第六章 单形法敏感度分析及对偶特性.docx
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第六章单形法敏感度分析及对偶特性
第六章單形法敏感度分析及對偶特性
本章內容：
6.1以單形表做敏感度分析
6.2對偶特性
⏹6.1以單形表做敏感度分析
●目標函數係數
●目標函數與最適區間之意義：
1.若目標函數之係數範圍能使目前的最適解仍維持最適，則此範圍稱為目標函數之最適區間。
2.最適區間可能使目標函數值改變。
3.目標函數係數的最適區間，由Cj－Zj≦0淨評估值而定。
（1）目標函數基本變數之敏感度分析（只改變一個基本變數係數）。
例：
Max50X1＋40X2
s.t.3X1＋5X12≦150裝配可用工時
1X2≦20P型顯示器
8X1＋5X2≦300倉儲空間X1，X2≧0
其中X1＝D型產品件數X2＝P型產品件數
最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
1980
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1980。
X1，X2，S2為基本變數，S1，S3為非基本變數。
計算目標函數X1基本變數之係數C1之最適區間，須先將最後單形表修改如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
C1
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
C1
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
C1
0
40
0
（64-C1）/5
（C1-64）/5
0
0
（C1-24）/5
（24-C1）/5
480+30C1
∵最適區間應使Cj－Zj≦0即需（C1-64/5≦0）及（24-C1/5≦0）
所以的最適區間為24≦C1≦64。
註：
基本變數（X1，X2，S2）之最適區間係計算非基本變數（S1，S3）之Cj－Zj，使其≦0。
驗証：
Ｄ型產品利潤由原來50元減少為30元之最適解為何？
若將C1改為30元之最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
30
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
30
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
30
0
40
0
34/5
-34/5
0
0
6/5
-6/5
1380
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1380。
結論：
最適解不變，但總利潤解降為1380元。
（30X1＋40X2＝30＊30＋40＊12＝1380）
驗証：
Ｄ型產品利潤由原來50元減少為20元之最適解為何？
若將C1改為20元，最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
20
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
20
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
20
0
40
0
44/5
-44/5
0
0
4/5
4/5
1080
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1080。
但因S3之Cj－Zj＝4/5≧0，因此需繼續計算單形表，引進S3後之最適解為X1＝16.6件，X2＝20件，已改變原最適解。
（2）目標函數非基本變數之敏感度分析（只改變一個非基本變數係數）。
例：
Max50X1＋40X2
s.t.3X1＋5X2≦150裝配可用工時
1X2≦20P型顯示器
8X1＋5X2≦300倉儲空間X1，X2≧0
其中X1＝D型產品件數X2＝P型產品件數
最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
1980
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1980。
X1，X2，S2為基本變數，S1，S3為非基本變數。
指dualprice
計算目標函數S1非基本變數之係數CS1之最適區間需先將最後單形表修改如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
CS1
