九年级数学图形的平移旋转与对称复习.docx
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九年级数学图形的平移旋转与对称复习
九年级数学图形的平移、旋转与对称复习
第21讲 图形的平移、旋转与对称
[锁定目标考试]
考标要求考查角度
1.理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移和图形旋转的概念，并掌握它们的性质．
2．能按平移、旋转或对称的要求作出简单的图形．
3．探索成轴对称或中心对称的平面图形的性质．
4．运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计. 这部分内容重点考查图形的平移、旋转、轴对称的性质，图形三大变换的设计，与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等．题型多为选择题、填空题、解答题，有时平移与旋转常与三角形和四边形结合作为中档题或较难试题.
[导学必备知识]
知识梳理
一、图形的轴对称
1．定义
（1）轴对称：
把________图形沿着某一条直线对折后，如果能与另一个图形________，那么就说这________图形成轴对称，这条直线就是________，两个图形中的对应点叫做__________．
（2）轴对称图形：
把________图形沿某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相________，那么________叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
2．性质
（1）对称点的连线被________垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等；
（3）成轴对称的两个图形是全等图形．
二、图形的中心对称
1．定义
（1）中心对称：
把一个图形绕着一点旋转________后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做________，旋转前后的点叫做________．
（2）中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．性质
（1）关于某点成中心对称的两个图形是__________；
（2）关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心______．
三、图形折叠问题
折叠问题是轴对称变换，折痕所在直线就是轴对称问题中的对称轴；应用时注意折叠所对应的图形，抓住它们之间的不变关系及其性质，寻找相等的量．
四、图形的平移
1．定义
在平面内，将一个图形沿__________移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称______．确定一个平移变换的条件是________和________．
2．性质
（1）平移不改变图形的________与________，即平移前后的两个图形是__________；
（2）连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等；
（3）对应线段平行（或共线）且相等；
（4）对应角相等．
五、图形的旋转
1．定义
在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着________旋转一定的______，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做________．图形的旋转由________和________所决定．
2．性质
（1）图形上的每一点都绕着________沿着相同的方向旋转了________大小的角度；
（2）旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化，即它们是________的；
（3）旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的______相等；
（4）对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角．
六、简单的平移作图与旋转作图
1．平移作图的步骤
（1）首先找出原图形中的关键点，如多边形的顶点，圆的圆心；
（2）根据平移的距离与方向，画出特殊点的对应点；
（3）顺次连接各对应点，就得到原图形平移后的图形．
2．旋转作图的步骤
（1）找出旋转中心与旋转角；
（2）找出构成图形的关键点；
（3）作出这些关键点旋转后的对应点；
（4）顺次连接各对应点．
自主测试
1．（2012上海）在下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形
2．（2012浙江嘉兴）下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
3．（2012山东聊城）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
4．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′.
5．（2012四川乐山）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：
A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在
（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
[探究重难方法]
考点一、轴对称图形与中心对称图形的识别
【例1】（2012湖南怀化）在我们的生活中，常见到很多美丽的图案，下列图案中，既是中心对称，又是轴对称图形的是（ ）
解析：
选项A，B，D都是中心对称图形，但不是轴对称图形，只有选项C既是中心对称，又是轴对称图形．
答案：
C
方法总结识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看看能否找出其对称轴或对称中心，再去作出判断．
触类旁通1下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
考点二、图形的平移
【例2】如图，把图①中的⊙A经过平移得到⊙O（如图②），如果图①中⊙A上一点P的坐标为（m，n），那么平移后在图②中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（m＋2，n＋1）B．（m－2，n－1）C．（m－2，n＋1）D．（m＋2，n－1）
解析：
平移时图形上每个点平移的方向和距离都相同，⊙A经过平移到⊙O，点A的横坐标增加2个单位，纵坐标减小1个单位．则点P移到P′，移动的距离与点A相同．所以点P′的横坐标为m＋2，纵坐标为n－1.
答案：
D
方法总结在平面直角坐标系中，将点P（x，y）向右（或左）平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为（x＋a，y）〔或（x－a，y）〕；将点P（x，y）向上（或下）平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为（x，y＋b）〔或（x，y－b）〕．
触类旁通2如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为__________________.
考点三、图形的旋转
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）
A．30,2B．60,2C．60，32D．60，3
解析：
由题意可知BC＝CD，∠B＝60°，所以△BCD是等边三角形，所以旋转角∠BCD＝60°.通过题意可得△FCD是直角三角形，且∠FCD＝30°，CD＝2，所以DF＝1，CF＝3，所以△FCD的面积为12×1×3＝32.
