x）的图象和函数y=|f（x）|的图象的这种关系,函数y=f（x）的图象画出函数y=|f（x）|的图象.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
（1）乘坐汽车5千米以内（含5千米）,票价2元;
（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米按5千米计算）,
如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：
学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.于里程在不同的范围内,票价有
不同的计算方法,故此函数是分段函数.
解：
设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈（0,20］.空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
图1-2-2-13
2,0x5,3,5x10,y=
4,10x15,5,15x20.根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.
点评：
本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.
注意：
①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练20XX上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:
如果行程不超过100千米,票价是每千米元,如果超过100千米,超过部分按每千米元定价,则客运票价y（元）与行程千米数x（千米）之间的函数关系式是________.分析:
根据行程是否大于100千米来求出解析式.
0x100,,答案：
y=
10,x100.思路2
x22x,x0,x0,1.已知函数f（x）=1,x1,x0.
（1）求f（-1）,f［f（-1）］,f{f［f（-1）］}的值;
（2）画出函数的图象.
活动：
此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.解：
（1）f（-1）=0;f[f（-1）]=f（0）=1;f{f[f（-1）]}=f
（1）=-12+2×1=1.
（2）函数图象如图1-2-2-14所示:
图1-2-2-14
变式训练
20XX福建厦门调研,文10若定义运算a⊙b=________.
分析:
题意得f（x）=b,ab,则函数f（x）=x⊙（2-x）的值域是
a,ab,x1,x,画函数f（x）的图象得值域是（-∞,1］.
2x,x1.答案：
（-∞,1］
点评：
本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定
f1（x）,xD1,义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=f2（x）,xD2,（D1,D2,…,两两
,.交集是空集）的图象步骤是
（1）画整个函数y=f1（x）的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;
（2）画整个函数y=f2（x）的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;（3）依次画下去;
（4）将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.
图1-2-2-15
（1）写出y=f（x）的解析式,指出函数的定义域;
（2）画出函数的图象并求出函数的值域.
活动：
学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的（如图1-2-2-16的阴影部分所示）.
图1-2-2-16
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积其高来定,所以只要运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则△PAB的面积的计算方式点P
所在的位置来确定.解：
（1）分类讨论:
①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知y=
153×10×（xsin60°）=x,0≤x≤4.22②当P点在CD上运动时,y=
1×10×23=103,40,x=0,x1时,f（x）=x+1;当x≤1时,f（x）=-x,请写出函数f（x）的解析式.这个函数的解析式有什么特点？
教师指出本节课题.
思路2.化简函数y=|x|的解析式,说说此函数解析式的特点,教师指出本节课题.推进新课新知探究提出问题①函数h（x）=x,-x1,与f（x）=x-1,g（x）=x2在解析式上有什么区别
x-1,x-1②请举出几个分段函数的例子.
活动：
学生讨论交流函数解析式的区别.所谓“分段函数”,习惯上指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.并让学生结合体会来实际举例.讨论结果：
①函数h（x）是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.说明:
分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集;生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.②例如:
y=应用示例
思路1
1.画出函数y=|x|的图象.
活动：
学生思考函数图象的画法:
①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：
绝对值的概念,我们有y=0,x0,1,x0等.
x,x0,
-x,x0.所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.
图1-2-2-10
解法二：
画函数y=x的图象,将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方,与函数y=x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.变式训练
x0,x4,21.已知函数y=x2x,0x4,
x2,x4.
（1）求f{f［f（5）］}的值;
（2）画出函数的图象.
分析:
本题主要考查分段函数及其图象.f（x）是分段函数,要求f{f［f（5）］},需要确定f［f（5）］的取值范围,为此又需确定f（5）的取值范围,然后根据所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.画出函数在各段上的图象,再合起来就是分段函数的图象.
解：
（1）∵5>4,∴f（5）=-5+2=-3.∵-30的图象.
步骤:
①画整个二次函数y=x2的图象,再取其在区间（-∞,0］上的图象,其他部分删去不要;②画一次函数y=-x的图象,再取其在区间（0,+∞）上的图象,其他部分删去不要;③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象.如图1-2-2-12所示.