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
CS1-（14/5）
0
0
26/5
-26/5
1980
∵最適區間應使Cj－Zj≦0，因此需CS1-（14/5）≦0，所以CS1的最適區間為CS1≦14/5。
註：
在一個極大化的問題，非基本變數沒有下限﹑上限就是
Zj，因此任何非基本變數目標函數係數之最適區間是Cj
≦Zj。
註：
第一部資源S1＝0表示資源150全使用完，上限為14/5，
表示第一部資源增加單位，則目標函數增加14/5，而為
1980＋（14/5）∴dualprice＝14/5
●計算最適區間的步驟：
1.將在最後單形表中，Xk所有的目標函數係數從數字改成Ck。
2.重新計算每個非基本變數之Cj－Zj（如果Xk是非基本變數只須計算Cj－Zj）。
3.在Cj－Zj≦0的條件下，解每個不等式找出Ck的任何上界或下界。
如果Ck有兩個或多個上界，其小者就是最適區間的上限。
如果有兩個以上的下界，其大者就是最適區間的下限。
4.如果原來問題是極小化問題應將其轉變成極大化問題，以便用單形法求解。
將第3步的不等式乘以－1，並改變不等號的方向，以找出原來求極小化問題的最適區間。
●右手邊值：
在許多線性規劃問題中，我們將”右手邊值”解釋為”可用的資源”，例如”可用的裝配時間”、”可用的倉儲空間”等。
●對偶價格（dualprice）多稱影子價格（shadowprice）：
每增加限制式右手邊（資源）一單位對最適解值之改善。
RHS的範圍即在求影子價格維持不變。
例：
（極大化問題）
Max50X1＋40X2
s.t.3X1＋5X2≦150裝配可用工時
1X2≦20P型顯示器
8X1＋5X2≦300倉儲空間X1，X2≧0
最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
1980
●S1之Zj值為14/5，即裝配時間限制的對偶價格為14/5。
只要目標函數S1之最適範圍為CS1≦14/5＝2.8元，則目前最適解仍為最適解。
由於S1＝0（非基本變數）表示己用完裝配時間，因此Zj＝2.8相當於S1這個惰變數所列的資源（即每一條限制式）每增加一單位的價值（邊際值）。
因此如果可以獲得額外的時間海德公司最多願意出每小時2.8元的價格。
註：
S1=0dualprice=14/5資源全使用完，銷路不錯，消
費者願意購買
工廠生產量可再增加，但第一部資源
RHS全用完，工廠需向外僱用工人，工廠願付小於2.8元
僱用，MR-MC
僱用-工人願付2.8工資
●S2之Zj值為0，表示顯示器限制的對偶價格為零。
S2＝8（基本變數）表示尚有8個顯示器未使用，此額外多的資源對公司沒什麼價值，所以該限制式的對偶為零。
（重點：
在最適解中，如果惰變數是基本變數，則這個限制式對偶價格（Zj）為零）。
註：
S2slack=8dualprice=0,S2是否需額外增加?
不需增加因為S2有剩餘
S3之Zj值為26/5，即倉儲限制的對偶價格為26/5。
如果限制式為≧，dualprice為“-z”，
∵RHS值↑
更滿足此限制式，dualprice代表預期改變
的程度，如果dualprice為負值，表示Z↓
最大化問題
中，如果限制式為≧dualprice=-Z
表6.1各種限制條件的對偶價格在表內位置
限制式形式 對偶價格
≦ 此限制式的惰變數的Zj值
≧ 此限制式剩餘變數Zj值的負值
＝ 此限制式人工變數的Zj值
例：
（極小化問題）
Min2X1＋3X2
s.t.1X1≧125產量A需求量
1X1＋1X2≧350總產量
2X1＋1X2≦600生產時間X1，X2≧0
其中X1＝產品1產量X2＝產品2產量
求極小化問題，我們將目標函數乘以（-1）變成極大化問題，上例之最後單形表以極大化問題求得下表：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
-2
-3
0
0
0
x1
x2
S1
-2
-M
0
1
O
0
0
1
0
0
0
1
1
-2
1
1
-1
1
250
100
125
Zj
Cj－Zj
-2
0
-3
0
0
0
4
-4
1
-1
-800
表6.2M＆D化學公司問題對偶價格
限制條件
產品1需求量
總生產量
生產時間
條件式形式
≧
≧
≦
對偶價格
0
-4
1
RHS值與可行區間
1.右手邊係數的可行性範圍為其係數的範圍能使影子價格維持不變。
2.可行性範圍也是目前基本變數組合仍然能維持最適組合的範圍（雖然其值已改變）。
例：
（極大化問題）
Max50X1＋40X2
s.t.3X1＋5X2≦150裝配可用工時
1X2≦20P型顯示器
8X1＋5X2≦300倉儲空間
X1，X2≧0
其中X1＝D型產品件數X2＝P型產品件數
若裝配可用時間（b1）改變，試問目前的基本變數是否仍合理?
