八年级平行四边形单元测试题.docx
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八年级平行四边形单元测试题
平行四边形单元测试
（满分：
150分时间：
180分钟）
班级姓名成绩
一、选择题（每小题2分，共24分）
1．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，
EA=CA，则四边形BCDE是（）
A．任意四边形B.矩形
C.菱形D.正方形
2.平行四边形一条对角线与一边垂直且此对角线为另一边的一半,则此平行
四边形两邻角之比为（）
A.1:
2B.1:
3
C.1:
4D.1:
5
3.如图12-44,在▱ABCD中,AD=2DC,M,N分别在AB两边的延（）.长线上,且有MA=AB=BN,则MC与DN的关系是
A.相等B.垂直
C.垂直相等D.不能确定
4.下列说法错误的是（）.
A.四个角相等的四边形是矩形.B.四条边相等的四边形是正方形.
C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直的矩形是正方形.
5.若菱形的周长为9.6厘米,两个邻角的比是1:
2,则较短对角线的长是（）
A.2.1B.2.2
C.9.6D.2.4
6.下列命题:
（1）等边三角形是中心对称图形;
（2）一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
其中正确命题的个数（）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
7.如图12-45,正方形ABCD的对角线BD上一点M,BM=BC,CM的延长线交AD于P,AM延长线交CD于Q,则∠CMQ=（）.
A.25°B.45°
C.67.5°D.30.5°
8.如图12-46,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB边的中点,AH⊥BC于
H,FD=8厘米,则HE=（）
A.20B.16
C.12.D.8
9.如图12-47,在△ABC中,D,E,F分别是三边的中点,则四边形CDEF的
周长等于（）
A.AB+ACB.AB+BC
C.AC+BCD.AB+BC+AC
10.如图12-48,在▱ABCD中,AB=8,AD=6,∠DAB=30°,点E,F在AC上,且
AE=EF=FC,则△BEF的面积为（）.
A.8B.4
C.6D.12
二、填空（每小题2分，共24分）
11．平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为——————————。
12．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，周长为16，则OD=———。
13．如图12-49，在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，
AE=AB，AB=2AD，则∠EBC为————。
14．若一个平行四边形的一条边长为9厘米，一条对角线长为6厘米，则它的另一条对角线L的取值范围是——————.
15.如图12-50,在▱ABCD中,∠A的平分线交BC于点E,若AB=10厘米,AD=14厘米,则BE=_____,EC=__________.
16.如12-51,在▱ABCD中,E,F分别为AB,DC的中点,连结DE并延长,交CB的延长线于点G,连结BF并延长,交AD的延长线于点H,则图中共有_________个平行四边形.
17.如图12-52,在▱ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=3厘米,AB=6厘米,DF=5厘米,则▱ABCD的周长为________厘米.
18.如图12-53,在▱ABCD中,DE⊥AB交BA延长线于点E,DF⊥BC交BC
延长线于点F,若∠EDF=140°,则▱ABCD的各角为________.
19.如图12-54,在正方形ABCD中,AP=18厘米,点A和点P关于EF对称,
则EF=_______厘米.
20.如图12-55,在▱ABCD中,E为AB的中点,∠DEC=90°,AD=12厘米,
则AB=_________厘米.
三、解答（25-31每小题10分，32题12分，共102分）
25．如图12-56，在▱ABCD的边AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连结CE，DF相交于点M，求证：
CD=CM。
26．如图12-57，在△ABC中，点M，N在AB上，AM=BN，ME∥BC交AC于E，MG∥AC交BC于G，NH∥AC交BC于H,求证：
AC=NH+MG。
27．如图12-58，在△ABC中，AB=AC=5厘米，M为BC上一点，过M作MN∥AB，MD∥AC.求四边形ADMN的周长.
28.如图12-59,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,AE=CF.求证:
EF与AC互相平分.
29.如图12-60,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD是∠A的平分线,CH是高,AD,CH相交于点F,DE⊥AB,垂足是E.求证:
四边形CDEF是菱形.
