北师大版初三数学上册专项练习.docx
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北师大版初三数学上册专项练习
菱形的判定
、选择题
1.下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）
A•对角线互相平分B.对角线互相垂直
C•邻边相等D•对角线互相垂直且平分
2.若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）
A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.
3.满足下列（）的是菱形.
A.两对角线相等
B.两对角线垂直
C.两条对角线垂直且互相平分
D.两条对角线相等且互相垂直
4•顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是
（）
A.等腰梯形B.矩形C.对角线相等D.菱形
5.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）
A.矩形B.三角形C.正方形D.菱形
6.已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边
形是（）
A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形
7.用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）
A.矩形B.菱形C.正方形D.无法确定
8.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）
A.ABCD
B.ACBD
C.ACBD时，它是菱形
D.当ABC90o时，它是矩形
、填空题
9.依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是.
10.在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从
（1）ABCD;
（2）
AB//CD;（3）OAOC;（4）OBOD;（5）AC丄BD;（6）AC平分BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形.如
（1）
（2）（5）ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：
ABCD是菱形；
ABCD是菱形.
11.延长等腰△ABC顶角平分线AD到E使DEAD，连结BE，CE，则四边形
ABEC是形.
12.对角线■勺四边形是菱形.
13.
将矩形ABCD绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A与B重合，得
矩形BFDE，BF交AD于M，DE交BC于N，贝U四边形BMDN是（填特
殊四边形的名称）.
三、证明题
14.已知，如图，从菱形ABCD对角线的交点O分别向各边引垂线，垂线分别是
E，F，G，H.
求证：
四边形EFGH是矩形.
15.已知四边形ABCD的四边分别为a，b，c，d，且满足
a4b4c4d44abcd，求证：
四边形ABCD是菱形.
16.已知YABCD是对角线AC、BD相交于O，如图，且AD,13,AC6,
BD4，你能说明四边形ABCD是菱形吗？
17.
如图所示，Rt△ABC中，ACB90o,ABC的角平分线BD交AC于点D,
19.
如图，在△ABC中，AD是
交AC于F，求证：
四边形AEDF是菱形.
20.如图，矩形ABCD中，0是两对角线的交点，AF垂直平分线段0B，垂足为E，CH垂直平分线段0D，垂足为G.
求证：
（1）△AOB是等边三角形；
（2）四边形AFCH是菱形.
21.如图，矩形ABCD中，0是AC与BD的交点，过0点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F.
（1）求证：
△B0ED0F;
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF为菱形？
并证明你的结论.
D
22.
如图所示，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，B的平分线交AD于M，交AC于E，DAE的平分线交CD于N.求证：
四边形AMNE为菱形.
A
■亍
M
23.如图所示，在四边形ABCD中，对边ABCD,M,N,P,Q分别是AD,
BC,AC,BD的中点，求证：
MN丄PQ.
24.如图，四边形ABCD中，点E在AB上，且△ADE与厶BCE都是正三角形,点P，Q，M，N分别为边AB，BC，CD，DA的中点.求证：
四边形PQMN
25.如图，四边形ABCD中，ABCADC90°，M为AC中点，且MN丄BD
与MD的平行线BN交于N，求证：
四边形BNDM为菱形.
D
26.如图RtAABC中，BAC90°,AD丄BC于D,CE平分ACB交AD于G,交AB于E,EF丄BC于F,求证：
四边形AEFG为菱形.
FH与
形AFCE是菱形.
28.已知：
如图，过YABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG,平行四边形ABCD各边分别相交于点E,F,G,H.
求证：
四边形EFGH是菱形.
29.如图，在YABCD中，0是对角线AC的中点，过点0作AC的垂线与边AD,
BC分别交于E,F.
求证：
四边形AFCE是菱形.
四、应用题
30.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.C
5.D
6.C
7.B
8.B
二、填空题
9.菱形
10.
