贝亚蒂定理定义一个正无理数r的贝亚蒂列Br为Br=[r]，[2r]，[3r]，...=[nr]（n≥1），这里的[]是取整函数.若然有两个正无理数p，q且
，（即
） ，则Bp=[np]（n≥1），Bq=[nq]（n≥1）构成正整数集的一个分划：
.
布利安桑定理布利安桑定理叙述如下：
如果六边形的边交替地通过两个定点P和Q，则连接六边形的相对的顶点的三条对角线是共点的.布列安桑（Brainchon）定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点称为该六边形的布列安桑点.
布朗定理设P（x）为满足p≤ x的素数数目，使得p+2也是素数（也就是说，P（x）是孪生素数的数目）.那么，对于x≥3，我们有：
，其中c是某个常数.
婆罗摩笈多定理
裴蜀定理（贝祖定理）对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：
若a,b是整数,且（a,b）=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
半角定理
拿破仑定理
半角定理做三角形内切圆，在AB，AC，BC边上的切点分别为D，E，F，令
（其中A，B，C为三角形内角的符号），则有
，
，
，
.
代数学基本定理：
任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根（n≥1），由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.简介：
（n≥1） 代数学基本定理说明，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根.由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.
有时这个定理表述为：
任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根.这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根.尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在 .另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理.
陈氏定理任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和.
婆罗摩笈多定理若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M.EF⊥BC，且M在EF上.那么F是AD的中点.
拿破仑定理拿破仑定理由拿破仑发现：
“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形.”该等边三角形称为拿破仑三角形.如果向内（原三角形不为等边三角形）作三角形，结论同样成立.
牛顿定理特指平面几何中的牛顿定理（Newton'sTheorem）牛顿线：
和完全四边形（定义：
我们把两两相交，且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形）四边相切的有心圆锥曲线的心的轨迹是一条直线，是完全四边形三条对角线中点所共的线.
（1）完全四边形三条对角线中点共线；
（2）圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线；（3）圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合.
清宫定理设P，Q为△ABC的外接圆上异于A，B，C的两点，P关于三边BC，CA，AB的对称点分别是U，V，W，且QU，QV，QW分别交三边BC，CA，AB或其延长线于D，E，F，则D，E，F在同一直线上.
清宫定理
燕尾定理
西姆松定理
中线定理（阿波罗尼乌斯定理，重心定理）三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半的平方与该边中线平方的和的两倍.
燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD，S△AOB∶S△COB=AE∶CE，S△BOC∶S△AOC=BF∶AF.
共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比.
九点圆
张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD.那么
.
西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线.（此线常称为西姆松线）.西姆松定理的逆定理为：
若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上.
九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（联结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆.通常称这个圆为九点圆（nine-pointcircle），或欧拉圆，费尔巴哈圆.九点圆是一个更一般的定理：
垂心四面体各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心12点共球的一个特例.当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆.
蝴蝶定理
蝴蝶定理设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD.设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点.
坎迪定理AB是圆内的一段弦，P是弦AB上任意一点，C，D是圆上的任意两点，连接CP，DP并延长分别交圆于F，E，连接CE，DF分别交AB于G，H，设AP=a，BP=b，GP=x，HP=y，则（1/a）-（1/b）=（1/x）-（1/y）.
塞瓦定理塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则
.
塞瓦线（切氏线）三角形一个顶点与其对边上一点的连线
托勒密定理圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.原文：
圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.从这个定理可以推出正弦，余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
梅涅劳斯定理当直线交△ABC三边所在直线BC，AC，AB于点D，E，F时，
.
欧拉定理在数论中，也称费马-欧拉定理，若n，a为正整数，且n，a互质，则：
.几何定理
内容：
（1）设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．
（2）三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线，称为欧拉线.拓扑公式：
V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数.如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X（P）=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X（P）=2-2h.X（P）叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围.复变函数定理内容：
欧拉定理：
eix=cosx+isinx（e是自然对数的底，i是虚数
帕普斯定理
单位）.它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.将公式里的x换成-x，得到：
e-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
.这两个也叫做欧拉公式.将eix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
eiπ+1=0.
这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：
两个超越数：
自然对数的底e，圆周率π，两个单位：
虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它.
