函数的应用例题.docx
《函数的应用例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的应用例题.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
函数的应用例题
第三章函数的应用例题
一、函数与方程
1．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）＝ex－x－2的一个零点所在的区间是（ ）.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.（－1,0）B．（0,1）
C．（1,2）D．（2,3）
解析 由上表可知f
（1）＝2.72－3＜0，f
（2）＝7.39－4＞0，
∴f
（1）·f
（2）＜0，∴f（x）在区间（1,2）上存在零点．答案 C
2．函数f（x）＝x2－2x的零点个数（ ）．
A．3B．2C．1D．0
解析 由y＝x2与y＝2x的图象知零点个数为3个，故选A.
答案 A
3．函数f（x）＝
的零点是________．
解析 令f（x）＝0，即
＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f（x）的零点为1.答案 1
4．已知函数f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f（x）有三个零点，则其和必为0.答案 0
5．若函数f（x）＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是________．
解析 由题意知，2a＋b＝0，则b＝－2a，∴g（x）＝－2ax2－ax＝－ax（2x＋1），
令g（x）＝0，得x＝0或－
.答案 －
，0
6．判断函数f（x）＝ex－5零点的个数．
解 法一 f（0）＝－4＜0，f（3）＝e3－5＞0，∴f（0）·f（3）＜0.
又∵f（x）＝ex－5在R上是增函数，∴函数f（x）＝ex－5的零点仅有一个．
法二 令y1＝ex，y2＝5，画出两函数图象（如图），由图象可知有一个交点，故函数f（x）＝ex－5的零点仅有一个．
7．若函数f（x）在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，f
（2）＝0，则函数f（x）的零点有（ ）．
A．一个B．两个
C．至少两个D．无法判断
解析 f（x）在（0，＋∞）上是减函数，f
（2）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.
又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.
因此函数f（x）有两个零点－2与2.答案 B
8．设x0是方程lnx＋x＝4的解，且x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝________.
解析 令f（x）＝lnx＋x－4，且f（x）在（0，＋∞）上递增，∵f
（2）＝ln2＋2－4＜0，
f（3）＝ln3－1＞0.∴f（x）在（2,3）内有解，∴k＝2.答案 2
9．已知函数f（x）＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．
（1）画出函数y＝f（x）的图象，并写出其值域；
（2）当m为何值时，函数g（x）＝f（x）＋m在[－1,4]上有两个零点？
解
（1）依题意：
f（x）＝（x－1）2－4，x∈[－1,4]，
其图象如图所示．
由图可知，函数f（x）的值域为[－4,5]．
（2）∵函数g（x）＝f（x）＋m在[－1,4]上有两个零点．
∴方程f（x）＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，
即函数y＝f（x）与y＝－m的图象有两个交点．
由
（1）所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.
∴当0≤m＜4时，函数y＝f（x）与y＝－m的图象有两个交点，
故当0≤m＜4时，函数g（x）＝f（x）＋m在[－1,4]上有两个零点．
二、二分法
1．已知函数y＝f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（ ）．
A．4,4B．3,4
C．5,4D．4,3
解析 题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案 D
2．设方程2x＋2x＝10的根为β则β∈（ ）．
A．（0,1）B．（1,2）C．（2,3）D．（3,4）
解析 设f（x）＝2x＋2x－10，则f（x）在R上为单调增函数，故只有一个零点．f（0）＝－9，f
（1）＝－6，f
（2）＝－2，f（3）＝4，∴f
（2）·f（3）＜0.∴β∈（2,3）．
答案 C
3．用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，f（0.74）＞0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）．
A．0.64B．0.74C．0.7D．0.6
解析 ∵f（0.72）·f（0.68）＜0，且|0.72－0.68|＜0.1，
∴f（x）的一个正零点x0∈（0.68,0.72），∴x0＝0.7可作为零点的近似值．答案 C
4．用二分法求方程x3－8＝0在区间（2,3）内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01?
解析 设n次“二分”后精确度达到0.01，∵区间（2,3）的长度为1，
∴
＜0.01，即2n＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100.
故要经过7次二分后精确度达到0.01.答案 7
5．（2013·高一检测）若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f
（1）＝－2
f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984
f（1.375）＝－0.260
f（1.4375）＝0.162
f（1.40625）＝－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为________（精确度0.1）．
解析 由表知|1.4375－1.375|＝0.0625＜0.1，
所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4375.
答案 1.4375（不唯一）
6．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间（1,2）内有唯一零点，并求出这个零点（精确度0.1）．
证明 由于f
（1）＝－1＜0，f
（2）＝4＞0，又函数f（x）是增函数，所以函数在区间（1,2）内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈（1,2）．下面用二分法求解：
区间
中点的值
中点函数近似值
（1,2）
1.5
1.328
（1,1.5）
1.25
0.128
（1,1.25）
1.125
－0.444
（1.125,1.25）
1.1875
－0.160
因为|1.1875－1.25|＝0.0625＜0.1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.25.
7．在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是（ ）．
A．[1,4]B．[－2,1]
C.
D.
