菱形八年级数学教案模板.docx

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菱形八年级数学教案模板

菱形_八年级数学教案_模板

教学建议

　　知识结构

　　重难点分析

　　本节的重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

　　本节的难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

　　教法建议

　　根据本节内容的特点和与平行四边形的关系，建议教师在教学过程中注意以下问题：

　　1.菱形的知识，学生在小学时接触过一些，可由小学学过的知识作为引入。

　　2.菱形在现实中的实例较多，在讲解菱形的性质和判定时，教师可自行准备或由学生准备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定，既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识．

　　3.如果条件允许，教师在讲授这节内容前，可指导学生按照教材148页图4-33所示，制作一个平行四边形作为教学过程中的道具，既增强了学生的动手能力和参与感，有在教学中有切实的体例，使学生对知识的掌握更轻松些．

　　4.在对性质的讲解中，教师可将学生分成若干组，每个学生分别对事先准备后的图形进行边、角、对角线的测量，然后在组内进行整理、归纳．

　　5.由于菱形和菱形的性质定理证明比较简单，教师可引导学生分析思路，由学生来进行具体的证明．

　　6.在菱形性质应用讲解中，为便于理解掌握，教师要注意题目的层次安排。

一、教学目标

　　1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

　　2．掌握菱形的性质．

　　3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

　　4．通过教具的演示培养学生的学习兴趣．

　　5．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

　　6．通过菱形性质的学习，体会菱形的图形美．

　　二、教法设计

　　观察分析讨论相结合的方法

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：

菱形的性质定理．

　　2．教学难点：

把菱形的性质和直角三角形的知识综合应用．

　　3．疑点：

菱形与矩形的性质的区别．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　教具（做一个短边可以运动的平行四边形）、投影仪和胶片，常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．什么叫做平行四边形？

什么叫矩形？

平行四边形和矩形之间的关系是什么？

　　2．矩形中对角线与大边的夹角为，求小边所对的两条对角线的夹角．

　　3．矩形的一个角的平分线把较长的边分成、，求矩形的周长．

　　【引入新课】

　　我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，这时可将事先按课本中图4－38做成的一个短边也可以活动的教具进行演示，如图，改变平行四边形的边，使之一组邻进相等，引出菱形概念．

　　【讲解新课】

　　1．菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

　　讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：

（1）强调菱形是平行四边形．

（2）一组邻边相等．

　　2．菱形的性质：

　　教师强调，菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊性质．

　　下面研究菱形的性质：

　　师：

同学们根据菱形的定义结合图形猜一下菱形有什么性质（让学生们讨论，并引导学生分别从边、角、对角线三个方面分析）．

　　生：

因为菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质可以得到．

　　菱形性质定理1：

菱形的四条边都相等．

　　由菱形的四条边都相等，根据平行四边形对角线互相平分，可以得到

　　菱形性质定理2：

菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角．

　　引导学生完成定理的规范证明．

　　师：

观察右图，菱形被对角线分成的四个直角三角形有什么关系？

　　生：

全等．

　　师：

它们的底和高和两条对角线有什么关系？

　　生：

分别是两条对角线的一半．

　　师：

如果设菱形的两条对角线分别为、，则菱形的面积是什么？

　　生：

　　教师指出当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积．

　　例2 已知：

如右图，是△的角平分线，交于，交于．

　　求证：

四边形是菱形．

　　（引导学生用菱形定义来判定．）

　　例3 已知菱形的边长为，，对角线，相交于点，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．

（1）按教材的方法求面积．

（2）还可以引导学生求出△一边上的高，即菱形的高，然后用平行四边形的面积公式计算菱形的面积．

　　【总结、扩展】

　　1．小结：

（打出投影）（图4）

（1）菱形、平行四边形、四边形的从属关系：

（2）菱形性质：

图5

　　①具有平行四边形的所有性质．

　　②特有性质：

四条边相等；对角线互相垂直，且平分每一组对角．

　　八、布置作业

　　教材P158中6、7、8，P196中10

　　九、板书设计

标题

　　菱形定义……

菱形性质　　　　　　例2……　　　　　小结：

　　性质定理1：

……　　　例3……　　　　……

　　性质定理2：

……

　　十、随堂练习

　　教材P151中1、2、3

　　补充

　　1．菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积分别是___________、___________．