费马小定理a是不能被质数p整除的正整数（即：
假如p是质数，且gcd（a，p）=1），则有a（p-1）≡1（modp）.即：
假如a是整数，p是质数，且a，p互质（即两者只有一个公约数1），那么a的（p-1）次方除以p的余数恒等于1.
帕普斯定理直线l1上依次有点A，B，C，直线l2上依次有点D，E，F，设AE，BD交于P，AF，DC交于Q，BF，EC交于R，则P，Q，R共线.
斯台沃特定理任意三角形ABC中，D是边BC上一点，连接AD，则
三余弦定理
.设BC=a，AC=b，AB=c，BD=u，CD=v，AD=w，则
.
斯坦纳-雷米欧司定理两角的平分线相等的三角形是等腰三角形.
调和四边形调和四边形是指对边乘积相等的圆内接四边形.性质：
1，调和四边形的其中一条对角线，与过其余两点的四边形外接圆的两条切线，这三条直线共点；2，设调和四边形ABCD中，对角线AC中点为M，则△AMB∽△DMA∽△DCB，△BMC∽△CMD∽△BAD；3，设调和四边形ABCD中，对角线AC与过B，D两点的四边形ABCD外接圆的切线所共的点记为P，记AP交BD于Q，则AQ为△ABD的一条陪位中线（三角形的一条中线关于与其共顶点的内角平分线的对称直线在三角形内所成的线段叫做三角形的陪位中线），A，Q，C，P四点为调和点列；取对角线AC中点M，设四边形ABCD外接圆圆心为O，则B，P，D，O，M五点共圆.
糖水不等式a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），则糖的质量和糖水的质量比为：
，若再添加c克糖（c>0），则糖的质量和糖水的质量比为：
.生活经验告诉我们：
添加糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：
（a>b>0，c>0）.趣称之为“糖水不等式”.糖水不等式为不等式中的难点.
费马大定理当整数n>2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解.
莫利定理也称为莫雷角三分线定理.将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.
三余弦定理设二面角M－AB－N的度数为
，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为
，和平面N所成的角为
，则
（如图）.（注明：
折叠角公式（又名：
三余弦定理）以及三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便.）若已知二面角其中一个半平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值.
密克定理是几何学中关于相交圆的定理.1838年，奥古斯特·密克（AugusteMiquel）叙述并证明了数条相关定理.许多有用的定理可由其推出.定理陈述：
三圆定理：
设三个圆C1，C2，C3交于一点O，而M，N，P分别是C1和C2，C2和C3，C3和C1的另一交点.设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C.那么B，N，C这三点共线.逆定理：
如果是三角形，M，N，P三点分别在边AB，BC，CA上，那么△AMP，△BMN，△CPN的外接圆交于一点O.完全四线形定理：
如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点O，称为密克点.四圆定理：
设C1，C2，C3，C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点.那么A1，A2，A3，A4四点共圆当且仅当B1，B2，B3，B4四点共圆.五圆定理：
设ABCDE为任意五边形，五点F，G，H，I，J分别是EA和BC，AB和CD，BC和DE，CD和EA，DE和AB的交点，那么△ABF，△BCJ△CDI，△DEH，△AEG的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，不穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心.
皮克定理一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点.如果取一个格点做原点O，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系.这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点.如图中的O，P，Q，M，N都是格点.由于这个缘故，我们又叫格点为整点.一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形.有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出.这个公式是皮克（Pick）在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理.给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目n，边上格点数目s的关系：
（其中n表示多边形内部的点数，s表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积）
抽屉原理（鸽巢原理，重叠原理，狄利克雷抽屉原理）第一抽屉原理：
原理1：
把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件.原理2 ：
把多于mn（m乘n）+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体.原理3 ：
把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体.第二抽屉原理：
把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体（例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2）.
德·摩根定律在命题逻辑和逻辑代数中，德·摩根定律（或称德·摩根定理）是关于命题逻辑规律的一对法则.在命题逻辑中存在着下面这些关系：
非（P且Q）=（非P）或（非Q）；非（P或Q）=（非P）且（非Q）.形式逻辑中此定律表达形式：
，
；在集合论中：
，
；在概率论中：
，
，
，
.