30.如图12-61,在正方形ABCD中,E为BC上一点,CF平分∠DOG,AE⊥EF,求证:
AE=EF.
31.如图12-62,在矩形ABCD中,E是BC边上的一点,DF⊥AE于F,若AE=BC,求证:
CE=EF.
32.如图12-63,在梯形ABCD中,DC∥AB,DC+CB=AB,∠A=51°,求证:
∠CBA=78°.
答案
一、1．B2.D3.D4.B5.B6.D
7.A8.B9.D10.C11.B12.C
提示:
1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,又∵DA=AB,EA=CA,∴BD=EC,且互相平分,
∴四边形BCDE是矩形.
2.如图,在平行四边形ABCD中,∵AC⊥AB,AC=1/2BC,∵∠B=30°（在直角三角形中,
若一直角边等于斜边的一半,则其所对的角等于30°）.
又∵AD∥BC,
∴∠BAD=180°-30°=150°,∴∠B:
∠BAD=30°:
150°.
3.设平行四边形另一边为Xcm,则2X+6╳2=28,2X=16,X=8.
4.连结GH,∵DC∥MN,∴∠DCG=∠AMG,∠CDG=∠MAG,CD=AB=MA,则△CDG以G为中心旋转180°后和△MAG完全重合,∴DG=GA,即G是AD的中点,又AD=2DC,∴DG=DC,同理可证CH=CD,∴CH=DG,又知DG∥CH,∴四边形CDGH是菱形,∴CG⊥DH,即MC⊥DN.
5.根据四边形的内角和为360°,若四个角都相等,则每个内角均为直角,则此四边形为矩形,故A是正确的.
若菱形的对角线相等,根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,C正确的.
若矩形的对角线互相垂直,根据对角线相等且互相垂直平分的边边形是正方形,可知D是正确的.
6.如图,在菱形ABCD中,∵其周长=9.6,∴菱形边长=2.4.
∵菱形∠B:
∠BAD=1:
2,设∠B=X,∠BAD=2X,则X+2X=180°,3X=180°,∴X=60°,又AB=BC,连结AC,∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=2.4.
7.∵等边三角形是以高所在的直线为对称轴的轴对称图形,∴它不是中心对称图形.
∵一组对边平行,另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形,∴不一定平行四边形.
矩形的两条对角线相等且互相平分,若它们垂直,则一定是正方形.如图,AC⊥BD,显然,四边形ABCD不是正方形,故选A.
8.∵BD平分∠ABC,∴∠ABM=∠CBM=45°.
又∵BM=BC=AB,∴∠AMB=∠BAM=1/2（180°-45°=67.5°.
∠BMC=∠BCM=1/2（180°-45°）=67.5°.
又A,M,Q在同一直线上,∴∠CMQ=180°-∠AMB-∠CMB=180°-67.5°-67.5°=45°.
9.∵AH⊥BC,E是AC的中点,在Rt△AHCk,HE是斜边AC上的中线,∴HE=1/2AC（在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半）.
又∵D,F分别是BC,AB的中点,∴DF是△ABC的中位线,则DF∥AC且DE=1/2AC=8.∴HE=8.
10.∵D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,根据三角形中们线定理可知,DE∥AC且DE=1/2AC,EF∥BC且EF=1/2BC,则四边形CDEF为平行四边形,EF=DC,DE=FC,∴DE+EF+FC+CD=2DE+2EF=AC+BC.
11.过D作AB上的高DG,在Rt△ADE中,∵∠DAE=30°,AD=6,∴DG=1/2AD=3（在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半）.
∴S▱ABCD=底╳高=AB╳DG=8╳3=24.
又∴△ABC与△CDA可完全重合,
∴S△ABC=S△CDA.
又AE=EF=FC,且△ABE,△EBF,△FBC的高相等,∴S△ABE=S△FBC=1/3S△ABC.
∴S△BEF=1/3S△ABC=1/3╳1/2S▱ABCD=1/3╳1/2╳24,故选B.