（1）
（2）（6）（3）（4）（5）[或（3）（4）（6）]
11.菱
12.互相平分且垂直
13.菱形
三、证明题
14.先证四边形HEFG为平行四边形，再证HFEG．
15.解：
因为a4b4c4d44abcd，所以2a42b42c42d48abcd0，所以
（a42a2b2b4）（b42a2c2c4）（c42c2d2d4）（d42a2d2a4）
2（a2b22abcdc2d2）2（a2d22abcdb2c2）0
所以
（a2b2）2（b2c2）2（c2d2）2（d2a2）22（abcd）22（adbc）20由非负数性质得，a2b20，b2c20，c2d20，
d2a20，abcd0，adbc0．
所以abcd．
所以四边形ABCD是菱形．
16.解：
Q四边形ABCD是平行四边形，AC6,BD4.
OAOC3,OBOD2.
又QAD.13.
AD2OA2OD2.
AOD90°,即:
AC丄BD
YABCD是菱形.
17•解：
四边形CDEF是菱形.理由如下：
QDE丄AB,CH丄AB,
DE//CH.
即：
DE//CF.
又QBD是角平分线，
DEDC,
且BDE
BDC
QDE//CH
BDE
CFD.
CDF
DFC
CDCF.
CFDE.
四边形CDEF是平行四边形，又因DCDE.
四边形CDEF是菱形.
18.提示：
只需证四边形EACD为平行四边形，只需证明AE//CD
BM//AE经证BM//CD即可.
19.vEF垂直平分AD,二AEDE,AFDF,
AFDF,
•••AD平分BAC,•••△AEDAFD,二AEAF,二AEDE故四边形AEDF是菱形.
11
20.
（1）可证OAAC,OBBD,/•OAOB.
22
vAF垂直平分OB，二OAABOB，故△AOB为等边三角形.
（2）在等边△AOB中,AF丄OB,二OAEBAE30°,
可证明FCADAC,FCAEAO,/•AFCF,可证明四边形AFCH是平行四边形，而AFCF,故四边形AFCH是菱形.
21.
（1）•••在矩形ABCD中，AB//CD,二EF,EBOFDO，又
BOOD,•••△BOEDOF.
（2）当EF与AC垂直时，四边形AECF为菱形.
证明：
•••△BOEDOF，二EOFO.
又AOOC，二四边形AECF为平行四边形.
又EF丄AC，二四边形AECF为菱形.
22.证明：
设AN与ME交于点O，因为AD是RtAABC斜边BC上的高，
所以ABDCAD.
又BE，AN分别平分ABD和CAD，
所以EANABE.
所以在RtAABE中，AOB90°，△AME是等腰三角形，AN平分ME，
又因为/ABONBO，OBOB，
所以RtAAOB也Rt△NOB，AOON，即ME垂直平分AN，四边形AMNE是菱形.
23.证明四边形MQNP是菱形即可.
24.连结AC，BD,Q△ADE与厶BCE都是正三角形，AEDE，CEBE，
AEDBEC60o，AEC60。
DECDEB证厶AEC△DEB
1
（SAS）ACDB，又P，Q，M，N分别为各边中点，得PQMNAC，
2
1
QMPN-BDPQQMMNNP.四边形PQMN为菱形.
2
25.设MN与BD交于O，易证MBMD，再证△DOM也△BON，从而
BNDM，又由BN//DM，可证得四边形BNDM为菱形.
26.易证AEFE，而且AD//EF，AEGAGEAGEAEF又
AG//EF
AEFG为菱形.
27.证明：
QEF垂直平分AC，
AF
FC，AE
EC，
FACFCA，
EAC
ECA.QAD//BC，
EAC
FCA，
ECA
FCA.QEF丄AC，
CEF
CFE，FCEC，
AF
FCCE
AE，
四边形AFCE是菱形.
28.略
29.先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC丄EF即可得证.
四、应用题
30.添加的条件是：
ACBD．
理由略．
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