最後單形表如下：
（舊解）
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
1980
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1980（基本變數X1，X2，S2）。
若b1由原來150小時增加為160小時，其最後單形表如下：
（新解）
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
15.2
4.8
28.0
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
2008.0
解：
X1＝28，X2＝15.2，S1＝0，S2＝4.8，S3＝0，Z＝2008（基本變數X1，X2，S2）。
注意：
新解與舊解之基本變數不變，且合理（因X1，X2，S2≧0）。
Ｚ由原來1980元增至2008元，增加28元，此種改變可從原最後單形表求得，因最後單形表僅改變（與b1＝150的最後單形表比較）基本變數值及目標函數值，亦即只改變單形表的最後一行。
在單形表的新最後一行，只要加上10乘在S1行的四個元素到以前表的最後一行即可。
舊解b1改變量S1行新解
128/2515.2
新解＝8＋10-8/25＝4.8
30-5/2528.0
198014/52008
S1行之每一係數為每當增加一單位的S1，使各基本變數減少的量，換句話說，變數S1帶進解中一單位，則目前每個基本變數要自解中帶走之單位數；即S1的變動對X2的影響（即S1與X2的替代關係）。
反之亦然。
因此在S1行的元素可以解釋為每增加一單位b1目前基本解的改變量。
上述新解為可用裝配時間增加10單位，而得到的基本變數及目標函數值的改變量。
將上述新解以下式表示，即可求得b1之合理範圍：
x2128/2512＋8/25Δb1
s2＝8＋Δb1-8/25＝8－8/25Δb1（6.6）
x130-5/2530－5/25Δb1
為保持基本變數仍為合理且最適，因此b1的改變，需滿足以下條件：
12＋8/25Δb1≧0（6.7）
8－8/25Δb1≧0（6.8）
30－5/25Δb1≧0（6.9）
得-37.5≦Δb1≦25
原裝配時間為150小時，∴b1＝150＋Δb1
∴之合理範圍為112.5≦b1≦175
只要可用時間在112.5及175小時之間，目前最適解仍然合理且原基本變數仍為基本變數，但基本變數之值會改變。
驗証：
若b1由150小時增至175小時，試問b1變動前的基本變數是否仍為變動後的基本變數嗎?
其值是否改變?
對目標函數值會有什麼影響?
解：
1.b1由150小時增至175小時，共增加25小時，基本變數變成：
X2＝12＋25（8/25）＝20
S2＝8＋25（-8/25）＝0
X1＝30＋25（-5/25）＝25
基本變數不變，但X1由30單位減至25單位，由X2由12單位增至20單位，不改變基本變數，但會改變基本變數值。
2.利潤增加至1980＋（14/5）（25）＝2050元，利潤增加（14/5）（25）＝70元。
引申得知：
1.若限制式為“≦”，其合理範圍以下式求得：
b1a1j0
b2a2j0
最後單形表中對應限制式i惰變數的行
.＋Δb1.≧.（6.12）
目前解（最後單形表的最後一行）
...
...
bmamj0
2.限制式為“≧”，其合理範圍以下式求得：
b1a1j0
b2a2j0
最後單形表中對應限制式i剩餘變數的行
.－Δb1.≧.（6.13）
目前解（最後單形表的最後一行）
...
...
bmamj0
多項同時改變：
方法與第三章之“百分之百規則”同。
⏹6.2對偶特性
正規型（canonicalform）：
一個極大（小）化問題，所有限制條件均為“≦”（“≧”）及各變數均為非負，稱為正規型。
原題與偶題之關係（以下以海德公司為例）：
例：
（原題：
極大化問題的正規型）
Max50X1＋40X2
s.t.3X1＋5X2≦150裝配可用工時
1X2≦20P型顯示器
8X1＋5X2≦300倉儲空間X1，X2≧0
（偶題：
極小化問題的正規型）
Min150u1＋20u2＋300u3
s.t.3u1＋0u2＋8u3≧50
5u1＋1u2＋5u3≧40
u1，u2，u3≧0
u1，u2，u3稱為對偶變數（dualvariables）
極小化問題所有限制式均為“≧”及“非負值”。
因此正規型的極大化問題的偶題是正規型的極小化型。
極大化正規型問題轉變為偶題之規定：
1.偶題是極小化正規型問題。
2.當原題有n個決策變數（n=2在海德例題），偶題就有ｎ個限制式。
偶題的第一個限制式是與原題的X1變數相配合，偶題的第二個限制式與原題的X2變數相配合。
3.當原題有m個限制式（海德問題m＝3），偶題就有m個變數，偶題變數u1與原題的第一個限制式相配合，偶題變數u2與原題的第二個限制式相配合。
4.原題的右邊值變成偶題的目標函數係數。
5.原題的目標函數係數變成偶題的限制式右邊值。
6.在原題限制式中第ｉ個變數的係數，變成偶題中第ｉ個限制式的係數。
海德公司偶題之單形表如下（以偶題表格型解之）：
u1
u2
u3
S1
S2
a1
a2
基底
CB
-150
-20
-300
0
0
-M
-M
a1
a2
-M
-M
3
5
0
1
8
5
-1
0
0
-1
1
0
0
1
50
40
Zj
Cj－Zj
-8M
-150+8M
-M
-20+M
-13M
-300+13M
M
-M
M
-M
-M
0
-M
0
-90M
u1
u2
u3
S1
S2
基底
CB
-150
-20
-300
0
0
u3
u1
-300
-150
0
1
-3/25
8/25
1
0
-5/25
5/25
3/25
-8/25
26/5
14/5
Zj
Cj－Zj
-150
0
-12
-8
-300
0
30
-30
12
-12
-1980
解：
u1＝14/5，u2＝0，u3＝26/5，S1＝0，S2＝0，Z＝1980（因其為使負偶題目標函數的負值極大化，因此偶題目標函數值應為－（－1980）＝1980）。
海德公司原題之最後單形表如下：
X1
X2
S1
S2
S3
基底
CB
50
40
0
0
0
X2
S2
X1
40
0
50
0
0
1
1
0
0
8/25
-8/25
-5/25
0
1
0
-3/25
3/25
5/25
12
8
30
Zj
Cj－Zj
50
0
40
0
14/5
-14/5
0
0
26/5
-26/5
1980
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1980。
原題與偶題之關係為何?