图1-2-2-12
函数y=f（x）的图象位于x轴上方的部分和y=|f（x）|的图象相同,函数y=f（x）的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y=|f（x）|的图象的一部分.利用函数y=f（x）的图象和函数y=|f（x）|的图象的这种关系,函数y=f（x）的图象画出函数y=|f（x）|的图象.2.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:
（1）乘坐汽车5千米以内（含5千米）,票价2元;
（2）5千米以上,每增加5千米,票价增加1元（不足5千米按5千米计算）,
如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.活动：
学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.于里程在不同的范围内,票价有
不同的计算方法,故此函数是分段函数.
解：
设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x∈（0,20］.空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
图1-2-2-13
2,0x5,3,5x10,y=
4,10x15,5,15x20.根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示.
点评：
本题主要考查分段函数的实际应用,以及应用函数解决问题的能力.生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题,如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.在列出其解析式时,要充分考虑实际问题的规定,根据规定来求得解析式.
注意：
①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义;
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练20XX上海中学高三测试,理7某客运公司确定客票价格的方法是:
如果行程不超过100千米,票价是每千米元,如果超过100千米,超过部分按每千米元定价,则客运票价y（元）与行程千米数x（千米）之间的函数关系式是________.分析:
根据行程是否大于100千米来求出解析式.
0x100,,答案：
y=
10,x100.思路2
x22x,x0,x0,1.已知函数f（x）=1,x1,x0.
（1）求f（-1）,f［f（-1）］,f{f［f（-1）］}的值;
（2）画出函数的图象.
活动：
此函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内有不同的对应关系.解：
（1）f（-1）=0;f[f（-1）]=f（0）=1;f{f[f（-1）]}=f
（1）=-12+2×1=1.
（2）函数图象如图1-2-2-14所示:
图1-2-2-14
变式训练
20XX福建厦门调研,文10若定义运算a⊙b=________.
分析:
题意得f（x）=b,ab,则函数f（x）=x⊙（2-x）的值域是
a,ab,x1,x,画函数f（x）的图象得值域是（-∞,1］.
2x,x1.答案：
（-∞,1］
点评：
本题主要考查分段函数的解析式和图象.求分段函数的函数值时,要注意自变量在其定
f1（x）,xD1,义域的哪一段上,依次代入分段函数的解析式.画分段函数y=f2（x）,xD2,（D1,D2,…,两两
,.交集是空集）的图象步骤是
（1）画整个函数y=f1（x）的图象,再取其在区间D1上的图象,其他部分删去不要;
（2）画整个函数y=f2（x）的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要;（3）依次画下去;
（4）将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象.
2.如图1-2-2-15所示,在梯形ABCD中,AB=10,CD=6,AD=BC=4,动点P从B点开始沿着折线BC、CD、DA前进至A,若P点运动的路程为x,△PAB的面积为y.
图1-2-2-15
（1）写出y=f（x）的解析式,指出函数的定义域;
（2）画出函数的图象并求出函数的值域.
活动：
学生之间相互讨论交流,教师帮助学生审题读懂题意.首先通过画草图可以发现,P点运动到不同的位置,y的求法是不同的（如图1-2-2-16的阴影部分所示）.
图1-2-2-16
可以看出上述三个阴影三角形的底是相同的,它们的面积其高来定,所以只要运动里程x来求出各段的高即可.三角形的面积公式为底乘高除以2,则△PAB的面积的计算方式点P
所在的位置来确定.解：
（1）分类讨论:
①当P在BC上运动时,易知∠B=60°,则知y=
153×10×（xsin60°）=x,0≤x≤4.22②当P点在CD上运动时,y=
1×10×23=103,4 综上所得,函数的解析式为
53x,0x4,2y=103,4x10,53x353,10x14.2
（2）f（x）的图象如图1-2-2-17所示:
图1-2-2-17
图象,可知y的取值范围是0≤y≤103,即函数f（x）的值域为[0,103].知能训练
1.函数f（x）=|x-1|的图象是（ ）
图1-2-2-18
分析:
方法一:
函数的解析式化为y=x1,x1,画出此分段函数的图象,故选B.方法二:
将函
1x,x1.
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