《数学分析》课程教学大纲doc.docx
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《数学分析》课程教学大纲
一、课程名称：
《数学分析》
二、课程编号：
Z03002BZ03003BZ03004B
三、学时：
320
四、学分：
20
五、预修课程：
《初等数学》
六、修读说明：
必修
七、课程说明：
讲授
八、课程设置目的与要求
通过本课程的教学，使学生初步掌握基本的系统的分析知识和抽象、严格的数学方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习其它课程打下基础。
九、学习教材与主要参考书
教材：
华东师范大学，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年
参考资料：
1、数学分析学习指导书，吴良森等，高等教育出版社，（2004）
2、数学分析，陈传章等，高等教育出版社（1983）
3、数学分析，欧阳光中等，复旦大学出版社（1991）
4、数学分析中的典型问题与方法，裴礼文，高等教育出版社（1993）
十、教学进度及学时分配
课程内容
教学要求
重点
（☆）
难点
（Δ）
学时安排
备注
第一章实数集与函数
1.实数
2.数集、确界原理
3.函数概念
4.具有某些特性的函数
B
8学时
第二章数列极限
1.数列极限概念
2.收敛数列的性质
3.数列极限存在的条件
B
*
12学时
第三章函数极限
1.函数极限概念
2.函数极限的性质
3.函数极限存在的条件
4.两个重要的极限
5.无穷小量与无穷大量
A
*
△
16学时
第四章函数的连续性
1.连续性概念
2.连续函数的性质
3.初等函数的连续性
A
*
12学时
第五章导数和微分
1.导数的概念
2.求导法则
3.参变量函数的导数
4.高阶导数
5.微分
A
*
18学时
第六章微分中值定理及其应用
1.拉格朗日定理和函数的单调性
2.柯西中值定理和不定式极限
3.泰勒公式
4.函数的凸性与拐点
5.函数图象的讨论
B
△
16学时
第七章实数的完备性
1.关于实数集完备性的基本定理
2.闭区间上连续性质的证明
3.上极限和下极限
C
4学时
第八章不定积分
1.不定积分概念与基本积分公式
2.换元积分法与分部积分法
3.有理函数和可化为有理函数的不定积分
A
*
16学时
第九章定积分
1.定积分概念
2.牛顿——莱布尼茨公式
3.可积条件
4.定积分的性质
5.微积分学基本定理.定积分计算（续）
A
*
16学时
第十章定积分的应用
1.平面图形的面积
2.由平行截面面积求体积
3.平面曲线的弧长与曲率
4.旋转曲面的面积
5.定积分在物理中的某些应用
6.定积分的近似计算
A
*
△
14
第十一章反常积分
1.反常积分概念
2.无穷积分的性质与收敛判别
3.瑕积分的性质与收敛判别
B
12
第十二章数项级数
1.级数的收敛性
2.正项级数
3.一般项级数
B
△
18
第十三章函数列与函数项级数
1.一致收敛性
2.一致收敛函数列与函数项级数的性质
B
△
12
第十四章幂级数
1.幂级数
2.函数与幂级数展开
B
*
△
10
第十五章傅里叶级数
1.傅里叶级数
2.以2l为周期的函数的展开式
3.收敛定理的证明
C
14
第十六章多元函数的极限与连续
1.平面点集与多元函数
2.二元函数的极限
3.二元函数的连续性
A
*
16
第十七多元函数微分学
1.可微性
2.复合函数微分法
3.方向导数与梯度
4.泰勒公式与极值问题
A
*
△
20
第十八章隐函数定理及其应用
1.隐函数
2.隐函数组
3.几何应用
4.条件极值
B
△
18
第十九章含参量积分
1.含参量正常积分
2.含参量反常积分
3.欧拉积分
B
16
第二十章曲线积分
1.第一型曲线积分
2.第二型曲线积分
3.两类曲线积分的联系
B
12
第二十一章重积分
1.二重积分概念
2.直角坐标系下二重积分的计算
3.格林公式.曲线积分与路线的无关性
4.二重积分的变量变换
5.三重积分
6.重积分的应用
7.n重积分
8.反常二重积分
A
*
△
18
第二十二章曲面积分
1.第一型曲面积分
2.第二型曲面积分
3.高斯公式与斯托克斯公式
4.场论初步
B
10
（教学要求：
A—熟练掌握；B—掌握；C—了解）
十一、课程教学内容纲要及重难点
第一章 实数集与函数
一、主要内容：
1．实数；
2．数集与确界原理；
3．函数概念；
4．具有某些特性的函数。
二、基本要求：
1．掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念；
2．深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
三、重点、难点：
本章的重点要深刻理解实数的确界、函数、反函数和复合函数等四个基本概念。
第二章 数列极限
一、主要内容
1．数列，数列极限定义；
2．收敛数列的性质：
唯一性，保号性，夹带性，有界性，四则运算的性质；
3．收敛数列存在的条件。
二、基本要求：
1．深刻理解数列极限的概念，对于ε－N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题；
2．熟悉收敛数列的性质，正确理解数列收敛性的判别法。
掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质；
3．掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。
三、重点、难点：
本章的重点是数列极限的概念，难点是数列极限的ε－N定义及其应用。
在讲解定义时要注意学生从有限到无限的认识过程。
第三章 函数极限
一、主要内容：
1．函数极限的概念
2．函数极限的性质；
3．函数极限存在的条件；
4．两个重要的极限；
5．无穷小量与无穷大量。
二、基本要求：
1．准确建立函数（包括单侧极限）概念，深刻理解函数极限的ε－δ，ε－M定义，明了其几何意义，并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述，能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题；
