人教版八年级数学上册教案《课题学习最短路径问题》.docx

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人教版八年级数学上册教案《课题学习最短路径问题》

《课题学习最短路径问题》

最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：

利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

【知识与能力目标】

1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;

2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;

3.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；

4.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；

5.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

【过程与方法目标】

经历观察、实验、猜想等数学活动发展合情推理能力能有条理地、清晰地阐述自己的观点,初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能应用所学知识解决问题；学会与他人合作并能与他人交流思维的过程和结果.问题情境——组织数学活动——引导自主、合作学习——实践活动、探索新知——问题解决．

【情感态度价值观目标】

积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

【教学重点】

1．利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.

2．利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题

【教学难点】

1.如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

2如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题．

一、课前设计

1．预习任务

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，

“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”

等的问题，我们称它们为问题．

【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径

2．预习自测

⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.

【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备.

【知识点】两点之间、线段最短

【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）

⑵已知：

如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】依据“两点（直线异侧）一线型”，和“两点之间，线段最短”，则AP+PB的最小值为线段AB的值.

【解题过程】连接AB交于直线l于点P，则点P就是所求的点.

【答案】如图，则点P就是所求的点.

⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测

（1），根据“两点之间，线段最短”，连接AB即可.

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，则点P就是所求的点.

【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短.

⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，则点P可能的个数为（）个

A.3B.2C.1D.0

【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质

【思路点拨】将“A，B在直线l的同侧”利用轴对称转化为“A，B在直线l的异侧”，又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.

【答案】C

【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．

二、课堂设计

1.知识回顾

⑴两点的所有连线中，线段最短；

⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑶三角形三边的数量关系：

三角形中两边之和大于第三边.

2.问题探究实际问题转化为数学问题

探究一“两点一线”的最短路径问题

今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.

●活动①创设情境，引入新知

师：

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

问题1.如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？

【知识点】两点之间线段最短

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点（直线异侧）一线型”.

【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:

●活动②整合旧知，探究新知

师：

问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：

问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

l

将问题2抽象为数学问题：

如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题.此情况可简称为“两点（直线同侧）一线型”.

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

3．尝试解决数学问题

●活动③大胆猜想，建立模型

【解题过程】

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.

师生活动：

学生独立思考，尝试画图，相互交流.

学生若有困难，教师可作如下提示：

1若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小；

2现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB′?

⑶你能根据轴对称的知识，找到

（2）中符合条件的点B′吗？

【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路.通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.

4．证明AC+BC“最短”

●活动

反思过程，验证新知

证明“最短作图”的正确性：

追问1你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

师生活动：

学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.

证明：

如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=

AC′+C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴　AC+BC﹤AC′+BC′，

即AC+BC最短．

●活动⑤集思广益，理解新知

追问2：

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合）？

师生活动：

学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．

【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.

追问3：

回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？

师生活动：

学生回答，相互补充.

【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.

探究运用轴对称解决距离之差最大问题

●活动①回顾旧知，引入新知

师：

上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：

●活动②整合旧知，探究新知

例1.如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．

【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系

【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点A（或点B）关于直线l的对称点A′（或B′），利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B（AB′）与直线l交点C.

【解题过程】如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．

●活动③类比建模，证明新知

师：

回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC+BC最小的吗？

试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？

理由：

在直线l上任找一点C′（异于点C），连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

练习点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.

【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边

【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB.将点A、B看成y轴同侧有两点：

在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小

【解题过程】⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.

【答案】如图，点P与点Q即为所求：

探究利用平移解决造桥选址问题

●活动①结合实际，难点分解

师：

常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？

如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF.显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.

●活动②生活中的实际问题

例2.如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）

【知识点】平移知识，两点之间线段最短

【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：

从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到AA′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB，这样问题就转化为：

当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？

如图2，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.

图1

【解题过程】⑴如图2，平移MN到AA′（或者过点A作AA′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接BA′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M.

【答案】如图所示，则MN为所建的桥的位置．

图2

●活动③几何证明

上述作图为什么是最短的？

请你想想.

先让学生小组合作完成，进行展示、分享.

证明：

由平移的性质，得MN∥AA′，且MN=AA′，AM=A′N，AM∥A′N，所以A、B两地的距离:

AM+MN+BN=AA′+A′N+BN=AA′+A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′，若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.由平行知：

AM′=A′N′，AA′=N′M′，则建桥后AB两地的距离为：

AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B.在△A′N′B中，

∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.

【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.

练习如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？

【知识点】平移的知识，两点之间线段最短

【思路点拨】从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．

【解题过程】

（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；

（2）连接BC与河岸的一边交于点N；（3）过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

【答案】如图2所示，则MN为所建的桥的位置．

三、归纳总结：

解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

⑴“距离之差最大”问题的两种模型：

①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．

⑵“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

略