5m>>m时,vi=v、V2~2V2,m不受影响,m碰后飞出去.
5、如图所示,一个质量为m的玩具青蛙,蹲在质量为M的小
车的细杆上,小车放在光滑的
水平桌面上.若车长为L,细杆高为h,且位于小车的中点,
试求玩具青蛙至多以多大的水平速度跳出,才能落到车面上?
解;
(1)由物块与千弹一起恰能通过轨道最高点小
1
由牛顿第二定律得’(灯亠朋逗=口厂加二・22?
物体与子弹组成的系统机械能守恒,
由机械能守屯定谭得:
\(M+m)七汁〔M+血)計2尺二2(M+m)
代入数据解得s^-=6r/e;
■
(2〕系统动童守恒,以向右为正方向,
由动量守恒定律得:
JfiV=(爪+皿〕V-r
代入数IS解得:
v-600m/s;
(3)由能量守恒定律得:
1,I°
iE=-mvi-71K+m)v-tj
代入数据解得;AE=17S2J;
6、如图所示,ABC[是由两部分光滑轨道平滑连接在一起组成的,AB为水平轨道,BCD是半径为R的半圆弧轨道,质量为M
的小物块,静止在AB轨道上,一颗质
7
为m子弹水平射入物块但未穿出,物块与子弹一起运动,恰能贴着轨道内侧通过最高点从D点飞出.取重力加速度g,求:
物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度;
子弹击中物块前的速度;系统损失的机械能.
解:
m由物块与千弹一起恰能通过轨道最高点d,
由牛顿第二定律得:
.
2R
物体与干弹组成的系统机械能守恒,
宙机械能守恒定谭得=[CM+m)寸J+5+2計西丄(M+m)
代入数据解得:
v-=6m/£;
(2〕系颈动童守恒■以向右为正方向,
由动量守恒定律得:
jnv=(M+m]
代入数4S解得:
v=600m/s;
⑶由能量守恒定律得:
1°1°
AE=-mvi-7IM+m)v=S
!
■jF
代入数据解得:
AE=17S2J;
7、如图所示,木块A和B的质量分别为m和mi,固定在轻质弹簧的两端,静止于光滑的水平面上.现给A以向右的水平速
中,
为
度Vo,问在两物体相互作用的过程什么时候弹性势能最大,其最大值多少?
求弹簧恢复原长时两物体的度.
解:
木块A、B相互作用过程中,速度相等时弹簧的弹性势能最大,设共同速度的大小为V.
由动量守恒定律有mvo=(m+m2)v①
木块A、B减少的动能转化为弹簧的弹性势能,有
1212一
E弹=—△Ek=2耐0—2(m+m)v②
由①②式联立解得弹簧的弹性势能的最大值为:
2
mmvo
m+m
8、如图所示,在光滑的水平面上有一静止的光滑曲面滑块,质量为m2.现有一大小忽略不计的小球,质量为mi,以速度v0冲向滑块,并进入滑块的光滑轨道,设轨道足够高.求小球在轨
道上能上升的最大高度.若m2=m,则两物体最后速度分别为多少?
解:
小球和滑块具有相同速度时,小球的上升高度最大,
设共同速度的大小为V.由动量守恒定律有m1v0=(ml+n2)v
设小球在轨道上能上升的最大高度为h.由于水平面光滑,故
小球和滑块组成的系统机械能守恒,以水平地面为零势能面,
1212
2mivo=2(m+m)v+mgh
9、如图所示,一大小可忽略不计、质量为mi的小物体放在质
量为m2的长木板的左端,长木板放在光滑的水平面上.现让mi获得向右的速度V。
,若小物体最终没有从长木板上滑落,两者间的动摩擦因数为卩.求长木板的长度至少是多少?
