54 探索三角形全等的条件含答案.docx

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54探索三角形全等的条件含答案

5.4探索三角形全等的条件

A卷：

基础题

一、选择题

1．下列条件中，可保证△ABC与△A′B′C′全等的是（）

A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′B．AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′

C．AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′D．AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′

2．如图1所示，AB=DB，BC=BE．要使△ABE≌△DBC，则需补充的条件是（）

A．∠A=∠DB．∠E=∠CC．∠D=∠ED．∠1=∠2

图1图2图3图4

3．在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，若要使△ABC≌△A′B′C′，还要从下列条件中选取一个，则不符合的条件是（）

A．∠A=∠A′B．∠C=∠C′C．BC=B′C′D．AC=A′C′

4．在△ABC和△A′B′C′中，已知AB=A′B，∠A=∠A′，∠C=∠C′，直接判定△ABC≌△A′B′C′的根据是（）

A．SSSB．ASAC．AASD．SAS

5．如图2的示，点E在AC上，AB=AD，BC=DC，则图中全等的三角形有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

二、填空题

6．如图3所示，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，则需补充的一个条件是______．

7．要使两个三角形全等，至少需___个对应元素相等，其中至少有一组对应______相等．

8．如图4所示，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，且AB=CD，AD=BC，则图中的全等三角形分别是________．

9．如图5所示，若∠POQ=90°，OA=OB，AC=BC，则∠QOC=______度．

图5图6

10．如图6所示，木工师傅做完门框后，为防止门框变形常常像图中所示那样钉上两根斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做根据的数学道理是______．

三、解答题

11．如图，A，F，C，D在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=DC，试说明AB∥DE．

12．如图，已知：

OP平分∠AOC和∠BOD，OA=OC，OB=OD，试说明AB=CD．

B卷：

提高题

一、七彩题

1．（一题多解题）如图，已知AB=DC，AC=BD，BO=CO，试说明∠A=∠D．

2．（一题多变题）如图①所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，试说明BF=CE．

（1）一变：

若将图①中的点E，F在AD所在的直线上做相向运动，得到图5-4-10②，其他条件不变，BF=CE还成立吗？

为什么？

（2）二变：

若将图②中的点E，F继续运动，得到图③，其他条件不变，BF和CE还相等吗？

为什么？

3．如图所示，已知AB=7cm，AC=5cm，AD是△ABC的中线，求AD的取值范围．

二、知识交叉题

4．（科内交叉题）如图所示，AM⊥AB，AN⊥AC，且AM=AB，AN=AC，试问BN与CM有什么关系？

为什么？

三、实际应用题

5．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A点，另一端分别固定在地面上的两个木桩B，C上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何为检验旗杆是否垂直于BC？

请说明理由．

四、经典中考题

6．（2008，海南，3分）已知在△ABC和△A1B1C1中，AB=A1B1，∠A=∠A1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是_______．

7．（2008，常州，7分）如图所示，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，试说明BC=DE．

五、探究学习篇

1．（结论探究题）如图所示，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在CD上，且AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，试探究线段AB与AD，BC的数量关系．

2．（条件开放题）如图所示，AB=CD，AD，BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO，应添加的条件为_______．

3.两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD相交于点O．

（1）试说明：

①△ABC≌△ADC；②OB=OD，AC⊥BD．

（2）如果AC=6，BD=4，求筝形ABCD的面积，请与同伴交流一下解题方法及结果．

参考答案

A卷

一、1．D点拨：

三边对应相等的两个三角形全等．

2．D点拨：

在△ABE和△DBC中，已知AB=DB，BC=BE，若补充条件AE=DC或∠ABE=∠DBC都可判断△ABE≌△DBC，而四个选项中，没有直接给出，由∠1=∠2可得∠1+∠DBE=∠2+∠DBE，即∠ABE=∠DBC，所以选D．

3．D点拨：

在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′．若补充∠A=∠A′，可根据ASA推出△ABC≌△A′B′C′；若补充∠C=∠C′，可根据AAS推出△ABC≌△A′B′C′；若补充BC=B′C′，可根据SAS推出△ABC≌△A′B′C′；若补充AC=A′C′，不能推出△ABC≌△A′B′C′，故选D．

4．C点拨：

熟练掌握判定三角形全等的条件．

5．C点拨：

由AB=AD，BC=DC，AC=AC可判定△ABC≌△ADC；由△ABC≌ADC可得∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，所以，由AB=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，可判定△ABE≌△ADE；由BC=DC，∠ECB=∠ECD，EC=EC，可判定△BCE≌△DCE，所以图中全等的三角形共有3对，故选C．