2．掌握函数的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；
3．掌握Heine定理与Cauchy准则，领会其实质以及啄木鸟感的基本思路；
4．掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；
5．作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。
三、重点、难点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算，难点是cauchy准则和Heine定理的运用。
第四章 函数的连续性
一、主要内容：
1．连续性概念；
2．连续函数的性质；
3．初等函数的连续性。
二、基本要求：
1．深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；
2．应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解，并能熟练准确地识别不同类别的间断点；
3．明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵；
4．掌握连续函数的局部性质，连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；
5．深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的，并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限；
6．掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。
三、重点、难点：
本章的重点是连续性的概念和闭区间上连续函数的性质，难点是一致连续性概念。
第五章 导数与微分
一、主要内容：
1．导数及其几何、物理意义；
2．导数的基本运算：
四则运算，复合函数求导法，反函数求导法，隐函数求导法；
3．常见函数的导函数；
4．可导性与连续性的关系；可导性的局部性；不可导函数的例子；
5．微分的概念及其应用；
6．高阶导数与高阶微分。
二、基本要求：
1．了解导数产生的客观基础，并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；
2．掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求导问题；
3．了解连续性、可导性、可微性之间的关系；
4．理解微分的意义。
三、重点、难点：
本章的重点是复合函数求导法则。
第六章 微分中值基本定理及应用
一、主要内容：
1．Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理；
2．Taylor公式及其应用，近似值的计算；
3．函数的单调性，凸性及极值；不等式、极值点的判定；最大值与最小值；函数略图的作法；
4．不定式极限；
二、基本要求：
1．深刻理解并掌握中值定理的几何意义。
2．掌握常用的一些Taylor公式；掌握Taylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。
3．能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。
4．掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。
5．掌握用微分学知识解决应用问题的基本能力，如函数单调性的判定，不等式的证明，极限问题等。
三、重点、难点：
本章的重点是微分中值定理的理解、函数图象的讨论；难点是微分中值定理的运用。
第七章 实数的完备性
一、主要内容：
1．关于实数集完备性性的基本定理；
2．闭区间上连续函数性质的证明；
3．上极限和下极限。
二、基本要求：
1．深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、Cauchy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；
2．会用“闭区间套定理”的二分法证明；“致密性定理”的抽子列法证明，并能证明其它的一些定理；
3．会用单调有界定理与数列极限的Cauchy收敛原理来证明一些极限存在与不存在；
4．掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质，理解其证明的思想方法；
5．了解数列的上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系。
三、重点、难点：
本章的重点，也是难点是实数完备性的几个等价命题。
第八章 不定积分
一、主要内容：
1．原函数与不定积分的概念；
2．基本积分公式；
3．换元积分法，分部积分法；
4．有理函数积分法；
5．某些可化为有理函数的积分。
二、基本要求：
1．掌握原函数与不定积分的概念；
2．熟练掌握并能灵活应用基本积分公式；
3．熟练掌握凑微分法；
4．掌握抑元积分法，特别能较熟练地使用三角代换、根式代换；
5．掌握分部积分公式，会熟练处理形如
，
，
，
之类的积分；
6．掌握用分部积分法化不定积分成代数方程，从而求解不定积分的方法；
7．掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法；
8．能灵活地处理三角函数的不定积分。
三、重点、难点：
本章的重点是不定积分
，
，
，
的不定积分。
第九章 定积分
一、主要内容：
1．定积分的概念；
2．可积条件与可积函数类；
3．定积分的性质；
4．定积分的计算：
牛顿－莱布尼兹公式；换元积分法；分部积分法；
5．微积分学基本定理。
二、基本要求：
1．理解定积分的定义及其几何意义和物理意义；
2．了
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