解:
若使小物体不从长木板上滑落,则须小物体到达长木
板的右端时两者具有共同的速度.设共同速度的大小为v,长
木板的长度为L,由动量守恒定律有
n1v0=(mi+n2)v
由能的转化和守恒定律知,由小物体和长木板组成的系统
减少的动能转化为内能,有
1212
2mwQ-2(m+m)v2=卩mgL
10、如图所示,圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上,轨道半径为R,MN为直径且与水平面垂直,直径略小于圆管内
径的小球A以某一速度冲进轨道,到
达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球
B发生碰撞,碰后两球粘在一起飞出轨道,落地点距N为2R.
重力加速度为g,忽略圆管内径,空气阻力及各处摩擦均不计,求:
(1)黏合后的两球从飞出轨道到落地的时间t;
⑵小球A冲进轨道时速度v的大小.
Vi,把球A冲进轨道
解:
(1)粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动,竖直方向分运动为自由落体运动,有:
亠j①
(2)设球a的质量为m碰撞前速度大小为
最低点时的重力势能定为0,
丄朋/=1朋v;+2mgR
由机械能守恒定律知:
^③
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为V2,
由动量守恒定律知:
mv=2m\2④飞出轨道后做平抛运动,水平方向分运动为匀速直线运动,
有:
2R=V2t⑤
综合②③④⑤式得:
11、如图所示,固定在地面上的光滑圆弧面与车C的上表面平
滑相接,在圆弧面上有一个滑块A,其质量为mA=2kg,在距
车的水平面高h=1.25m处由静止下滑,车C的质量为mC=6kg,在车C的左端有一个质量mA2kg的滑块B,滑块A与B均可看做质点,滑块A与B碰撞后黏合在一起共同运动,最终刚好没有从车C上滑出,已知滑块A、B与车C的动摩擦因数均为=0.5,车C与水平地面的摩擦忽略不计.取g=
10m/s2.求:
⑴、滑块A滑到圆弧面末端时的速「心
度大小.
(2)、滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小.
⑶、车C的最短长度.
解析:
(1)设滑块A滑到圆弧未端时的速度大小为vi,由机械能守恒定律有;_「①(3分)代入数据解得¥丽曲②(2分)
(2)设AB碰后瞬间的共同速度为V2,滑块A与B组成的系
统动量守恒叫片二(叫+叫)h③(3分)
代入数据解得lVi=2-5ms④(2分)
(3)设车C的最短长度为L,滑块A与B最终没有从车C上滑出,三者最终速度相同设为V3
根据动量守恒定律广「二-:
⑤(3分)
根据能量守恒定律肌+认丄=池7丰+加+"5
⑥(3分)联立⑤⑥式代入数据解得—m⑦(2分)
12、如图所示,A、B、C三个木块的质量均为m,置于光滑的
水平面上,B、C之间有一轻质弹簧,弹簧的两端与木块接触而
不固连.将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连,
使弹簧不能伸展,以至于B、C可视为一个整体.现A以初速度V。
沿B、C的连线方向朝B运动,与B相碰并黏合在一起.以后细线突然断开,弹簧伸展,从而使C与A、B分离.已知C离开弹簧后的速度恰为v0.求弹簧释放的势能.
/77777777777777777777777777777T77777777
解:
设碰后AB和C的共同速度的大小为v,
由动量守恒得;①
设C离开弹簧时,AB的速度大小为,
由动量守恒得--②
设弹簧的弹性势能为-.,从细线断开到C与弹簧分开的过程中
机械能守恒:
A咖乜=扣诙+長③
£=-wVq
由①②③式得弹簧所释放的势能为一
13、一质量为2m的物体P静止于光滑水平地面上,其截面如图所示.图中ab为粗糙的水平面,长度为L;be为一光滑斜
面,斜面和水平面通过与ab和be均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接.现有一质量为m的木块以大小为v0的水平初速度从a点向左运动,在斜面上上升的最大高度为h,返回后再到达a点前与物体P相对静止.重力加速度为g.求:
(1)木块在ab段受到
⑵木块最后距a点的距离s.