迪尼定理在数学中，迪尼定理叙述如下：
设X是一个紧致的拓扑空间，f（n） 是X上的一个单调递增的连续实值函数列，即使得对任意n和X中的任意x都有fn（x）≤fn+1（x）.如果这个函数列逐点收敛到一个连续的函数f ，那么这个函数列一致收敛到f.这个定理以意大利数学家乌利塞·迪尼命名.对于单调递减的函数列，定理同样成立.这个定理是少数的由逐点收敛可推出一致收敛的例子之一，原因是由单调性这个更强的条件.注意定理中的f一定要是连续的，否则可以构造反例.比如说在区间[0，1]上的函数列{xn}.这是一个单调递减函数，逐点收敛到函数f ：
当x属于[0，1）时f（x）等于0，等于1.但这个函数列不是一致收敛的，因为f不连续.
等周定理等周定理，以及其面积之间的关系.其中的“等周”指的是周界的长度相等.等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小.它可以以不等式表达：
若P为封闭曲线的周界长，A为曲线所包围的区域面积，
等周问题有许多不同的推广，例如在各种曲面而不是平面上的等周问题，以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等.在物理中，等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关.一个直观的表现就是水珠的形状.在没有外力的情况下（例如失重的太空舱里），水珠的形状是完全对称的球体.这是因为当水珠体积一定时，表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值.根据等周定理，最小值是在水珠形状为球状时达到.
多项式余数定理（余数定理）多项式余数定理是指一个多项式 f（x） 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f（a）.例如，
的余数是
.
棣莫弗定理设两个复数（用三角函数形式表示）
，
，则：
.
棣莫弗-拉普拉斯定理棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为其极限分布定律.设随机变量ηn=（n=1，2…）
，则对任意实数x有
.
笛卡尔定理
（1）若平面上四个半径为r1，r2，r3，r4的圆两两相切于不同点，则其半径满足以下结论：
（1）若四圆两两外切，则
；若半径为r1，r2，r3的圆内切于半径为r4的圆中，则
.
（2）若五个球的半径分别是ri（i=1，2，...，5），满足任意一个球与另外四个球外切，则
.
笛沙格定理
凡·奥贝尔定理
多项式定理
的展开式的通项是
，所以多项式的展开式是
，其中
表示通项
在满足条件：
为非负整数，并且
下所有项的和式.
笛沙格定理笛沙格同调定理（同调三角形定理）：
平面上有两个三角形△ABC，△DEF，设它们的对应顶点（A和D，B和E，C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.定理推广：
其逆定理也成立：
笛沙格对合定理：
一条直线与一个完全四点形的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶.一个点与一个完全四线形的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶合.一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14，31与24，12与34称为对边（对顶点）.（该定理在空间中也成立.）
芬斯勒·哈德维格尔定理
费马点“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A，B，C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.定义1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：
对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆.托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点.这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样.这个点因此也叫做托里拆利点.）2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.
费马平方和定理奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1.
凡·奥贝尔定理任意一个四边形，在其边外侧构造一个正方形.将相对的正方形的中心连起，得出两条线段.线段的长度相等且互相垂直（凡·奥贝尔定理适用于凸凹四边形）.
芬斯勒–哈德维格尔定理若两个正方形ABCD和AB'C'D'拥有同一个顶点A.B'D的中点，BD'的中点，ABCD的中心和AB'C'D'的中心将组成一个正方形.
费马多边形数定理每一个正整数最多可以表示为n个n边形数的和.也就是说，每一个数最多可以表示为三个三
三角形数
角形数（三角形数：
古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1，3，6，10，15，21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数.把1.4.9.16.…这样的数称为正方形数）之和，四个平方数之和，五个五边形数之和，依此类推.一个三角形数的例子，是17=10+6+1.一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为四个平方数之和，例如7=4+1+1+1.
合比定理在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理.即：
如果
，那么
（b，d≠0）.
分比定理在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理.即：
如果
那么
（b，d≠0）.
合分比定理一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比.这叫做比例中的合分比定理.即：
如果
那么
（b，d，a-b，c-d≠0）.
等比定理（更比定理）一个比的前项与另一个比的后项互调后，所得结果仍是比例.即：
如果
那么
（a，b，c，d≠0）.
推论：
若如果
，则
.
圆幂定理内容：
如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A，B与C，D，则PA·PB=PC·PD.圆
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