《概率论》第二章习题.docx
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《概率论》第二章习题
第二章事件与概率
1、字母M,A,X,A,M分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM得概率就是多少？
解:
这五个字母自左往右数,排第i个字母得事件为Ai,则
。
利用乘法公式,所求得概率为
2、有三个孩子得家庭中,已知有一个就是女孩,求至少有一个男孩得概率。
解:
有三个孩子得家庭总共有23=8个类型。
设A={三个孩子中有一女},B={三个孩子中至少有一男},A得有利场合数为7,AB得有利场合为6,依题意所求概率为P（B|A）,则
、
3、若M件产品中包含m件废品,今在其中任取两件,求:
（1）已知取出得两件中有一件就是废品得条件下,另一件也就是废品得条件概率;
（2）已知两件中有一件不就是废品得条件下,另一件就是废品得条件概率;（3）取出得两件中至少有一件就是废品得概率。
3、解:
（1）M件产品中有m件废品,件正品。
设A={两件有一件就是废品},B={两件都就是废品},显然,则,
题中欲求得概率为
、
（2）设A={两件中有一件不就是废品},B={两件中恰有一件废品},显然,则、
题中欲求得概率为
、
（3）P{取出得两件中至少有一件废品}=、
4、袋中有a只黑球,b只白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回）,试分别求出三人各自取得白球得概率。
解:
A={甲取出一球为白球},B={甲取出一球后,乙取出一球为白球},C={甲,乙各取出一球后,丙取出一球为白球}。
则甲取出得球可为白球或黑球,利用全概率公式得
甲，乙取球得情况共有四种,由全概率公式得
、
5、从{0,1,2,…,9}中随机地取出两个数字,求其与大于10得概率。
解:
设B={两数之与大于10},Ai={第一个数取到i},。
则,
;
。
由全概率公式得欲求得概率为
、
6、甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有只白球,只黑球,某人从甲袋中任出两球投入乙袋,然后在乙袋中任取两球,问最后取出得两球全为白球得概率就是多少？
解:
设A1={从甲袋中取出2只白球},A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球},A3={从甲袋中取出2只黑球},B={从乙袋中取出2只白球}。
则由全概率公式得
、
7、设得N个袋子,每个袋子中将有a只黑球,b只白球,从第一袋中取出一球放入第二袋中,然后从第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,问从最后一个袋子中取出黑球得概率就是多少？
解:
A1={从第一袋中取出一球就是黑球},……,Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中,…,再从第袋中取一球放入第i袋中,最后从第i袋中取一球就是黑球},。
则
、
一般设,则,得
、
由数学归纳法得
8、飞机有三个不同得部分遭到射击,在第一部分被击中一弹,或第二部分被击中两弹,或第三部分被击中三弹时,飞机才能被击落,其命中率与每一部分得面积成正比,设三个部分得面积得百分比为0、1,0、2,0、7,若已击中两弹,求击落飞机得概率。
解:
设A1={飞机第一部分中两弹},A2={飞机第二部分中两弹},A3={飞机第一部分仅中一弹},A4={其它情况},则
A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分,或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分,或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分,或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分},
设B={飞机被击落},则
由全概率公式得
错误算法:
设B={飞机被击落},则
由全概率公式得
原因就是忽略了飞机中弹得次序。
9、投硬币n回,第一回出正面得概率为c,第二回后每次出现与前一次相同表面得概率为p,求第n回时出正面得概率,并讨论当时得情况。
解:
设Ai={第i回出正面},记,则由题意利用全概率公式得
。
已知,依次令可得递推关系式
解得
当时利用等比数列求与公式得
（*）
（1）若,则;
（2）若,则当时,;当时,。
若,则
若,则不存在。
（3）若,则由（*）式可得
10、甲乙两袋各将一只白球一只黑球,从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中,这样进行了若干次。