12.如图,AD∥BC,∠C=90°,∠ABC=60°,AB=BC=a,过A作AE⊥BC于E,则∠BAE=30°.
则BE=1/2AB=1/2a,
又AD=EC=BC-BE=a-1/2a=1/2a,
∴此梯形中位线=1/2（上底+下底）=1/2（AD+BC）=1/2（1/2a+a）=3/4a.
二、13．70°110°14.直角15.216.15°
17.1018.1220.321.3222.40°,140°
23.1824.24
提示:
13.∵在▱ABCD中,AD∥BC,AB∥DC,
∴∠A+∠D=180°,∠D=∠B.
∴∠D+∠B=220°,即2∠B=220°,
∴∠B=110°,即∠D=110°,∴∠A=70°.
14.如图,∵∠ABC+∠BCD=180°,又BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,∴∠CBE+∠BCE=1/2∠ABC+1/2∠BCD=1/2（∠ABC+∠BCD）=90°.
15.∵菱形的周长为16,∴边长=4.∵ADC=∠ABC=120°,
对角线BD⊥AC,且互相平分,BD平分∠ADC,∠ABC,
∴在Rt△COD中,∠COD=60°,∠DCO=30°,∴OD=1/2CD=1/2╳4=2.
16.∵AE=AB=2AD,∴Rt△ADE中,AD=1/2AE,∴∠AED=30°,又DC∥AB,∴∠BAE=∠AED=30°.∴∠ABE=∠AEB=1/2（180°-∠BAE）=1/2（180°-30°）1/2╳150°=75°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-75°=15°.
17.如图,∵AC⊥BC,AC平分∠BAD,BC=2,AB=4,则在Rt△ABC中,BC=1/2AB,∴∠BAC=30°（在直角三角形中,若一直角边等于斜边的一半,则其所对的角等于30°）.
∴∠B=60°,
∠BAD=2╳30°=60°.
∴四边形ABCD是等腰梯形,∴AD=BC=2.又∵∠D=∠BCD=120°,则∠DAC=∠DCA=30°,∴DC=AD=2,∴AB+BC+CD+DA=4+2+2+2=10.
18.如图,设在▱ABCD中,BC=9,AC=6,过A作AE∥BD交CB延长线于E,则四边形ADBE为平行四边形,∴BE=AD,AE=BD.
在△ACE中,∵CE=BC+BE=BC+AD=2BC=18,AC=6,设AE的长为l,根据三角形三边之间的关系:
三角形中任意一边小于其他两边之和,而大于其他两边之差.
∴19-619.∵AE平分∠BAD,∵∠BAE=∠DAE.
又∵AD∥BC,∴EC=BC-BE=14-10=4.
1.图中共有3个平行四边形,即▱ABCD,▱DEBF,▱DHBG.
2.∵AE⊥BC,BE=3,AB=6,6,∴在Rt△ABE中,BE=1/2AB,∴△BAE=30°,∴∠B=60°,
∠C=120°.
在四边形AECF中,∵四边形内角和为360°,
∴∠EAF=360°-90°-90°-120°=60°.
∴∠DAF=∠BAD-∠BAE-∠EAF=120°-30°-80°=30°.
在Rt△ADF中,∵DF=5,DF=1/2AD,
∴AD=2DF=2╳5=10.
∴AB+BC+CD+AD=2AB+2AD=2╳6+2╳10=32.
22.∵DE⊥BE,DF⊥BF,∠EDF=140°,又∵四边形BEDF的内角和为360°,∴∠B=360°-∠DEB-∠DFB-∠EDF=360°-90°-90°-140°=40°,∴∠BAD=180°-40°=140°,
∴∠B=∠ADC=40°,∠BAD=∠BCD=140°.
23.如图,过B作BH∥EF交CD于点H,∵EF⊥AP.
∴∠BAP+ABH=90°.
又∠CBH+∠ABH=∠ABC=90°.
∴∠BAP=∠CBH（同角的作角相等）.
