研究生数学建模竞赛优秀论文选《高速公路路面质量改进的分析》226页.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《高速公路路面质量改进的分析》226页

1问题重述

高速公路路面的寿命对降低高速公路的运行成本、保障运输安全有着极其重要的意义。

其建设工艺比较简单：

以分别达到各自标准的沥青、矿粉、碎石做原料，按一定的比例组成为混合料，经过充分拌和后，比较均匀地铺在已经造好的基层上、再经多次碾压路面以达到设计的压实度，最后经过一段时间让沥青路面降温就可以交付使用。

题中首先给出了一些影响公路路面质量的指标：

油石比、筛孔通过率、空隙率（VV）、矿料间隙率（VMA）、饱和度（VFA）、粉胶比（DP）、毛体积密度、最大理论密度、%Gmm（最初）和%Gmm（最大）。

然后又给出了高速公路路面质量的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个指标：

冻融劈裂强度比（TSR（%））、浸水马歇尔稳定度比（S0（%））、车辙、弯拉应变。

现有一批关于原料和上述指标的数据，题中要我们对这些数据进行充分地分析、研究，以获取尽可能多的提高高速公路路面质量的有用信息，进而解决如下问题：

一、描述高速公路路面质量的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个指标之间有没有数量关系？

如果有，建立它们之间的数学模型。

二、建立描述高速公路路面的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个质量指标和影响高速公路路面质量的最重要和比较重要的因素之间比较精确的数学模型，并给出选择这些因素的理由，进而根据上述模型给出可以提高高速公路路面质量的方案。

三、从理论上探讨集料的筛孔通过率（即级配组成，指混合料中粗细不同集料的构成比例）与路面压实度的上界（数学意义下的上界）之间的数量关系。

四、判断沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能有没有影响，以及不同厂家、不同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能有没有影响。

五、根据对数据分析的结果，判断现在测试高速公路路面质量的试验项目中是否有重要的遗漏，进而向高速公路建设部门给出我们的建议。

2问题分析

1.1对附件中数据的分析

从附件一中不难看出，表格中存在一些缺失数据，显然如何处理这些数据会直接影响到模型的优劣。

处理缺失数据的方法主要有两种，一种是忽略法，即直接忽略缺失值而利用剩余的值进行分析；另一种是推断填补法，即利用数据集中其它完整的数据，通过回归分析、贝叶斯计算公式或决策树等预测方法，推断出该位置最可能的取值。

由于推断填补法采用的回归分析、贝叶斯公式或决策树等

方法都带有一定的误差，从而会在我们的多元线性回归模型中引入新的误差，影响模型的精确度，同时考虑到表中还存在大量的完整数据，因此在模型的建立与求解过程中，我们不采用推断填补方法，而是直接忽略这些缺失数据，当然在忽略的时候要忽略该缺失位置所在行的数据。

由于附件一中给出的是测量数据，误差在所难免，但是一些明显的异常值会对结果产生质的影响，因此在建模时首先要对这些值进行处理，对某些明显存在问题的数据，我们采用了将其所在行的数据忽略的方法。

例如附件一中第226行的车辙指标的数据为31450，通过与其他行数据的比较，我们发现该数据在数量级上存在误差，对结果影响太大，因此在建模时我们首先在数据集中去除了该行数据。

1.2对问题一的理解

问题一要我们判断高速公路路面质量的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个指标之间有没有数量关系，并给出相应数学模型。

即要判断附件一中最后四列值间的数量关系，这显然是一个多元回归问题。

为了使结果更加细致、全面，我们首先判断任两个指标间的数量关系，然后判断任意三个指标间的数量关系，最后再判断四个指标间的数量关系。

为了更加直观的表述指标间的数量关系，我们可以定义一个度量来衡量其数量关系。

在判断两个指标间的数量关系时，可以通过计算其相关系数判断其相关性，相关系数即作为衡量其数量关系的度量。

在判断三个指标间的数量关系时，我们可以采用多元回归分析的方法，由于有效数据量较小，这里我们采用多元线性回归模型进行分析。

在模型的建立过程中，任取四个指标中的一个指标作为因变量，在其余三个指标中任取两个指标作为自变量，进而建立我们需要的多元线性回归模型，显然对每个因变量需要建立三个模型，以判断其与其它任意两个指标的数量关系，当因变量取遍所有的指标时即可得到每个指标与其它任意两个指标的关系。