二者之目標函數值相同。
特性1：
若偶題有最適解，原題亦有最適解，反之亦如此，且原題與偶題之目標值相等。
特性1告訴我們，只解偶題亦能得知原題目標函數值。
對偶變數之經濟涵義：
原始目標函數值的結果為：
50X1＋40X2＝1980
（D型單價）（D型產量）＋（P型單價）（P型產量）＝生產總值
對偶目標函數為：
150u1＋20u2＋300u3＝1980
（資源1數量）u1+（資源2數量）u2+（資源3數量）u3=生產總值
u1＝每小時裝配工時的價值=（產出-投入）=MR-MC
u2＝每件P型顯示器的價值=每小時資源價值
u3＝每平方呎倉儲空間的價值
對偶價格：
RHS每增加1單位的價值。
在本章“對偶價格說明”中，已求得對偶價格，如下所示：
資源
裝配時間
P型顯示器
倉儲空間
每額外單位價值（對偶價格）
$2.80
$0.00
$5.20
偶題之最適解u1＝2.8，u2＝0，u3＝5.2，因此在極大化問題中，偶題變數值（u1，u2，u3）與對偶價格（Cs1，Cs2，Cs3）一樣。
對極大化問題，其對偶變數值與對偶價格絕對值相等，但符號相反。
而對極小化問題，對偶價格與偶題變數值絕對值相等，但符號相反。
用對偶命題找出原題的解：
特性2：
已知最適偶題解的簡捷表，原題決策變數的最適值是在剩餘變數的Zj之處。
原題惰變數的最適值是在uj變數的Cj－Zj項的負值。
偶題之最後單形表如下：
u1
u2
u3
S1
S2
基底
CB
-150
-20
-300
0
0
u3
u1
-300
-150
0
1
-3/25
8/25
1
0
-5/25
5/25
3/25
-8/25
26/5
14/5
Zj
Cj－Zj
-150
0
-12
-8
-300
0
30
-30
12
-12
-1980
解：
X1＝30，X2＝12，S1＝0，S2＝8，S3＝0，Z＝1980
找出任意原題的對偶命題：
例：
（極小化問題）
原題如下：
Min6X1＋2X2
s.t.5X1－1X2≧13
3X1＋7X2≧9
X1，X2≧0
偶題如下：
Max13u1＋9u2
s.t.5u1＋3u2≦6
－1u1＋7u2≦2
u1，u2≧0
例：
（極小化問題）
原題如下：
Min2X1－3X2
s.t.1X1＋2X2≦12
4X1－2X2≧3
6X1－1X2＝10
X1，X2≧0
↓正規型（6X1－1X2＝10拆成兩個不等式）
Min2X1－3X2
s.t.－1X1－2X2≧－12
4X1－2X2≧3
6X1－1X2≧10
－6X1＋1X2≧－10X1，X2≧0
↓對偶命題
Max－12u1＋3u2＋10u´3－10u〞3
s.t.－1u1＋4u2＋6u´3－6u〞3≦2
－2u1－2u2－1u´3＋1u〞3≦－3
u1，u2，u´3，u〞3≧0
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