二、6．BD=CD或∠BAD=∠CAD点拨：

由图可知，题中除已知AB=AC，还有一个隐含条件AD=AD．所以要使△ABD≌△ACD，可从SSS或SAS入手选择适当的条件进行补充．

7．3；边点拨：

从我们探索得到的判定三角形全等的条件：

SSS，ASA，AAS，SAS中可以看出：

要判定两个三角形全等，至少需要3个对应元素相等，其中至少有一组对应边相等．

8．△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB

点拨：

由条件AB=CD，AD=CB，AC=CA可得△ABC≌△CDA；

由条件AB=CD，AD=CB，BD=DB可得△ABD≌△CDB；

由△ABC≌△CDA可得∠ACB=∠CAD，∠BAC=∠DCA．

在△ABO和△CDO中，AB=CD，∠BAO=∠DCO，∠AOB=∠COD，

所以△ABO≌△CDO；

在△AOD和△COB中，AD=CB，∠OAD=∠OCB，∠AOD=∠COB，

所以△AOD≌△COB．

9．45点拨：

由OA=OB，AC=BC，OC=OC可得△AOC≌△BOC，

所以∠AOC=∠BOC，所以∠QOC=

∠POQ=

×90°=45°．

10．三角形的稳定性

点拨：

体现数学的应用价值．

三、11．解：

因为AF=DC，所以AF+FC=DC+FC，即AC=DF，

在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，所以△ABC≌△DEF（SSS），

所以∠A=∠D，所以AB∥DE．

点拨：

先由已知条件推出△ABC≌△DEF，进而得出∠A=∠D，再根据内错角相等，两直线平行，得出AB∥DE．

12．解：

因为OP平分∠AOC和∠BOD，所以∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，

所以∠AOP-∠BOP=∠COP-∠DOP，即∠AOB=∠COD．

在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，所以△AOB≌△COD（SAS），

所以AB=CD．

点拨：

先由已知条件推出△AOB≌△COD，再根据全等三角形的性质得到AB=CD．

B卷

一、1．解法一：

因为AC=BD，BO=CO，所以AC-CO=BD-BO．即AO=DO，

在△ABO和△DCO中，AB=DC，BO=CO，AO=DO，

所以△ABO≌△DCO（SSS），所以∠A=∠D．

解法二：

如图所示，连接BC．在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，BC=CB，

所以△ABC≌△DCB（SSS），所以∠A=∠D．

点拨：

要说明∠A=∠D，只需说明∠A与∠D所在的三角形全等即可．

2．解：

因为AD∥BC，所以∠ABC+∠BAF=180°，∠DCB+∠CDE=180°，

又因为∠ABC=∠DCB，所以∠BAF=∠CDE．因为AE=DF，所以AE+AD=DF+AD，即ED=FA．

在△ABF和△DCE中，AB=DC，∠BAF=∠CDE，FA=ED，

所以△ABF≌△DCE（SAS），所以BF=CE．

（2）相等．理由：

因为AD∥BC，所以∠FAB=∠ABC，∠EDC=∠DCB，

又∠ABC=∠DCB，所以∠FAB=∠EDC．因为AE=DF，所以AE-AD=DF-AD，即DE=AF．

在△ABF和△DCE中，AB=DC，∠FAB=∠EDC，AF=DE，所以△ABF≌△DCE（SAS），

所以BF=CE．

点拨：

本题是通过说明三角形全等来说明线段相等的．由于点E，F在AD所在直线上做相向运动，则△ABF和△DCE的形状也在不断地变化着，虽然判断两三角形全等的根据都是SAS，但寻找全等的条件时还是有一些不同，望同学们细心体会．

3．解：

如图所示，延长AD到E，使DE=AD，连接EC．

因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD．

在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=EB，所以△ABD≌△ECD（SAS），

所以AB=EC．

在△AEC中，AC=5cm，EC=AB=7cm，

所以7cm-5cm

又AE=2AD，所以1cm

点拨：

本题解法的巧妙之处在于延长中线构造全等三角形，把已知线段和未知线段转移到一个三角形中去，使问题迎刃而解．

二、4．解：

BN=CM且BN⊥CM．

理由：

因为AM⊥AB，AN⊥AC，所以∠MAB=∠NAC=90°，

所以∠MAB+∠BAC=∠NAC+∠BAC，即∠MAC=∠BAN．

在△ABN和△AMC中，AB=AM，∠BAN=∠MAC，AN=AC，

所以△ABN≌△AMC（SAS），

所以BN=MC，∠ABN=∠M．

在△AME中，∠M+∠MEA+∠MAE=180°，

在△BED中，∠EBD+∠BED+∠BDE=180°，

因为∠EBD=∠ABN=∠M，∠MEA=∠BED（对顶角相等），

所以∠BDE=∠MAE=90°，所以BD⊥ED，即BN⊥CM．

点拨：

本题中BN和CM的关系有两种，一种是数量关系，一种是位置关系．

三、5．解：

用卷尺测量DB，DC的长，看它们是否相等，若DB=DC，则AD⊥BC．

理由如下：

因为AB=AC，BD=CD，DA是公共边，所以△ADB≌△ADC，

所以∠ADB=∠ADC，又因为∠ADB+∠ADC=180°，

所以∠ADB=∠ADC=90°，所以AD⊥BC．

四、6．∠B=∠B1（或∠C=∠C1或AC=A1C1）

点拨：

本题是开放性题目，答案不惟一．

7．解：

因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．

在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，

所以△ABC≌△ADE，所以BC=DE．

五、

1．解：

如图所示，在AB边上截取线段AF=AD，

因为AE平分∠DAB，所以∠1=∠2，

在△ADE和△AFE中，AD=AF，∠1=∠2，AE=AE，

所以△AD