解:
(1)设木块和物体P共同速度为V,两物体从开始到第一
次到达共同速度过程由动量守恒得:
VY'-门‘①
=丄〔擀+2楙)V2+mgh+JL
由能量守恒得:
22②
丁二附阳「3前)
由①②得:
.-③
(2)木块返回与物体P第二次达到共同速度,全过程能量守恒
一=—(朋+2fn)v2+/(2Z一s)
得:
:
:
由②③④得:
f
为m=0.08kg的小物块C以25m/s
14、如图所示,在光滑水平面上有两个并排放置的木块A和B,
已知mA=0.5kg,m=0.3kg,有一质量厂
水平速度滑上A表面,由于C和AB间有摩擦,C滑到B表面上时最终与B以2.5m/s的共同速度运动,求:
(1)木块A的最后速度;
(2)C离开A时C的速度。
设木块A的最终速度为vi,C滑离A时的速度为V2,
⑴对A、B、C由动量守恒定律:
mvo=mvi+(mB+m)v,
解得Vi=2.1m/s
⑵当C滑离A后,对B、C由动量守恒定律:
mv2+mvi=(mB+m)v
解得V2=4m/s
15、两质量分别为M和M的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,
曲面下端与水平面相切,如图所示,一审:
"“诺易质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h
物块从静止滑下,然后滑上劈B。
求物块在B上能够达到的最
大高度。
设物块到达劈A的低端时,物块和A的的速度大小分别为卩和V,
mgh=—mv1+-JfJ7亠
由机械能守恒得:
〜22①
由动量守恒得:
」“二加②
设物块在劈B上达到的最大高度为|》,此时物块和B共同速度
大小为r
,由机械能守恒得:
-2亠2
③
由动量守恒
处二(仏+砒L④
联立①②③④式得"''
16、如图所示,半径为R的光滑圆环轨道与高为10R的光滑斜
1(X(
面安置在同一竖直平面内,两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连,在水平轨道CD上一轻质弹簧被两小球
a、b夹住(不连接)处于静止状态,今同时释放两个小球,a球恰好能通过圆环轨道最高点A,b球恰好能到达斜面最高点B,
已知a球质量为m,求释放小球前弹簧具有的弹性势能为多少?
解:
a球过圆轨道最高点A时:
.求出—\
a球从C运动到A,由机械能守恒定律:
八讥7匚<;TR
由以上两式得:
1「二
b球从D运动到B,由机械能守恒定
1a
律:
得:
―厂「「叮
以a球、b球为研究对象,由动量守恒定律:
mv=mvb
得:
弹簧的弹性势能
Ep=7.5mgR
17、有一大炮竖直向上发射炮弹。
炮弹的质量为M\=6.0kg(内含炸药的质量可以忽略不计),射出的初速度vo=60m/s,当炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片,其中一片质量为
m=4.0kg。
现要求这一片不能落到以发射点为圆心、以R=600m
为半径的圆周范围内,则刚爆炸完时两弹片的总动能至少多大?