答案：
C
方法总结图形在旋转过程中，图中的每一个点与旋转中心的连线都绕着旋转中心转动了相同的角度，对应线段相等，对应角相等．
触类旁通3如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，有下列结论：
①∠CDF＝α；②A1E＝CF；③DF＝FC；④AD＝CE；⑤A1F＝CE.其中正确的是__________（写出正确结论的序号）．
考点四、平移、旋转作图
【例4】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（－1,1），C（－1,3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）将△A2B2C2平移得到△A3B3C3，使A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3，点C2的对应点是C3（4，－1），在坐标系中画出△A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标．
解：
（1）如图，C1（－1，－3）．
（2）如图，C2（3,1）．
（3）如图，A3（2，－2），B3（2，－1）．
方法总结要画出一个图形的平移、旋转后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、旋转方向、旋转角度都不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、旋转作图中最常用的方法．
[品鉴经典考题]
1．（2012湖南长沙）下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
2．（2012湖南湘潭）把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（ ）．
A．是中心对称图形，不是轴对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．既是中心对称图形，又是轴对称图形D．以上都不正确
3．（2012湖南娄底）如图，A，B的坐标分别为（1,0），（0,2），若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（2，a），（b,3），则a＋b＝__________.
4．（2012湖南郴州）作图题：
在方格纸中，画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.
5．（2012湖南张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：
先将格点△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1旋转180°得到△A2B2C2.
[研习预测试题]
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形
2.如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致．那么应该选择的拼木是（ ）
3．以ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D点的坐标分别为（1,3），（4,0），把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是（ ）
A．（3,3）B．（5,3）C．（3,5）D．（5,5）
4．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（ ）
A．3B．4C．5D．如图，AB左边是计算器上的数字“5”，若以直线AB为对称轴，那么它的轴对称图形是数字____________.
6．如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．
7．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α＝__________.
8．如图是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8cm，BE＝4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.
9．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1与△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？
若是，请在图上画出这条对称轴．
参考答案
【知识梳理】
一、1.
（1）一个 重合 两个 对称轴 对称点
（2）一个 重合 这个图形
2．
（1）对称轴
二、1.
（1）180° 对称中心 对称点
2．
（1）全等图形
（2）平分
四、1.某个方向 平移 平移的方向 距离
2．
（1）形状 大小 全等图形
五、1.某个方向 角度 旋转角 旋转方向 旋转角
2．
（1）旋转中心 同样
（2）全等 （3）距离
导学必备知识
自主测试
1．B 2.A
3．B 因为点C的对应点F是向下平移5格，所以A，C错误，点A的对应点D，是顺时针方向旋转90°，所以D错误，只有B是正确的．
4．解：
如图所示：
5．解：
（1）如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形．
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1＝4，CC1＝2，高是4，∴S四边形BB1C1C＝12（BB1＋CC1）×4＝12（4＋2）×4＝12.
探究考点方法
触类旁通触类旁通2.30° 由平移知AC∥BE，由两直线平行内错角相等得∠CBE＝∠C，由三角形的内角和得∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝30°.
触类旁通3.①②⑤
品鉴经典考题
1．A
2．C 将等腰△ABC沿BC翻折，所以一定是轴对称图形，旋转180°后，前后图形重合，所以是中心对称图形．2 观察坐标平移前后的变化，横坐标加1，纵坐标加1，所以a＝1，b＝1，a＋b＝2.
4．解：
如图所示：
5．解：
如图所示：
研习预测试题
1．D 2.B 3.D
4．D ∵BE＝EF＝3，BC＝AD＝8，∴EC＝5.
∵∠EFC＝90°，∴FC＝EC2－EF2＝4.
∵△CFE∽△CBA，∴FCBC＝EFAB，48＝3AB.∴AB＝．2
6．（0,1） 连接AD，BE，作线段AD，BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′.其坐标是（0,1）．
7．90°
8．26 因为由题意知△ABC≌△DEF，则S△ABC＝S△DEF.
S阴影＝S△DEF－S△HEC＝S△ABC－S△HEC＝S四边形ABEH.
由题意知，四边形ABEH为直角梯形，
∴S梯形ABEH＝12BE（AB＋HE）＝26cm2.
∴S阴影＝26cm2.
9．解：
（1）△A1B1C1如图，A1（0,4），B1（2,2），C1（1,1）；
（2）△A2B2C2如图，A2（6,4），B2（4,2），C2（5,1）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x＝3对称．如图．
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