为了得到任意三个指标间的最合适关系，我们引入残差平方和，通过对残差平方和的改进引入了一个衡量因变量指标和自变量指标间数量关系表达式优劣的度量，我们称之为拟和度，拟和度越小说明残差平方和越小，即说明因变量指标和自变量指标间数量关系表达式越精确，以此作为衡量标准可以得出三个指标间最优的关系表达式。

在判断四个指标间的数量关系时，任取四个指标的一个指标作为因变量，其余三个指标作为自变量，进而建立相应的多元线性回归模型，当因变量取遍所有的指标时即可得到每个指标与其它三个指标的关系，最后通过拟和度来衡量因变量指标和自变量指标间数量关系表达式的优劣，进而找到四个指标间最优的关系表达式。

显然，数量间的关系不仅仅指线性关系，而在上述求解模型中我们只讨论了

指标间的线性关系，为了使结果更加全面，我们在模型的进一步讨论中讨论了指标间的非线性关系。

1.3对问题二的理解

问题二要我们建立描述高速公路路面的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个质量指标和影响高速公路路面质量的最重要和比较重要的因素之间比较精确的数学模型，并根据上述模型给出可以提高高速公路路面质量的方案。

由于题中没有给出沥青、石料对质量指标影响的量值，因此在此问题的求解中，我们首先假设沥青、矿石质量对质量指标的影响可以忽略不计，进而建立每个质量指标与前面因素之间的多元回归模型，通过计算得出每个自变量的偏回归平方和，偏回归平方和可以衡量每个自变量在多元线性回归中所起的作用，从而根据每个自变量的偏回归平方和可以找到影响该指标的最重要和比较重要的因素。

由于通过筛口百分率这一因素的特殊性，我们分别采用两种方法进行了建模：

一种是取其中一列作为该因素的代表进行回归分析；另一种是将该因素所有列都参与回归分析。

当然忽略沥青、石料对质量指标的影响是建立上述模型的需要，但是其影响是客观存在的，因此在讨论了上述模型后，在模型的进一步讨论中，我们还分析了这两个因素的影响，即在附件一中找了几组特殊的数据，分别考虑了固定沥青、石料等信息通过分析因素差值对质量指标差值的影响，找到了影响质量指标的最重要和比较重要的因素，当然此模型一个很大的缺点就是数据量太小，结果不够精确，但可以作为第一个模型的补充和完善。

1.4对问题三的理解

问集料的筛孔通过率是指集料中能够通过直径大小不同的各种筛孔的各部分的质量占集料总质量的比例，即混合料中粗细不同集料的构成比例。

这个指标反映的是集料的级配组成。

路面压实度的上界（数学意义下的上界）是指经过无数次的压实，在实际情况下可能达到的最大压实度，也就是说即使压实密度达到最大，试件内部还是有可能有空隙。

实际中路面压实度的上界达不到100%，这是由两个因素导致的。

1）集料是由各种不同形状、不同大小的碎石颗粒组成的混合物，理论上不可能使填充率达到100%，总会有空隙存在。

2）沥青是集料粘合剂，它的性质（比如流动性差）以及用量决定了沥青不可能填充完集料间隙，而且沥青冷却也会造成空隙。

给定一组筛孔通过率就相当于给定一个堆积颗粒系统的级配分布，根据此级配分布总存在一个最优堆积结构使得空隙率最小，此时路面压实度达到它在数学意义下的上界，即不能再压，否则球体就会“破裂”。

根据上面的分析，问题三就转化为求紧密堆积颗粒系统中颗粒级配组成与堆积率之间的数量关系。

表征颗粒堆积状态的基本参数有空隙率、堆积率、配位数、空隙（孔隙）分布等。

其中：

空隙率---空隙率为颗粒体中空隙所占的容积率。

堆积率---堆积率λ表征颗粒体中固体颗粒所占的容积率配位数---每个颗粒和周围其他颗粒接触点的数目。

为了简化问题，先做如下假设：

1）集料里的碎石颗粒都是球体。

2）考虑到当筛孔孔径小到一定程度时，通过该筛孔的集料可以看成是连续的填充空间，即间隙率为0;国际上以2.36mm为区分粗细集料的标准，所以我们假设粒径小于2.36mm的集料对空间的填充度为100%，即不考虑粒径小于2.36mm的集料对路面压实度的影响。