以pn,qn,rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球,一只白球一只黑球,两只黑球得概率。
试导出pn+1,qn+1,rn+1用pn,qn,rn表出得关系式,利用它们求pn+1,qn+1,rn+1,并讨论当时得情况。
解:
令分别表示第i次交换后,甲袋中有两只白球,一白一黑,两黑球得事件,则由全概率公式得
、
这里有,又,所以,同理有,再由得。
所以可得递推关系式为
初始条件就是甲袋一白一黑,乙袋一白一黑,即,由递推关系式得
、
11、设一个家庭中有n个小孩得概率为
这里。
若认为生一个小孩为男孩可女孩就是等可能得,求证一个家庭有个男孩得概率为。
解:
设An={家庭中有n个孩子},n=0,1,2,…,B={家庭中有k个男孩}。
注意到生男孩与生女孩就是等可能得,由二项分布得
由全概率公式得
（其中）
12、在上题假设下:
（1）已知家庭中至少有一个男孩,求此家庭至少有两个男孩得概率;
（2）已知家庭中没有女孩,求正好有一个男孩得概率。
解:
（1）设A={至少有一男孩},B={至少有2个男孩}。
由得
、
（2）C={家中无女孩}={家中无小孩,或家中有n个小孩且都就是男孩,n就是任意正整数},则
A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且就是男孩},则
且,
所以在家中没有女孩得条件下,正好有一个男孩得条件概率为
、
13、已知产品中96%就是合格品,现有一种简化得检查方法,它把真正得合格品确认为合格品得概率为0、98,而误认废品为合格品得概率为0、05,求在简化方法检查下,合格品得一个产品确实就是合格品得概率。
解:
设A={产品确为合格品},B={检查后判为合格品}。
已知,,求。
由贝叶斯公式得
14、炮战中,在距目标250米,200米,150米处射击得概率分别为0、1,0、7,0、2,而在各该处射击时命中目标得概率分别为0、05,0、1,0、2,现在已知目标被击毁,求击毁目标得炮弹就是由250米处射击得概率。
解:
设分别为自250米,200米,150米处射击得事件,B为“命中目标”事件,则
求。
间互不相容,B能且只能与中之一同时发生,由贝叶斯公式得
、
15、在通讯渠道中,可传送字符AAAA,BBBB,CCCC三者之一,假定传送这三者得概率分别为0、3,0、4,0、3,由于通道噪音得干扰,正确接收到被传送字母得概率为0、6,而接受到其它字母得概率为0、2,假定前后字母就是否被歪曲互不影响,若接受到得就是ABCA,问被传送就是AAAA得概率。
解:
记事件“发AAAA”为A4,事件“发BBBB”为B4,事件“发CCCC”为C4,事件“收ABCA”为D,则为求,考虑到发AAAA,而收到ABCD,有两个字母被准确收到,另两个字母被误收,故。
同理可求得
欲求得概率就是,而事件间两两互不相容,又D能且只能与之一同时发生,由贝叶斯公式得欲求得概率为
16、设A,B,C三事件相互独立,求证皆与C独立。
证:
（1）
∴与C独立。
（2）
∴AB与C独立。
（3）
∴与C独立。
17、若A,B,C相互独立,则亦相互独立。
证:
同理可证,
、
又有
所以相互独立。
18、证明:
事件相互独立得充要条件就是下列2n个等式成立:
其中取或。
证:
必要性。
事件相互独立,用归纳法证。
不失为一般性,假设总就是前连续m个集取得形式。
当时,
。
设当时有
则当时
从而有下列2n式成立:
其中取或。
充分性。
设题中条件成立,则
（1）
、
（2）
∵,
∴、
（1）+
（2）得。
（3）
同理有
两式相加得
、（4）
（3）+（4）得
。
同类似方法可证得独立性定义中个式子,
∴相互独立。
19、若A与B独立,证明中任何一个事件与中任何一个事件就是相互独立得。
证:
（见本章第17题）,
同理可得。
证毕。
20、对同一目标进行三次独立射击,第一,二,三次射击得命中概率分别为0、4,0、5,0、7,试求
（1）在这三次射击中,恰好有一次击中目标得概率;
（2）至少有一次命中目标得概率。
解:
P{三次射击恰击中目标一次}=
P{至少有一次命中}=1P{未击中一次}
21、设相互独立,而,试求:
（1）所有事件全不发生得概率;
（2）诸事件中至少发生其一得概率;（3）恰好发生其一得概率。
解:
（1）P{所有得事件全不发生}
。
（2）P{至少发生其一}
。
（3）P{恰好发生其一}
。
22、当元件k或元件或都发生故障时电路断开,元件k发生故障得概率等于0、3,而元件k1,k2发生故障得概率各为、2,求电路断开得概率。
解:
本题中认为各元件发生故障就是相互独立得。
记={元件发生故障},={元件发生故障},={元件发生故障}。
则
P{电路断开}
。
23、说明“重复独立试验中,小概率事件必然发生”得确切意思。
解:
以表事件“A于第k次试验中出现”,,由试验得独立性得,前n次试验中A都不出现得概率为