　　2．菱形周长为80，一对角线为20，则相邻两角的度数为___________、____________．

一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。

教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1、2=得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。

然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。

韦达定理是初中代数中的一个重要定理。

这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。

通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：

韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

（二）重点、难点

一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

（三）教学目标

1、知识目标：

要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：

通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：

通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

二、设计理念

根据教材内容和本人研究的课题《初中数学问题引探教学实验研究》，在教学中渗透新课标的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。

三、教法与学法

（一）教法

1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。

2、采用“实践（练习）——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。

引导学生发现问题，师生共同解决问题。

3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。

4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。

（二）学法指导

1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。

2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。

3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。

四、课时划分及教学过程

（一）课时划分

共分3课时

第一课时

1、根与系数的关系。

2、根与系数的关系的应用。

（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。

第二课时

1、已知两数求作新方程。

2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

第三课时

方程判别式、根与系数的关系的综合应用。

第一课时   一元二次方程根与系数的关系

（1）

一、教学目标

1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。

2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。

3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。

4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。

二、重难点

根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。

三、教学过程

（一）问题引探

问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值决定什么？

b2-4ac的取值呢？

同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？

今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。

问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发现什么结论（现象）？

问题3.解下列方程：

（1）2x2+5x+3=0                             

（2）3x2-2x-2=0

并根据问题2和以上的求解填写下表

请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？

问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：

____________.

问题5.你能证明上面的猜想吗？

请证明，并用文字语言叙述说明。

分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。

若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=，x2=, 则

x1+x2=+=;

x1x2=·= 

       =

即：

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。

由此得出一元二次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。

这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。

问题6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？

（引导学生反思性小结）

①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；

②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；

③当a≠0时，△=b2-4ac可判定根的情况；

④当a≠0，b2-4ac≥0时，x1+x2=   ，x1x2= 

⑤当a≠0，c=0时，方程有一根为0。

说明：

1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。

2、本设计遵循由特殊到一般，从实践到理论（即从感性认识上升到理性认识）的认知规律。

3、本设计注重了学生的反思过程，使学生将知识系统化、格式化。

（二）尝试发展

试一试：

根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）

（1）2x2-3x+1=0     x1+x2=________     x1x2=_________            

（2）3x2+5x=0       x1+x2=________     x1x2=__________            

（3）5x2+x-2=0      x1+x2=_________    x1x2=__________           

（4）5x2+kx-6=0     x1+x2=_________    x1x2=__________           

（此试一试作为巩固知识而用）

尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为，求它的另一个根及k的值。

组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。

学生练习：

P322。

尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的

（1）平方和，

（2）倒数和。

讨论：

解上面问题的思路是什么？

得出：

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2;   .（将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式）

（三）拓展创新

1、在尝试2中能否求（x1－x2）的值？

2、已知实数满足关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b与ab的值？

说明：

1、“试一试”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。

2、尝试题1、2让学生讨论完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。

3、“拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。

（四）归纳小结本课主要研究了什么？

1、方程的根是由系数决定的。

2、a≠0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。

3、a≠0，且b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2=4、b2-4ac的值可判定根的情况。

5、a≠0，△≥0时，x1+x2=，x1x2=    。

6、方程根与系数关系的有关应用。

（1）已知一根求另一根及k的值；

（2）求有关代数式的值。

（五）布置作业

P33A1、2 B 1

（1）

练习：

１．已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。

2、已知关于x的方程x2－2mx+m2=0.其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.

（1）        求征这个方程有两个不相等实数根.

（2）        若方程的两个实数根差的绝对值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积．

　　　3、已知二次函数y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的图象都经过x轴上两个不同的点,求这两个函数的解析式.