下面我们只考虑粒径较大的颗粒的最优堆积情况。

3）假设颗粒粒径是不连续的，即只考虑不连续粒径颗粒的堆积问题。

解题思路：

我们先从只有一种颗粒的体系入手，通过理论计算得到了最大堆积率，再考虑体系包含多种颗粒的情况。

由于包含大量多尺度颗粒的体系，其级配组成与堆积率的关系还不清楚，所以我们通过查阅资料，决定先考虑几种特殊情况,比如细颗粒的尺寸和数量刚好能填满粗颗粒的空隙。

然后再对一般情况应用已有的结果进行讨论，最后得出了集料级配组成与颗粒堆积密度的关系。

1.5对问题四的理解

为了更好的理解该问题，我们先对该问题涉及到的一些概念进行分析：

（1）“碎石质量”中的质量不是物理学中重量的概念，而是指等级质量，即衡量好坏的一类标准，例如质量好、一般、差等。

（2）“不同厂家、不同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石”理解为：

不同厂家的但型号相同的沥青和不同产地的但类型相同的碎石，即沥青分厂家和型号而碎石分产地和类型。

求解该问题主要是解决两个问题，下面分别对这两个问题进行分析：

第一、判断沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能有没有影响。

判断对性能的影响即要判断对性能四个指标的影响，显然这是一个判断因素对试验结果影响的问题，而方差分析法就是一种根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。

考虑到此问题涉及到沥青、碎石质量两个因素，且数据不具备重复的条件，因此我们可以采用双因素无重复试验的方差分析法进行求解。

在分析数据时，我们认为：

此问题中的沥青只考虑普通沥青和改性沥青两种

类型，即沥青因素仅有两个水平；由于碎石质量由厂家和型号共同决定，因此我们认为厂家和型号均相同时才算一个水平。

这样就可以建立起双因素试验的方差分析法所需要的数据集，进而建立模型解决该问题。

第二、判断不同厂家的但型号相同的沥青和不同产地的但类型相同的碎石对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能有没有影响。

这仍然是一个判断因素对试验结果影响的问题，同样可以采用方差分析法。

但是通过对数据进行分析我们发现，可用作双因素试验方差分析法的数据几乎没有，因此双因素试验的方差分析法不可行，鉴于此，我们采用了单因素试验方差分析法，即独立的考虑不同厂家但型号相同的沥青和不同产地但类型相同的碎石对公路路面性能的影响。

1.6对问题五的理解

问题五要我们根据对数据分析的结果，判断现在测试高速公路路面质量的试验项目中是否有重要的遗漏，进而向高速公路建设部门给出我们的建议。

从题目中所给的数据可知，现在测试高速公路路面质量的试验项目都是基于如何延长高速公路路面寿命做的，虽然使用寿命对成本和保障运输安全有极其重要的意义，但我们觉得实际中仅考虑这些是远远不够的，因为公路还有很多其他的重要属性，而这些属性又是由不同的因素决定的，因此通过查阅资料，我们找到了几个对路面质量影响比较大而试验项目中又不是很重视的因素，如果将这些因素加入到试验项目，会使试验变得更具体、全面。