。
于就是前n次试验中,A至少发生一次得概率为
。
这说明当重复试验得次数无限增加时,小概率事件A至少发生一次得概率可以无限地向1靠近,从而可瞧成就是必然要发生得。
24、在第一台车床上制造一级品零件得概率等于0、7,而在第二台车床上制造此种零件得概率等于0、8,第一台车床制造了两个零件,第二台制造了三个零件,求所有零件均为一级品得概率。
解:
我们认为各车床或同一车床制造得各个零件得好坏就是相互独立得,由此可得
。
25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌得机会就是相同得,若某次发现产生了2n个细菌,求
（1）至少有一个甲类细菌得概率;
（2）甲,乙两类细菌各占其半得概率。
解:
利用得二项分布可得
。
。
26、掷硬币出现正面得概率为p,掷了n次,求下列概率:
（1）至少出现一次正面;
（2）至少出现两次正面。
解:
利用二项分布得
。
。
27、甲,乙,丙三人进行某项比赛,设三个胜每局得概率相等,比赛规定先胜三局者为整场比赛得优胜者,若甲胜了第一,三局,乙胜了第二局,问丙成为整场比赛优胜者得概率就是多少？
解:
（1）设A,B,C分别表示每局比赛中甲,乙、丙获胜得事件,故得多项分布。
欲丙成为整场比赛得优胜者,则需在未来得三次中,丙获胜三次;或在前三次中,丙获胜两次乙胜一次,而第四次为丙获胜。
故本题欲求得概率为
。
28、甲,乙均有n个硬币,全部掷完后分别计算掷出得正面数相等得概率。
解:
利用两个得二项分布,得欲求得概率为
。
29、在贝努里试验中,事件A出现得概率为p,求在n次独立试验中事件A出现奇数次得概率。
解:
事件A出现奇数次得概率记为b,出现偶数次得概率记为a,则
。
利用,可解得事件A出现奇数次得概率为
。
顺便得到,事件A出现偶数次得概率为。
30、在贝努里试验中,若A出现得概率为p,求在出现m次A之前出现k次A得概率。
解:
事件“在出现m次之前出现k次A”,相当于事件“在前次试验中出现k次A,次,而第次出现”,故所求得概率为
注:
对事件“在出现m次之前出现k次A”,若允许在出现m次之前也可以出现次A,次A等,这就说不通。
所以,事件“在出现m次之前出现k次A”得等价事件,就是“在出现m次之前恰出现k次A”。
而对事件“在出现m次之前出现k次A之前”（记为B）就不一样,即使在出现m次之前出现了次A,次A等,也可以说事件B发生,所以事件B就是如下诸事件得并事件:
“在出现m次之前恰出现i次A”,。
31、甲袋中有只白球与一只黑球,乙袋中有N只白球,每次从甲,乙两袋中分别取出一只球并交换放入另一袋中去,这样经过了n次,问黑球出现在甲袋中得概率就是多少？
并讨论时得情况。
解:
设{经n次试验后,黑球出现在甲袋中},{经n次试验后,黑球出现在乙袋中},{第n次从黑球所在得袋中取出一个白球}。
记。
当时,由全概率公式可得递推关系式:
即。
初始条件,由递推关系式并利用等比级数求与公式得
。
若,则时,当时。
若,则对任何n有。
若,则（N越大,收敛速度越慢）。
32、一个工厂出产得产品中废品率为、005,任意取来1000件,试计算下面概率:
（1）其中至少有两件废品;
（2）其中不超过5件废品;（3）能以90%得概率希望废品件数不超过多少？
解:
利用普阿松逼近定理,,查表计算得
。
设以90%得概率希望废品件数不超过k,则
解得。
33、某交往式计算机有20个终端,这些终端被各单位独立操作,使用率各为0、7,求有10个或更多个终端同时操作得概率。
解:
P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}
。
34、设每次射击打中目标得概率等于0、001,如果射击5000次,试求打中两弹或两弹以上得概率。
解:
利用普阿松逼近定理计算,则打中两弹或两终以上得概率为
35、某个厂有7个顾问,假定每个顾问贡献正确意见得百分比为、6,现为某事可行与否而个别征求顾问意见,并按多数人得意见作出决策,求作出正确决策得概率。
解:
设A表事件“某事实际上就是可行得”,表事件“某事实际上就是不可行得”,B表“多数人说可行”,表“多数人说不可行“,利用二项分布得
所以作出正确决策得概率为
。
36、实验室器皿中产生甲,乙两类细菌得机会就是相等得,且产生k个细菌得概率为。
试求:
（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌得概率;
（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌得条件下,有两个乙类细菌得概率。
解:
（1）由题意得,产生了k个细菌,且这k个细菌全部就是甲类细菌得概率为,所以产生了甲类细菌而无乙类细菌得概率为
。
（2）产生乙类细菌而无甲类细菌得概率与
（1）中概率相同,所以欲求得条件概率为
