千淘万潞虽辛苦吹尽黄沙始到金探究.docx
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千淘万潞虽辛苦吹尽黄沙始到金探究
千淘万潞虽辛苦吹尽黄沙始到金
浙江省象山中学315700张宗余
2003年11月26日，笔者代表宁波市参加浙江省第二届高中数学优质课评比，获得一等奖，内容为《等差数列
（一）》。
本文围绕这节概念课教学设计的多次试教与修改过程，谈谈在新教学理念下的课堂教学的设计。
一．最初的设想方案
数列在整个中学数学教学内容中处于一个知识汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有着广泛的实际应用。
《等差数列》这节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材。
教材重视从通过鞋号、座位数、运动员训练量等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。
同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系。
本节课的教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
基于上述教学目标，笔者设计了一个“创设情景——引出概念——提出问题——解决问题的教学模式：
情景设计
有关象山经济软环境的几组数据。
（为了便于研究上述的数字经过近似处理）
98
99
00
01
02
人口总量
53.45
53.30
53.15
53.00
52.85
耕地面积
28.70
29.00
29.30
29.60
29.90
请你根据上述数据的特点猜想一下2003年象山的人口总量与象山耕地面积各是多少?
S:
人口为52.70万,耕地面积为31.20万平方米
引入课题
T:
是否能借助于科学的方法?
避免乱猜!
S:
1.数列的每一项都是前一项加上一个常数.
2.都满足递推关系式an=an-1+d（d是常数）n=2、3……
T:
对满足这种递推关系式的数列一定蕴涵着某种关系,为了加强感性的知识,请同学们举例说明:
S:
举例:
1、2、3、4、5、6、7d=1
10、15、20、25、30、35、40d=5
100、90、80、70、60、50、40d=10
概念
T:
这样的数列举不胜举,同学们能对满足这样递推关系式的数列起个名字吗?
并给她下个定义么?
S:
“等差数列”、“等加数列”
T:
根据数列的递推性我们强调从第二项起,后一项减前一项为同一个常数.an为等差数列的通项,d为等差数列的公差.
等差数列的概念（略）
再提出问题
问题2:
你能求出2010年象山的人口总量和象山耕地面积各为多少?
（请你在分析数据的基础上进行推理）
S:
用递推关系式（不切实际）
S:
如果能知道数列的通项式,就可以直接代入.
T:
如何推导呢?
我们把问题推广到一般情况.数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7…成等差数列,求数列的通项.
分组讨论总结反馈
方法1：
归纳、猜想
方法2：
叠加法
教师讲解
方法3.用图象表示:
解决问题
1.解决学生举例的通项公式
2.解决2006年象山人口总量与耕地面积
an=53.45-（n-1）×0.15
an=28.70+（n-1）×0.2代入即可
小结1.等差数列的概念
2.等差数列的通项
二、对教学过程的“在展现”
上述方案形成后，我广泛征导求宁波市众多数学老师及象山中学数学组各位老师的意见，对设计方案进行了多次修改，还作了五次试教。
下面是我参加省优质课评比时的教学实录。
教学情景的设计：
（在课前播放象山的风景片）
T：
同学们：
谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡---象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师特意从象山统计局拿来几组有关象山经济软环境的数据。
表一（单位:
万）
97
98
99
00
01
02
人口总量
53.60
53.45
53.30
53.15
53.00.
52.85
耕地面积
28.40
28.70
29.00
29.30
29.60
29.90
表二（单位:
元）
2月
4月
6月
8月
10月
房价
2000
2300
2600
2900
3200
工资
1200
1200
1200
1200
1200
（为了便于研究，上述的数字经过近似处理）
思考1：
上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？
T：
从两方面考虑：
从宏观上（移居大城市，计划生育、围海造田等）
从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）
53.60
53.45
53.30
53.15
53.00.
52.85
28.40
28.70
29.00
29.30
29.60
29.90
2000
2300
2600
2900
3200
1200
1200
1200
1200
1200
T：
同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征。
S1：
后一项与它的前一项的差等于常数（描述1）
T：
反例：
1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：
不一样，要加上同一常数，
S2：
每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）
T：
反例：
1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
S：
不一样，必须从第二项起。
S3：
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（描述3）
（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：
1、同一常数，2、从第二项起）
T：
用数学符号语言：
S4：
-
=d
T：
等价么？
S5：
应加上（d是常数）n≥2,n∈N*
（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）
T：
对式子进行变形可得：
=
+d（d是常数），n≥2,n∈N*
如果我们能跳出d的思维定势，能得到很多的公式变形。
（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）
T：
这样的数列在你日常生活中存在？
S：
举例：
1，2，3，4，5，6，7，···d=1
10，15，20，25，30，35，40d=5
100，90，80，70d=-10
（让学生举例，加深对数列的感性认识）
T：
满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？
S：
等差数列
（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。
当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）
定义：
一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差。
为数列的首项。
，
，
，···
···（n≥2,,n∈N*）
（提出课题《等差数列的概念
（一）》）
（对定义进行分析，强调：
1、同一常数，2、从第二项起。
同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。
）
数学史的介绍：
等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”···都记载着等差数列大量研究。
被誉为“数字推理的第一思维”。
T：
回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差。
d=-0.15、d=0.30d=300d=0
（引导学生发现公差d对数列的影响，当d>0时数列是递增，当d<0时数列是递减，当d=0时数列是常数列。
》
53.60
53.45
53.30
53.15
53.00.