3模型假设1.假设不考虑基层质量对路面质量的影响；2.假设附件中给的数据是可信的；

3.假设沥青技术标准中的气候分区对我们分析问题没有影响；

4.假设弯拉应变的单位对分析问题没有影响，即可以不考虑；

4符号说明

1

y（j）（j=1,2,,290）：

附件一中冻融劈裂强度比（TSR（%））指标在第j行的取

值。

2

y（j）（j=1,2,,290）：

附件一中浸水马歇尔稳定度比（S0（%））指标在第j行的

取值。

y3（j）（j=1,2,,290）：

附件一中车辙指标在第j行的取值。

y4（j）（j=1,2,,290）：

附件一中弯拉应变指标在第j行的取值。

yi（i=1,2,3,4）：

表示对应的指标所在列的均值。

i

y（j）（i=1,2,3,4;j=1,2,,290-k）：

表示对应的指标去除要忽略的行后按原次序重新排列后第j行的取值，其中k为要忽略的行的数目。

SLX：

拟和度。

i

x（j）（i=1,3,4,10;j=1,2,,290）：

依次表示附件一中油石比、VV、VMA、

VFA、DP、毛体积密度、最大理论密度、%Gmm（最初）和%Gmm（最大）在第j行的取值。

2,i

x（j）（i=1,2,13;j=1,2,,290）表示附件一中通过筛孔百分率一栏中第i列

第j行的取值。

x（j）（i=1,3,4,10;j=1,2,,290-k）和x（j）（i=1,2,13;j=1,2,,290-k）：

i2,i

分别代表相应数据在忽略某些缺失数据后重组的数据，其中k为要忽略的行的数目。

5模型建立与求解

本部分，我们将建立该题目的数学模型并给出各问题的求解。

5.1问题一的求解

为了使结果更加细致、全面，我们将分三步求解该问题：

首先判断任两个指标间的数量关系，然后判断任意三个指标间的数量关系，最后再判断四个指标间的数量关系。

5.1.1任两个指标间的数量关系

我们采用相关系数作为衡量两个指标间数量关系的度量，下面以冻融劈裂强度比（TSR（%））指标和浸水马歇尔稳定度比（S0（%））指标间的数量关系为例给出我们的模型。

i

设y（j）（i=1,2,3,4;j=1,2,,290）依次表示附件一中冻融劈裂强度比指标、浸

水马歇尔稳定度比指标、车辙指标和弯拉应变指标在第j行的取值。

首先对附件一中的数据进行初步处理：

首先去除一些异常值（见1.2中对异常

值的分析），对剩余的数据，若第j行数据中，y（j）或者y（j）有缺失值，则忽略第

12

1

j行的数据，即在相关系数的求解过程中不使用此行的数据，然后根据忽略的行数重新记录这两列的数据，但次序不变，依次设为y（j）（j=1,2,,290-k）和

2

y（j）（j=1,2,,290-k），其中k为要忽略的行的数目。

则对二维子样

12

（y（j）,y

（j）

=-

）（j1,2,,290k），有

1290-k（i）1290-k（i）

均值：

y1=290-k

∑y1

i=1

，y2=290-k

∑y2

i=1

1

290-k

2

（i）22

1290-k

（i）2

方差：

Sy=290-k

1

∑（y1

i=1

290-k

-y1）

（i）

，Sy2=290-k

（i）

∑（y2

i=1

-y2）

12

协方差：

Syy=290-k

∑（y1

i=1

-y1）（y2

-y2）

12

因此，子样（y（j）,y（j））（j=1,2,,290）的相关系数为：

Ry1y2

S

=12

yy

SS

12

代入附件一中的数据，即可求得冻融劈裂强度比（TSR（%））指标和浸水马歇尔稳定度比（S0（%））指标间的相关系数，对于表中的缺损值，我们采用直接忽略的方法，这一点在1.1（对附件中数据的分析）一节中已经做了详细的说明，这里不再赘述。

同理可以求得四个指标中任意两个指标间的相关系数（见下表）。

表5.1

冻融劈裂强度比

浸水马歇尔稳定度比

车辙

弯拉应变

冻融劈裂强度比

1

0.30189

0.15289

0.10122

浸水马歇尔稳定度比

0.30189

1

0.3076

0.2039

车辙

0.15289

0.3076

1

0.30846

弯拉应变

0.10122

0.2039

0.30846

1

由表5.1可以看出：

任意两个指标间的相关系数都较小，但均不为0，即任意两个指标的数量之间存在一定的联系，但是联系都不太明显。

5.1.2任意三个指标间的数量关系

在分析三个指标间的数量关系时，可以采用多元回归模型，这里我们采用多元线性回归模型进行求解。

模型基本思路如下：

任取四个指标中的一个指标作为

因变量，在其余三个指标中任取两个指标作为自变量，进而建立我们需要的多元线性回归模型，显然对每个因变量需要建立三个模型，以判断其与其它任意两个指标的数量关系，当因变量取遍所有的指标时即可得到每个指标与其它任意两个指标的关系。

i

设y（j）（i=1,2,3,4;j=1,2,,290）依次表示附件一中冻融劈裂强度比指标、浸

水马歇尔稳定度比指标、车辙指标和弯拉应变指标在第j行的取值。

首先对附件一中的数据进行初步处理：

首先去除一些异常值（见1.1中对异常值的分析），对剩余的数据，若三个指标中有一个的第j行数据为缺失值，则三

个指标均忽略第j行的数据，即在模型求解过程中不使用此行的数据，然后根据忽略的行数重新记录这两列的数据，但次序不变，依次设为

i

y（j）（i=1,2,3,4;j=1,2,,290-k），其中k为要忽略的行的数目。

i

取y（j）（i=1,2,3,4;j=1,2,,290-k）

作为因变量，

lm

ilm

y（j）（l≠i;j=1,2,,290-k）和y（j）（m≠i,m≠l;j=1,2,,290-k）作为自变量，则对这290-k组数据（y（j）,y（j）,y（j））（j=1,2,,290-k）有：