(g取10m/s2,忽略空气阻力)
炮弹爆炸时系统在水平方向不受外力,动量守恒:
0=mvi-
(M-m)V2
由上抛运动规律知:
h=v02/2g,t=V订农
由平抛运动规律知:
vi=R/t
224
由能量观点知:
Ek=mvi/2+(M-m)v/2解得Ek=6.0X10J
18、探究某种笔的弹跳问题时,把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分,其中内芯和外壳质量分别为
m和4m.笔的弹跳过程分为三个阶段:
①把笔竖直倒立于水平硬桌面,下压外壳使其下端接触桌面(图a);②由静止
释放,外壳竖直上升至下端距桌面高度为hl时,与静止的内芯
碰撞(图b);③碰后,内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h2处(图c)。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力,重力加速度为
g。
求:
(1)外壳与碰撞后瞬间的共同速度大小;
(2)从外壳
离开桌面到碰撞前瞬间,弹簧做的功;(3)从外壳下端离开桌面到上升至h2处,笔损失的机械能。
(1)设碰后共速为V2,则碰后机械能守恒:
(4m+rj)g(h2-h1)=2(4m+n)V22-0,得巾二(扎一%)
(2)设碰前外壳的速度为V1,则碰撞过程动量守恒:
4mv=(4m+mV2,将v代入得勺4~石
由动能定理;,将V1代入得
V22,将V1、V2
M=1kg的木块
11
(3)由能量守恒得:
E损=1(4m)V1-1(4m+m
二-吨(爲一知
19、如图所示,水平传送带AB长L=8.3m,质量随传送带一起以vi=2m/s的速度向左运动(传送带的速度恒定
不变),木块与传送带间的摩擦因数卩=0.5.当木块运动到传
送带最左端A点时,一颗质量为m=20g的子弹以v°=300m/s水
平向右的速度正对入射木块并穿出,穿出速度为V2=50m/s,以
后每隔1s就有一颗子弹射向木块.设子弹与木块的作用时间极
短,且每次射入点不同,g=10m/s2.求:
(1)在木块被第
二颗子弹击中前木块向右运动离A点的最大距离.
(2)在被第二颗子弹击中前,子弹、木块、传送带这一系统所产生的热能是多少?
(3)
木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中;
(1)第一颗子弹射入木块过程中动量守恒mvo-MV=mV2+
M\/①
解得:
=3m/s②
"世L咫叮2
木块向右作减速运动加速度〉'-m/s2③
木块速度减小为零所用时间•’④解得
ti=0.6s<1s⑤
A点最远时,速度
所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离
51=!
L
为零,移动距离为i二解得
Si=O.9m⑥
(2)第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为:
1111
Q=2mv+2Mv・2mv2・2Mv'
木块向右减速运动过程中相对传送带的位移
为:
S'=Viti+Si
产生的热量为Q=uM®'
木块向左加速运动过程中相对传送带的位移
为:
S"=Vlt2-S2
I
向左移动的位移为S2=.at22二①4m产生的热量为
Q=aIMS“
在第二颗子弹击中前,系统产生的总内能为:
Q=G+Q+Q二872.5J+10.5J+2>885*0J.
(3)在第二颗子弹射中木块前,木块再向左做加速运动,
时间t2=1S-0,6S=0<4s
速度增大为V2=at2=2m/S(恰与传送带同速)
向左移动的位移为S2=-at22二0.4tn
所以两颗子弹射中木块的时间间隔内,木块总位移:
So=Si-S2=O.5m,方向向右
第十六颗子弹击中前,木块向右移动的位移为:
s=15s0=7.5
m
第十六颗子弹击中后,木块将会再向右移动0.9m,总位移为
0,9111+7,5m=8.4m>8.3m,木块将从B端落下|
所以木块在传送带上最多能被十六颗子弹击中
20、如图所示,光滑的水平面上有mA=2kg,mB=mc=1kg的三个
物体,用轻弹簧将A与B连接.在A、C两边用力使三个物体靠近,A、B间的
弹簧被压缩,此过程外力做功72J,然"’
后从静止开始释放,求:
(1)当物体B与C分离时,B对C
做的功有多少?
(2)当弹簧再次恢复到原长时,AB的速度各是多大?
(V释就辰在弹簧恢复痰长的过程中日和C和一起向左运动,
当彈簧恢复贬长后日和匚的分离.所以此过程用寸C做功,
选取A、BsC犬L个系统・在弾簧恢复原长的过程中动量守恒〔麻向右为正向[土rriAVA-vc=O...®
根据系统能量守鱼扣劇+|(m0+mc)vc2=Ep=W=72J..②
CD怕对C做的功;吐加阳.③
联立①②③并代入刼抿猖:
vA=vc=6m/ssW=13J.
C2)取入E为研究系统,根据动量守怛(取■向右为正向)得:
mAVA-rne7°二茁只厂只+朗日v'c
根据系统能量守辭|rnAvA:
41m9vc气%;号吨£?