52.85
T：
见上表，请7号的同学回答a7，请8号的同学求a8，请42号的同学求a42···
S：
若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；
（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）
T：
我们把问题推广到一般情况。
若一个数列
，
，
，···，an，···是等差数列，它的公差是d，那么数列{an}的通项公式是什么？
方法1．n=2
n=3
n=4
·····
当n=1时，也成立。
（归纳、猜想。
培养学生合情推理的能力）
方法2。
用叠加得
，当n=1时，也成立。
整理得：
n∈N*
T：
1、对通项公式进行分析；通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）
2、
，n、m∈N*
挖掘等差数列的函数特征：
等差数列的通项公式an=a1＋（n－1）d．可表示为an=dn＋c（其中c=a1－d，n属于N*）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（x属于R）的图象上的一群孤立的点．（画图略）
（在数列的通项公式中，每取一个n，都有唯一一个an与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）
T：
回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式。
=53.60+（n-1）▪（-0.15）
=28.40+（n-1）▪0.30
=2000+（n-1）▪300
=1200+（n-1）▪0
思考2：
如果在一定时间内象山的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出2010年象山人口总量？
到第几年人口总量会小于51万？
（请你在分析数据的基础上进行合情推理）。
问1：
方法1等差数列
=53.60，则2007年为第11年，n=11，求
=；
方法2：
若
=52.85，求
=。
方法3：
也可从函数角度解；求f（11）。
问2：
解：
设2002年为第一年，第n年后象山的人口总量小于51万。
=52.85+（n-1）（-0.15）<51
n>
≈13.3
所以：
第14年后即2015年时象山人口总量小于51万
（引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本量法的理解，以及决定等差数列要素的选择）
小结：
思考3：
等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？
在生活中寻找一些数据进行一次探索？
（研究性作业）
三、修改过程及一些设想
（一）情景设计
设计一个好的初始问题是教学成功的第一步。
怎样设计一个好的初始问题？
是选用教材的例子引入新课，还是另择他径呢？
考虑到不少学生课前可能阅读或者翻阅了课本，则课堂引入缺乏新意。
笔者在课前设计二组方案。
方案一：
从实际生活中寻找例子，笔者从象山统计局拿来近5年象山人口总量、耕地面积等实际数据。
方案二：
借用中国古代传说中的“洛河图”即（三阶纪方），将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填入9个方格中（使每行、每列及对角线上的三个数字和（这个和标为“魔数”）均相等，让学生讨论将等差数列的教学与“幻方”“魔数”等有趣的概念结合起来，使学生对等差数列的认识建立在一种生动的背景上，既提高学生学习的兴趣，探索和交流的欲望，又使他们在探索“幻方”规律的过程中，对等差数列的性质有了非常直观的理解。
这两种方案的设计舍取一直困惑着笔者，最终考虑到在公开课上用方案二这种“讨论式”的课堂教学比较难以控制，教学时间上也无法保证，所以最终笔者选择了方案一。
让通过学生观察分析实现问题（或现象）分离或抽象出数学有关的数量关系，有利于引导学生从实际情境中发现问题，归纳为数学模型，培养学生数学建模能力。
修改反馈：
1、表格数据只反映等差数列两种特性，许多老师建议增加一个表格其数据是常数列，能全面反映出等差数列的特点。
如个人基本工资等，当然许多老师强调数据要真实，要避免负面效果，比如耕地面积的增大，不适合“退耕还林”的国策等等。
2、思考的设问虽意在引导学生猜想，但立意不深。
建议将其改为开放性的提问，既增加趣味性，又增加设问的人文气息。
如“谈谈你对象山经济发展的看法”或“上述表格反映出怎样信息”。
的确这样一修改课堂气氛就活跃了，许多学生提到了计划生育、人口城市化迁移、围海造田、房地产问题等社会问题。
（二）、引入课题
思考一。
笔者认为教材从三个数列，马上提问“这些数列有什么共同特点”，尤其是让学生“每一次减前一次的差都等于”这一特征去发现问题，造成学生思维的定势，没有一个让学生自主观察、发现、探索的空间。
笔者曾经也听到一些老师上等差数列，从给出数列到分析特征，到完成定义的呈现，一二分钟就完成，完全是教师操纵下的一种说教，学生的参与也只是填空式的回答，笔者认为这样教学不利于学生能力的培养。
思考二。
教师在概念教学时，切忌直截了当地就定义而讲定义，应更多地从概念而产生和发展的过程中为学生提供思维情境，让他们通过观察，比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象。
笔者认为本节课的等差数列的概念引出符合数学概念形成过程，体现新课程的教学理念。
尤其是让学生用自己的语言去概括给这类数列下一定义，笔者认为这是整节课的一个亮点。
修改反馈：
1、对“数学化”的思考。