又∠ABC=∠BCH=90°,AB=BC,则把Rt△BCH旋转90°后可与Rt△ABP完全重合,∴BH=AP=18,又∵四边形BEFH为平行四边形,∴EF=BH=18.
24.如图,在▱ABCD中,过E作EF∥AD交DC于F,则四边形ADFE为平行四边形,∴EF=AD=12,DF=AE=EB=FC,则F为DC之中点.又∵∠DEC=90°,∴在Rt△DEC中,EF是斜边DC上的中线,∴EF=1/2CD（在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=2EF=24,故AB=24.
三、25．简解：
在△ABD与△BEC中，∵AD=BC，AB=BE，∠A=∠CBE，∴把△BEC沿BA方向，平移距离AB后可与△ABD完全重合。
∴∠ABD=∠BEC，∴BD∥EC（同位角相等，二直线平行）。
∴∠BDM=∠CMD，又DC∥AE，
∴∠F=∠CDM。
又∵BD=BF，∴F=∠BDF，
∴∠CDM=∠CMD，∴CM=CD。
26．简解：
∵ME∥BC，MG∥AC，∴四边形CEMG为平行四边形，∴CE=MG，在△ME与△NBH中，∵NH∥AE，ME∥BH，∴∠A=∠BNH，∠AME=∠B，且AM=NB，则把△AME沿MB方向平移距离MB后可与△NBH完全重合。
∴AE=NH，∴AC=AE+EC，即AC=NH+MG。
27．简解：
MN∥AB，MD∥AC，∴四边形ADMN为平行四边形，又∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠CMN=∠BMD，∴BD=DM，CN=MN。
∴平行四边形ADMN的周长=AD+DM+MN+AN=AD+DB+CN+NA=AB+AC=5+5=10。
28．简解，如图，连结AF，CE，∵AB∥DC，∠ABC=∠CDA，则把△ACD绕着AC的中点旋转180°后可与△CAB完全重合，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA。
在△ABE与△CDF中，∵AE=CF，BE=DF，AB=CD，则△CDF绕着EF的中点旋转180°后可与△ABE完全重合。
∴∠EAB=∠FCD，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠FCD+∠DCA=∠ACF，
∴AE∥FC，又AE=FC，∴四边形AECF为平行四边形。
∴对角线EF与AC互相平分。
29．简解：
∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CH∥DE，又∵AD平分∠CAB，∴∠EDF=∠HFA（同位角相等），∠EDF=∠CDF（等角的余角相等）。
又∵∠CFD=∠HFA（对顶角相等），
∴∠CDF=∠CFD，∴CD=CF。
又∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB。
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴DE=CF，DE∥CF，∴四边形CDEF是平行四边形，又∵DE=CD，∴四边形CDEF是菱形。
30．如图，在AB上截取AH=CE，连结HE。
∵AB=BC，AH=CE，
∴BH=BE，∴∠BHE=∠BEH=45°，∴∠AHE=180°-45°=135°，又CF平分∠DCG，∴∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°。
又∵∠HAE+∠AEB=90°，又AE⊥EF，∠CEF+∠AEB=90°。
∴HAE=∠CEF（同角的余角相等）。
在△ECF与△AHE中，∴AH=EC，∠HAE=∠CEF，∠AHE=∠ECF=135°，则把△ECF以AF的中点为中心，旋转90°后可与△AHE完全重合，∴AE=EF。
31．简解：
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，
AD∥BC，AD=BC，∴∠DAE=AEB。
∵AE=BC，∴AE=AD，∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，∴∠AFD=∠B。
则把△ADF经过平移和旋转180°后可与△EAB完全重合，
∴AF=BE，∴BC-BE=AE-AF，即EC=EF。
32．简解：
如图，DC∥AB，过D作DE∥BC交AB于E，则∠AED=∠CBA，DE=BC，
BE=CD。
又∵DC+CB=AB，AE+EB=AB，∴AE=BC=DE，∴∠A=∠ADE，又∵∠A=51°，
∴∠AED=180°-51°╳2=78°，即∠CBA=78°。
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