C．向心加速度aA＞aB
D．向心力FA＞FB
[变式训练]
1．如图所示，一个匀速转动的圆盘上有a、b、c三点，已知Oc＝
Oa，则下面说法中错误的是（ ）
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
2．下列说法正确的是（ ）
A．半径一定，周期与线速度成正比
B．半径一定，角速度与线速度成正比
C．线速度一定，周期与半径成反比
D．角速度一定，线速度与半径成反比
3．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线．表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线．由图线可知（ ）
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
突破点二 向心力的理解
1．大小
（1）Fn＝mω2r＝m
＝mωv，这三个公式适用于所有圆周运动，但在变速圆周运动中，ω、v是变化的，所以求某一点的向心力时，v、ω都是那一点的瞬时值．
2．方向
总是指向圆心，故方向时刻在变化，所以向心力是变力．
3．作用效果
向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力始终与线速度垂直，所以向心力的作用效果只是改变物体速度的方向，而不改变速度的大小．
4．向心力的来源
向心力是做圆周运动的物体受到的沿着半径指向圆心的力，它可以由某一个力单独承担，也可以是几个力的合力，还可以是物体受到的合外力在沿半径指向圆心方向上的分量．总之，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．它是根据力的作用效果来命名的．
[典例剖析]
某同学为了感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：
绳的一端拴一小球，手牵着在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动（如图所示），则下列说法中正确的是（ ）
A．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B．保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
如图所示，用长为L的细线拴一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向间的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法不正确的是（ ）
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力
B．向心力是细线的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的方向为沿水平面指向圆心
如图所示，V形细杆AOB能绕其对称轴OO′转动，OO′沿竖直方向，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为α＝45°.两质量均为m＝0.1kg的小环，分别套在V形杆的两臂上，并用长为l＝1.2m、能承受最大拉力Fmax＝4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω转动时，细线始终处于水平状态，取g＝10m/s2.
（1）求杆转动角速度ω的最小值；
（2）将杆的角速度从
（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式；
（3）求第
（2）问过程中杆对每个环所做的功．
[变式训练]
1．“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图所示，质量为m的人（视为质点）坐在转盘上，与转盘中心O相距r.转盘的半径为R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.
（1）当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人的线速度大小v.
（2）求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω应满足的条件．
（3）当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动．有同学认为，ωm的大小与人的质量有关，你同意这个观点吗？
请通过计算说明理由．
2．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直放置，A与圆心O等高，B为轨道的最低点，该圆弧轨道与一足够长的粗糙直轨道CD相切于C，C离B的高度为
.一质量为m的小滑块从A点由静止开始下滑，滑到直轨道上的E点（图中未标出）后返回，最终在轨道上来回做往复运动．
（1）试判断E点能否与A点等高，并简要说明理由；
（2）求滑块第一次经过B点时所受支持力的大小；
（3）求滑块在整个运动过程中克服摩擦力所做的功．
1.
（2016年江苏省普通高中学业水平测试）如图所示，长为L的细线一端固定，另一端系一质量为m的小球．小球在竖直平面内摆动，通过最低点时的速度为v，则此时细线对小球拉力的大小为（ ）
A．mgB．m
C．mg＋m
D．mg－m
2．（2010年江苏省普通高中学业水平测试）如图所示，电风扇工作时，叶片上a、b两点的线速度分别为va、vb，角速度分别为ωa、ωb则下列关系正确的是（ ）
A．va＝vb，ωa＝ωb
B．va＜vb，ωa＝ωb
C．va＞vb，ωa＞ωb
D．va＜vb，ωa＜ωb
3．（2014年江苏省普通高中学业水平测试）家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图所示，O点为磁道的圆心，A、B两点位于不同的磁道上，硬盘绕O点匀速转动时，A、B两点的向心加速度（ ）
A．大小相等，方向相同B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同D．大小不等，方向不同
4.