许多老师都在评课过程中都提到了“数学化”问题，他们认为数学知识是一种包含有猜测，错误和尝试，证明与反驳，实验与改进的复杂过程，认为数学问题的重要性不仅取决于它的实践意义，而且也取决于它的数学意义，所以数学课堂教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程。
部分老师还提出对“数学化”的几点建议：
①让学生目睹从表格中提取四组数列的过程（给予板书）②然后让学生从数学符号语言和文学语言来描述。
2、体现过程的教学。
在前几次试讲中，笔者让学生用文字语言概括时，对学生的错误回答，或立即给予纠正，或马上让其他学生补充，而这个过程却是展示学生学习理解的过程，而教师却往往忽视。
下面是笔者对这个数学过程修改后的展示。
：
后一项与它的前一项的差等于常数（描述1）
：
反例：
1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？
：
不一样，要加上同一常数。
：
每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）
：
反例：
1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？
：
不一样，必须从第二项起。
：
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（描述3）
3、对学生教学严谨性的培养
对数学概念严谨性的培养，应是教学概念课的重要教学目标。
几次修改后教学设计严谨性表现在：
（1）文字语言形成过程，
（2）符号语言的形成过程和两种表达的比较（3）改动学生举例，让学生套用定义，看破坏了定义中的哪些条件。
4、对于下定义引发的争论
在笔者每次试讲后的评课过程中，几乎每次都提到是“否有必要对数列下定义”的问题。
笔者的设计意图是：
（1）突出“等差”的特性，同时也为在推导通项公式中用着加法，打下伏笔；
（2）联系高等数学的差分，从学生反映情况来看，许多同学都提出“等差数列”、“等加数列”的概念，但许多听课老师都认为没有必要对“等加数列”进行分析，这样有偏离重点之嫌。
5、对渗透人文教育的想法
数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。
所以笔者在教学设计过程：
①充分开发和利用本地的教育资源。
在教学课前三分钟，笔者播放一段关于象山风景片。
让学生了解象山的人文景观，激起学生对象山问题进一步了解的渴望。
②结合有关问题有意识融入数学史的教学。
贯穿数学文化的发展历程，利用它可以激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，启发学生人格成长，预见学生的认知发展，指导并丰富教师的课堂教学，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁。
（三）、推出公式
等差数列通项公式的推导是本节课的重点之一。
如何将它与等差数列的概念自然地衔接在一起，笔者可谓“煞费苦心”。
所以在教学设计过程中，笔者一直在考虑二个问题：
第一，如何呈现这个知识点？
第二，与概念如何自然衔接？
对于问题一，笔者设计了“思考2：
你能求出2010年象山的人口总量和象山耕地面积各为多少？
”估计学生会去一年一年的相加，此时教师如提出2050年的话定会出现逐年相加的结果，让学生感到求通项公式的必要性和迫切感。
这样积极引导学生主动思考，参与知识获得的全过程，笔者认为这样设计意图很好，但美中不足是“思考2”问题本身设计艺术性不强。
对于问题二，笔者认为这是本节课教学设计的难点，如何将其两块内容自然地衔接，是笔者的“困惑”。
修改反馈：
1、对两处教学内容衔接处的融合。
（1）从概念到通项公式的推导：
笔者在第一次设计的“思考2”其目的就为了引导等差数列通项公式的必要性，但问题的给出却显得很唐突，最后笔者设计这样一个引入，对于表格中的一个数列，请7号同学求a7，请8号的同学求a8，请53号的同学求a53，这样一来很自然将问题引到求数列的通项公式中。
（2）从等差数列到一次函数，在讲等差数列的概念时，突现它与一次函数的联系，便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质，对这两块内容，笔者最后是这样修改引入的。
一个n都有唯一个an对应，这来我们以前学过的什么内容类似，引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数，并告诉学生这不是新的知识，而是函数旧知的延伸和拓展。
2、对“再创造”的设计
在用叠加法对等差数列的通项公式推导过程中，学生提出
从上到下少加一行，就会得到
，少加两行就会得到
…即得到
这个重要的通项变式。
（四）、对于公式的应用
笔者听了一些老师的课，他们把“公式的应用”作为这节课的重点，注意公式的变形，注意公式的变式训练，一题多解。
笔者认为这样教学是学生被动接受式的教学，他们认为教学课本中的知识是前人研究成果的汇集，教师在课堂教学中的主要任务是实现结果的传授，重视成果的应用，提高解题的技能，以为数学的价值在于为人们日常生活提供了一种工具，学生的能力体现在于会合理运用数学知识解决实际问题上，而笔者将教学重点放在概念引出和公式的推导上。
（五）对小结的再认识
有位老师提出了以“问题提出——问题解决——再提出问题”的教学模式，把问题来作为小结非常有新意。
所以笔者设计了思考3，即作为研究性作业，又为下节课研究等差数列的性质坦下伏笔。
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