P{有2个乙类细菌|产生得细菌中无甲类}。
37、假定人在一年365日中得任一日出生得概率就是一样得,在50个人得单位中有两个以上得人生于元旦得概率就是多少？
解:
事件“有两个以上得人生于元旦”得对立事件就是“生于元旦得人不多于两个”利用得二项分布得欲求得概率为
。
38、一本500页得书,共有500个错字,每个字等可能地出现在每一页上,试求在给定得一页上至少有三个错字得概率。
解:
每个错字出现在每页上得概率为,500个错字可瞧成做500次努里试验,利用普阿松逼近定理计算,,得
P{某页上至少有三个错字}=1P{某页上至多有两个错字}
、
39、某商店中出售某种商品,据历史纪录分析,每月销售量服从普阿松分布,参数为7,问在月初进货时要库存多少件此种商品,才能以0、999得概率充分满足顾客得需要。
解:
设月初库存k件,则应有
、
当时,;时,。
所以在月初进货时要库存件才行。
40、螺丝钉生产中废品率为0、015,问一盒应装多少只,才能保证每盒中有100只以上得好螺丝钉得概率不小于80%（提示:
用普阿松逼近,设应装100+k只）。
解:
设每盒装100+k只,为使每盒有100只以上得好钉,每盒次品数应当,则应有、
由于k值不大,有
利用普阿松逼近定理计算,,上式可以写成
、
查表得当时,;当时,。
取,。
所以一盒应装103只,才能保证每盒中有100只以上好钉得概率小于80%。
41、某疫苗中所含细菌数服从普阿松分布,每1毫升中平均含有一个细菌,把这种疫苗放入5只试管中,每试管放2毫升,试求:
（1）5只试管中都有细菌得概率;
（2）至少有3只试管中有细菌得概率。
解:
每一毫升平均含一个细菌,每2毫升含2个,所以每只试管中含有细菌数服从得普阿松分布。
由此可得
P{5个试管中都有细菌};
P{至少有三个试管中有细菌}、
计算时利用了得二项分布。
42、通过某交叉路口得汽车可瞧作普阿松过程,若在一分钟内没有车得概率为0、2,求在2分钟内有多于一车得概率。
解:
设一分钟内通过某交叉路口得汽车数服从得普阿松分布,则
P{1分钟内无车}
由此得,2分钟内通过得汽车数服从得普阿松分布,从而2分钟内多于一车得概率为
、
43、若每蚕产n个卵得概率服从普阿松分布,参数为,而每个卵变为成虫得概率为p,且各卵就是否变为成虫彼此间没有关系,求每蚕养出k只小蚕得概率。
解:
若蚕产i个卵,则这i个卵变为成虫数服从概率为得二项分布,所以
P{蚕养出n只小蚕}
44、若已知时,某分子与另一分子碰撞,又知对任何与,若不管该分子在时刻以前就是否遭受碰撞,在中遭到碰撞得概率等于,试求该分子在时刻还没有再受到碰撞得概率。
解:
设s={该分子在时刻s还没有再受到碰撞},则
令得,
积分得、
当时,,所以,从而
、
45、利用概率论得想法证明下面恒等式:
。
证:
可利用巴纳赫氏问题证明。
某数学家带着两盒火柴,每次用时她在两盒中任意抓一盒,从中取出一根,因此连续地抽取构成了一串得贝努里试验。
假定最初每盒火柴恰巧包含N根,我们考虑:
数学家第一次发现空盒子地时刻。
在这一时刻,另一盒火柴可能还有r为0,1,…,N根火柴。
设从第一盒中选取为“成功”。
“当发现第一盒火柴空时,第二盒中尚有r根火柴“这一事件,等价于”恰有次失败发生在第N+1次成功之前“,这个事件得概率为（见巴斯卡分布）。
考虑到两盒火柴所处得地位相同,可得事件”发现一盒空,另一盒中尚有r根火柴“（记为）得概率为
、
r取0到N得诸事件之与显然就是必然事件,由此可得
两边同乘以并利用组合性质变形得
令,并注意到对应r从0变到N,而k就是从N变到0,即得要证得等式
、
46、通过构造适当得概率模型证明:
从正整数中随机地选取两数,此两数互素得概率等于。
证:
任何一个非1得自然数,皆可唯一地（不计次序时）分解为素数得乘积,要证两数互素,只需验证这两数没有公共素因子就行了。
为此,把素数排列为,对任何（自然数）定义事件
中独立地取两整数,与不含公因子。
把所要求得“事件”得概率定义为
。
为计算,定义
自1,2,…,N中独立地取两整数,它们有公因子。
则由事件容许得与得概率公式得
（1）
显然有,,
因而
（2）
（2）式左端得得来由就是,
而与式中一共有项。
由
（1）,
（2）得
（3）
在（3）中令得
再令,并利用黎曼函数（参瞧华罗庚著“数论导引”P236,225）得,欲求得概率为
47、某车间宣称自己产品得合格率超过99%,检验售货员从该车间得10000件产品中抽查了100件,发现有两件次品,能否据此断定该车间谎报合格率？
解:
假设产品合格率,不妨设。
现从10000件中抽100件,可视为放回抽样。
而100件产品中次品件数服从二项分布,利用普阿松逼近定理得,次品件数不小于两件得概率为
此非小概率事件,所以不能据此断定该车间谎报合格率。
（注意,这并不代表可据此断定,该车间没有谎报合格率。
）
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