当弹菩恢复至腹长时几B的潼度分别齿:
^'A=L/?
IB=tisSiV^=-2ITi7SfV*g=1UnfS.负号■喪不速度牙向写正方向相反,即向左.
21、如图所示,一个带斜面的物体A静止在光滑的水平面上,它的质量为M=0.5kg.另一个质量为m=0.2kg的小物体B从高
处自由下落,落到B的斜面上,下落高度为h=1.75m.与斜面碰撞后B的速度变为水平向右,碰撞过程中A、B组成的系统的机械能没有损失.(计算时取g=10m/s2)
(1)碰后AB的速度各多大?
29
(2)碰撞过程中A、B的动量变化量各多大?
解:
(1)我们规定向右为正方向,设碰后A的速度大小是Va,
水平方向动量守恒:
M\a+mv=0,
22
由能量守恒:
mgh=mv/2+MvA/2
Va=-mv/M=-2m/sVB=5m/s。
(负号表示方向向
左)
(2)碰撞过程中A的动量变化量是
△pa=MV=-1kg•m/s,其中负号代表方向向左。
由于B的初、末动量不在同一直线上,根据平行四边形定
则,
初动量大小为mv=「v•kg•m/s=1.2kg•m/s,方向竖
直向下,末动量大小为mv=1kg・m/s,方向水平向右,
动量变化量的大小为:
△Pb=「〜'1''kg•m/s=1.5
kg•m/s,
方向斜向右上,与水平方向夹角为e=arctan(vo/vb)=55.3
■■■■■■■■I
22、质量为M的小车静止在光滑的水平面上,质量为m的小球用细绳吊在小车上0点,将小球拉至水平位置A点静止开始释放(如图所示),其中0A的长为L,求小球落至最低点时速度多大?
(相对地的速度)
设小球星低原时咱对于地的速度大小为”,小牟相对于地的速度大小为¥.取向右方向为王方向,以小车和小球足成的亲统为研究对畫,
根据施水平方向动楚守酝律得:
mv-MV=O
乐据系毓的W.能守危得:
mgL=2m以+2mW
22
联立L戈上两式驿写fv=n卫丄
M+m
23、如图5-5所示,质量为M的天车静止在光滑轨道上,下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙
箱,一颗质量为mO的子弹,以v0的\
水平速度射入沙箱,并留在其中,在吗一旦
以后运动过程中,求:
沙箱上升的最大高度
(1)子弹打入沙箱过程中动量守恒
孤洗=(孤+时久
va\vf1
摆动过程中,沙箱到达最大高度时系统有相同的速度,设为
V2,子弹、沙箱、天车系统水平方向动量守恒:
机械能守恒:
1“1-
于「处岭热]珑1K4)?
;■吧魁上
k=J…7
联系①②③可得”1逼口%•乜:
壮忽
24、如图所示,坡道顶端距水平面高度为h,质量为m的小物
块A从坡道顶端由静止滑下,进入水平面上的滑道时无机械能损失,为使A制动,将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M
处的墙上,另一端与质量为mi的档板相连,弹簧处于原长时,B恰好位于滑道的末端0点。
A与B碰撞时间极短,碰撞后结合在一起共同压缩弹簧。
已知在0M段A、B与水平面间的动摩擦
因数为卩,其余各处的摩擦不计,重力加速度为g,求
1)物块A在档板B碰撞瞬间的速度
v的大小;
2)弹簧最大压缩时为d时的弹性势能Ep(设弹簧处于原长时弹性势能为零)
炖]或=—W2lV2
解:
(1)由机械能守恒定律,有^①
由动量守恒③
A、B克服摩擦力所做的功莊二"网+叫0④
1
由能量守恒定律:
沙严讣豁+也+呻盟
E二gh-/2(mx+m^)gd
解得
mx+m2
25、(2011\35.)(18分)如图所示,光滑水平面右端B处平
€
B
滑连接一个内壁光滑的竖直放置的半