教学建议

直角三角形全等的判定

　　知识结构

　　重点与难点分析：

　　本节课教学方法主要是“自学辅导与发现探究法”。

力求体现知识结构完整、知识理解完整；注重学生的参与度，在师生共同参与下，探索问题、动手试验、发现规律、做出归纳。

让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。

具体说明如下：

（1）由“先教后学”转向“先学后教

　　本节课开始，让同学们自己思考问题：

判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？

学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。

这样促进了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。

（2）在层次教学中培养学生的思维能力

　　本节课的层次主要表现为两个方面：

一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。

　　公理的多层次理解包括：

明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。

这里特别强调三个方面：

1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。

　　综合练习的多层次变化：

首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。

这里注意两点：

一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。

二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。

　　教法建议：

　　由“先教后学”转向“先学后教”

　　本节课开始，让同学们自己思考问题：

判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？

学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。

这样促进了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。

（2）在层次教学中培养学生的思维能力

　　本节课的层次主要表现为两个方面：

一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。

　　公理的多层次理解包括：

明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。

这里特别强调三个方面：

1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。

　　综合练习的多层次变化：

首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。

这里注意两点：

一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。

二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。

教学目标：

　　1、知识目标：

（1）掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法；

（2）掌握斜边、直角边公理；

　　（3）能够运用HL公理及其他三角形全等的判定方法进行证明和计算.

　　2、能力目标：

（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；

（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力.

　　3、情感目标：

（1）在公理的形成过程中渗透：

实验、观察、归纳；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。

　　教学重点：

SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。

　　教学难点：

灵活应用五种方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）来判定直角三角形全等。

　　教学用具：

直尺，微机

　　教学方法：

自学辅导

　　教学过程：

　　1、新课引入

　　投影显示

　　问题：

判定三角形全等的方法有四种，若这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？

　　这个问题让学生思考分析讨论后回答，教师补充完善。

　　2、公理的获得

　　让学生概括出HL公理。

然后和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证。

（这里用尺规画图法）

　　公理：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

　　应用格式：

（略）

　　强调说明：

（1）、格式要求：

先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。

（2）、判定两个直角三角形全等的方法。

　　（3）特殊三角形研究思想。

　　3、公理的应用

（1）讲解例1（投影例1）

　　例1求证：

有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

　　学生思考、分析、讨论，教师巡视，适当参与讨论。

找学生代表口述证明思路。

　　分析：

首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。

　　证明：

（略）

（2）讲解例2。

学生分析完成，教师注重完成后的点评。

）

　　例2：

如图2，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F.

　　求证：

BE＝CF

　　分析：

BE和CF分别在△BDE和△CDF中，由条件不能直接证其全等，但可先证明△AED≌△AFD，由此得到DE＝DF

　　证明：

（略）

　　（3）讲解例3（投影例3）

　　例3：

如图3，已知△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：

（1）BD＝DE+CE

（2）若直线AE绕A点旋转到图4位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；

　　（3）若直线AE绕A点旋转到图5时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？

请直接写出结果，不须证明

　　学生口述证明思路，教师强调说明：

阅读问题的思考方法及思想。

　　4、课堂小结：

（1）判定直角三角形全等的方法：

5个（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）在这些方法的条件中都至少包含一条边。

（2）直角三角形判定方法的综合运用

　　让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

　　5、布置作业：

　　a、书面作业P79＃7、9

　　b、上交作业P80＃5、6

　　板书设计：

探究活动

直角形全等的判定

　　如图

（1）A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，

　　若AB＝CD求证：

BD平分EF。

若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图

（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。

教学目标：

（1）理解一元二次方程的概念

（2）掌握一元二次方程的一般形式，会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（2）会用因式分解法解一元二次方程

教学重点：

一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式

教学难点：

因式分解法解一元二次方程

教学过程（）：

（一）创设情景，引入新课

实际例子引入：

列出的方程分别为X-7x+8=0,（X-7）（X+1）=89,X+8X-9=0

           由学生说出这几个方程的共同特征，从而引出一元二次方程的概念。

（二）新授

1：

一元二次方程的概念。

（一个未知数、最高次2次、等式两边都是整式）

练习

2：

一元二次方程的一般形式（形如aX+bX+c=0）

任一个一元二次方程都可以转化成一般形式，注意二次项系数不为零

3：

讲解例子

4：

利用因式分解法解一元二次方程

5：

讲解例子

6：

一般步骤

练习

（三）小结

（四）布置作业

板书设计