（2017年江苏省普通高中学业水平测试）如图所示，汽车雨刮器在转动时，杆上A、B两点绕O点转动的角速度大小为ωA、ωB，线速度大小为vA、vB，则（ ）
A．ωA＜ωB，vA＝vBB．ωA＞ωB，vA＝vB
C．ωA＝ωB，vAvB
5.
（2017年江苏省普通高中学业水平测试）将一根长为L的光滑细钢丝ABCDE制成如图所示的形状，并固定在竖直平面内．其中AD段竖直，DE段为
圆弧，圆心为O，E为圆弧最高点，C与E、D与O分别等高，BC＝
AC.将质量为m的小珠套在钢丝上由静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g.
（1）小珠由C点释放，求到达E点的速度大小v1；
（2）小珠由B点释放，从E点滑出后恰好撞到D点，求圆弧的半径R；
（3）欲使小珠到达E点与钢丝间的弹力超过
，求释放小珠的位置范围．
6．（2015年江苏省普通高中学业水平测试）如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动．已知小球质量m＝0.40kg，线速度大小v＝1.0m/s，细线长L＝0.25m．求：
（1）小球的动能Ek；
（2）小球的角速度大小ω；
（3）细线对小球的拉力大小F.
第3课时 圆周运动
[基础梳理]
一、圆弧长度 变加速
二、1.垂直 相切 2.圆心转动快慢 3.做匀速圆周运动转过一周所用 4.ωr
三、ω2r
垂直
四、指向圆心
mω2r m·
4π2mf2r
[考点突破]
突破点一：
[例1][解析]做匀速圆周运动时，速度大小不变，方向时刻改变，故匀速圆周运动是一种变加速运动，故选C.注意：
速度是矢量，既要看其大小又不能忽略掉方向．
[答案]C
[例2][解析]A、B两物块置于同一个水平圆盘上，周期相同，角速度相同，此时的向心加速度和线速度均和半径成正比，A、B错C对；向心力不能确定大小，故D错．注意：
答题时要弄清楚匀速圆周运动公式中各变量之间的相互关系．
[答案]C
[变式训练]
1．A 2.B 3.A
突破点二：
[例1][解析]由F＝mrω2可知，保持r不变，增大ω，则F增大，故A错B对；保持ω不变，r增大，F也增大，故C、D错．
[答案]B
[例2][解析]小球只受到重力和拉力的作用，向心力只是重力和拉力的合力，向心力等于细线对小球拉力的水平分量，向心力的方向始终指向圆心，故A错．向心力是效果力，在受力分析时一定不能将向心力混进去．
[答案]A
[例3][解析]
（1）角速度最小时，fmax沿杆向上，则
FNsin45°＋fmaxcos45°＝mg
FNcos45°－fmaxsin45°＝mω
r
且fmax＝0.2FN，r＝
故ω1＝10/3rad/s≈3.33rad/s.
（2）当fmax沿杆向下时，有
FNsin45°＝fmaxcos45°＋mg
FNcos45°＋fmaxsin45°＝mω
r
解得ω2＝5rad/s
当细线拉力刚达到最大时，有
FNsin45°＝fmaxcos45°＋mg
FNcos45°＋fmaxsin45°＋Fmax＝mω
r
解得ω3＝10rad/s
所以F拉＝
（3）根据动能定理，有
W＝
m（ω3r）2－
m（ω1r）2＝1.6J.
[答案]见解析
[变式训练]
1．
（1）v＝rω0
（2）ω＞
（3）ωm＝
ωm与人的质量无关
2．
（1）不能．理由略
（2）3mg （3）Wf克＝
mgR
[真题感悟]
1．C 2.B 3.D 4.D
5．
（1）v1＝0
（2）R＝
（3）当小珠从C点上方低于
处滑下或高于
处滑下时，小珠到达E点与钢丝间的弹力超过
mg
6．解析：
（1）小球的动能为：
Ek＝
mv2＝
×0.40×1.02J＝0.20J.
（2）小球的角速度大小为：
ω＝
＝
rad/s＝4.0rad/s.
（3）细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
F＝m
＝0.40×
N＝1.60N.
答案：
（1）0.20J
（2）4.0rad/s （3）1.60N
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