解析 由于第一次所取的区间为[－2,4]，
∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，
第三次所取区间为
，
，
或
.答案 D
8．函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
解析 ∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.答案 a2＝4b
三、几类不同增长的函数模型
1．设f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是（ ）．
A．f（x）增长速度最快，h（x）增长速度最慢
B．g（x）增长速度最快，h（x）增长速度最慢
C．g（x）增长速度最快，f（x）增长速度最慢
D．f（x）增长速度最快，g（x）增长速度最慢
解析 由三个函数的性质，可知：
g（x）增长速度最快，h（x）增长速度最慢．
答案 B
2．如图所示给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）．
A．指数函数：
y＝2tB．对数函数：
y＝log2t
C．幂函数：
y＝t3D．二次函数：
y＝2t2
解析 由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切．答案 A
3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为（ ）
答案 C
4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·（0.5）x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品产量为________．
解析 由
得
∴y＝－2×0.5x＋2，
所以3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）．
答案 1.75万件
5．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
解析 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．答案 ②④
6．计算机的成本不断下降，若每隔5年计算机的价格降低现价格的
，现在价格5400元的计算机经过15年的价格为________元．
解析 5年后的价格为5400
元，10年后的价格为5400
2元，
15年后的价格为5400
3元．答案 5400
3
7．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3
成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．
解
（1）设V＝k·log3
，∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3
，
∴k＝
，∴V关于Q的函数解析式为V＝
log3
.
（2）令V＝1.5，则1.5＝
log3
，∴Q＝2700，
所以，一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．
8．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的
（ ）．
解析 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢，与B图象相吻合．答案 B
9．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系式为：
y＝alog2（x＋1），设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只．
解析 把x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得：
a＝100，
故函数关系式为y＝100log2（x＋1），
∴当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300.
所以到第7年这种动物发展到300只．答案 300
10．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有
L?
解 由题意，得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝
.①
设再过tmin后桶1中的水有
，
则ae－n（t＋5）＝
，e－n（t＋5）＝
.②
将①式平方得e－10n＝
，③
比较②，③得－n（t＋5）＝－10n，∴t＝5.
即再过5min后桶1中的水只有
L．
四、函数模型的应用实例
1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：
分钟）为f（x）＝
（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是（ ）．
A．75,25B．75,16
C．60,25D．60,16
解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为
＝15，故组装第4件产品所需时间为
＝30，解得c＝60.将c＝60代入
＝15，得A＝16.
答案 D
2．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的（ ）．
解析 销售收入不变，∴xy＝c（定值），∴y＝
.
答案 C
3．（2013·高一检测）衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：
V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为
a.若一个新丸体积变为
a，则需经过的天数为（ ）．
A．125B．100C．75D．50
解析 由已知，得
a＝a·e－50k，∴e－k＝
.
设经过t1天后，一个新丸体积变为
a，则
a＝a·e－kt1，
∴
＝（e－k）t1＝
，∴
＝
，t1＝75.答案 C
4．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少
，则面积最大．此时x＝________，面积S＝________.
解析 根据题目条件0＜
＜3，即0＜x＜6，所以S＝（4＋x）
＝－
（x2－2x－24）＝
－
（x－1）2（0＜x＜6）．故当x＝1时，S取得最大值
.
答案 1
5．图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：
情境A：
一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；
情境B：
一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好）；
情境C：
从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；
情境D：
根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；
其中情境A，B，C，D分别对应的图象是________．
解析 对于A，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B，过时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图象有多重折线，因此显然为④，对于D，乘客人数越多，利润越大，显然是②.
答案 ①③④②
6．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下（单位：
万美元）：
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多生产的件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．
（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系式；
（2）分别求出投资生产这两种产品的最大利润；
（3）如何决定投资可获得最大年利润．
解
（1）由题意，y1＝（10－a）x－30,0≤x≤200，x∈N；
y2＝（18－8）x－50－0.05x2＝10x－50－0.05x2,0≤x≤120，x∈N.
（2）∵4≤a≤8，∴10－a＞0，
故y1＝（10－a）x－30,0≤x≤200是增函数．
所以x＝200时，y1有最大值1970－200a.
y2＝10x－50－0.05x2＝－0.05（x－100）2＋450.
x∈[0,120]，且∈N，
∴当x＝100时，y2取最大值450.
∴投资生产这两种产品的最大利润分别为（1970－200a）万美元和450万美元．
（3）令1970－200a＝450，解得a＝7.6，因为函数f（a）＝1970－200a是定义域上的减函数，所以当4≤a≤7.6时，投资甲产品；当7.6＜a≤8时，投资乙产品；当a＝7.6时，投资甲产品、乙产品均可．
7．（2013·高一检测）如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系y＝at，有以下几种说法：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等．
其中正确的命题序号是________．
解析 由图象知，t＝2时，y＝4，
∴a2＝4，故a＝2，①正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，
当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，
当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.
t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．
答案 ①②
8．某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P）．点（t，P）落在图中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q（万股）
36
30
24
18
（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；
（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解
（1）P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式为：
P＝
（2）由图表，易知Q与t满足一次函数关系，
即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.
（3）由以上两问，可知
y＝
＝
当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，
当20＜t≤30，y随t的增大而减小，
∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．
升级会员 