⎧y

（1）=β+βy

（1）+β

y

（1）+ε

⎪i01l

2m1

⎪y

（2）=β

+βy

（2）+β

y

（2）+ε

⎨i01l

2m2

（5.1）

⎪

⎪y（290-k）=β+βy（290-k）+β

y（290-k）+ε

⎩i01l

2m290-k

其中：

β1,β2为待估参数。

模型（5.1）可以表示成矩阵形式：

Y=Xβ+ε

（5.2）

其中：

Y=（y

（1）,,y（290-k））T，β=（β,β）T，ε=（ε,,ε）T

ii12

1290-k

⎛1y

（1）y

（1）⎫

çlm⎪

ç1y

（2）y

（2）⎪

X=çlm⎪

ç⎪

ç1y（290-k）y（290-k）⎪

⎝lm⎭

方程（5.2）的最小二乘解为：

β=（XTX）-1XTY

Y关于X的多元线性回归方程为：

Y=Xβ

Lii

残差平方和：

S

=∑（y（j）-y（j））2j

（5.3）

由于残差平方和一定程度上反映了回归模型的显著性，但四个指标间数值的数量级差异较大，使得残差平方和不能很好的反映模型的好坏，因此我们通过改进残差平方和得到了一个衡量因变量和自变量间数量关系表达式优劣的一个度

量---拟和度（记为SLX），与（5.3）式对应的拟和度定义如下：

SLX==

显然，拟和度越小说明残差平方和越小，即说明因变量指标和自变量指标间数量关系表达式越精确。

下面我们以考虑第1，2，3个指标间的关系为例对拟和度的应用作一个详细的说明，根据模型首先建立每个指标与其他两个指标间的回归方程，并计算相应的拟和度，最小的拟和度对应的回归方程即为我们要找的三个指标间的关系。

经过计算，我们发现i=2,l=1,m=3时的拟和度最小，为0.032576，此时有：

y=67.546+0.23509y+0.00057425y

213

因此，第1，2，3个指标间的关系式可表示为：

y=67.546+0.23509y+0.00057425y

213

达到此式的拟和度为0.032576。

同理，可以得出任意三个指标间的关系表达式及相应的拟和度。

5.1.3四个指标间的数量关系

分析四个指标间数量关系的模型基本思路如下：

任取四个指标的一个指标作为因变量，其余三个指标作为自变量，进而建立相应的多元线性回归模型，当因变量取遍所有的指标时即可得到每个指标与其它三个指标的关系，最后通过拟和度来衡量因变量和自变量间数量关系表达式的优劣。

由于该模型与5.1.2中的模型仅在自变量的数量上存在差异，因此不再赘述，仅给出计算结果，即每个指标与其余三个指标间的拟和度（见下表）。

表5.2

指标

1-2,3,4

2-1,3,4

3-1,2,4

4-1,2,3

拟和度

0.038

0.0325

0.5879

0.18

注：

i-j,k,l对应的相关度表示第i个指标与其余三个指标间的拟和度

由表5.2可以看出：

当用第1、3、4个指标表示第2个指标时，拟和度最小，因此这四个指标间的关系表达式可表示为：

y=67.6979+0.2366y+0.0006y-0.0001y

2134

相应的拟和度为0.0325。

5.2问题二的求解

由于题中没有给出沥青、石料对质量指标影响的量值，因此在此问题的求解过程中，我们首先假设沥青、矿石质量对质量指标的影响可以忽略不计，进而建立每个质量指标与前面因素之间的多元回归模型，通过计算得出每个自变量的偏回归平方和，偏回归平方和可以衡量每个自变量在多元线性回归中所起的作用，从而根据每个自变量的偏回归平方和可以找到影响该指标的最重要和比较重要的因素。

i

2,i

设x（j）（i=1,3,4,10;j=1,2,,290）依次表示附件一中油石比、VV、VMA、VFA、DP、毛体积密度、最大理论密度、%Gmm（最初）和%Gmm（最大）在第j行的取值；x（j）（i=1,2,13;j=1,2,,290）表示附件一中通过筛孔百分率一栏中第

i列第j行的取值。

建立模型前要先对附件一中的数据进行初步处理：

首先去除一些异常值（见

1.1中对异常值的分析），对剩余的数据，若因变量或自变量有一个缺少第j行的

数据，则因变量和自变量均忽略第j行的数据，即在模型的建立过程中不使用此行的数据，然后根据忽略的行数重新记录这些数据，但次序不变。

x（j）（i=1,3,4,10;j=1,2,,290-k）和