四川省内江市高中届高三第一次模拟考试题数学理工类解析版.docx
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四川省内江市高中届高三第一次模拟考试题数学理工类解析版
四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题
数学（理工类）解析版
1、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.已知集合，，则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
故选
2.设为虚数单位，，若是纯虚数，则
A.2B.C.1D.
【答案】C
【解析】是纯虚数，
，计算得出
故选
3.下列各组向量中，可以作为基底的是
A.，B.，
C.，D.，
【答案】B
【解析】选项中，零向量与任意向量都共线，故错误；
选项中，不存在实数，使得，故两向量不共线，故正确；
选项中，，两向量共线，故错误；
选项中，，两向量共线，故错误；
故选
4.下列说法中正确的是
A.先把高三年级的2000名学生编号：
1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线不一定过样本中心点
C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D.设随机变量服从正态分布，则
【答案】D
【解析】中抽样方法为系统抽样，故错误；
中线性回归方程必过样本中心点，故错误；
:
若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1,故错误；
故选
5.执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是
A.2B.1C.D.
【答案】A
【解析】输入
，，
，，
时，，
时，，
当时，，
当时，输出
故选
6.若函数在上单调递减，则的值可能是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
当时，，不符合；
当时，，不符合；
当时，，符合；
故选
7.已知是锐角，若，则
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】，是锐角，
则
故选
8.设是等比数列，则下列结论中正确的是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
【答案】D
【解析】
，
则
故选
9.函数的图象大致是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】的定义域为，
则是偶函数
又
故选
10.已知实数满足，则当时，的最大值是
A.5B.2C.D.
【答案】C
【解析】如图，可行域：
令，则
原式
当时，几何意义指到原点距离
有，解得
代入原式故选
11.当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】不妨令
则
当时，在时单调递增，当时不恒大于，不成立
当时在时恒成立
当时在单调递减，在单调递增，
令，，在单调递减，在单调递增
，故当时且时
综上的取值范围是，故选
点睛：
本题考查了导数的应用，在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量的取值范围
12.设，函数，，，…，，曲线的最低点为，的面积为，则
A.是常数列B.不是单调数列C.是递增数列D.是递减数列
【答案】D
【解析】根据题意得，…，
，又曲线的最低点为，则当时
，
则
所以是递减数列，故选
点睛：
本题根据题意总结出最低点的规律，计算三角形面积时采用了点到线的距离为高，在计算出底边长度，从而计算出面积，这样虽计算量较大，但是最后好多可以约去，得出函数的单调性，本题也可以通过分割三角形计算面积
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.的展开式中，的系数是_____________.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意可知，展开式的通项为
则的展开式中，含的项为，所以的系数是
14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：
丙没有申请；乙说：
甲申请了；丙说：
甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是_____________.
【答案】乙
【解析】
（1）假设甲说的是假话，乙、丙说的是真话，则甲所说与乙相矛盾
（2）若乙说的是假话，甲、丙说的是真话，则甲没申请，丙没申请故申请人为乙
15.设函数，则满足的的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
（1）当时，解得，即
（2）当时，，满足题意
（3）当时，恒成立
综上的取值范围是
点睛：
本题考查了分段函数求解不等式问题，尤其注意当时的解析式，结合分段函数进行分类讨论，求出解析式即可求得不等式解集
16.已知菱形的边长为2，，是线段上一点，则的最小值是_____________.
【答案】
【解析】以所在直线为轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图:
由题意可知，，，，设，则
故，当时取得最小值
点睛：
本题采用了建立平面直角坐标系的方法求向量的最小值，运用建系的方法可以直接给出各点坐标表示，设出点坐标，只含一个未知数，将问题转化，只要计算关于的一个一元二次函数的最值问题即可
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.设数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
根据题意求出当时，
求出的表达式，然后验证当时是否成立
（2）先给出通项，运用分组求和法求前项和
解析:
（1）数列满足
当时，，∴当时，，即当时，满足上式，∴数列的通项公式
（2）由
（1）知，
18.的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，点在边上，，求的长.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
（1）运用正弦定理进行边角互化，即可求出的值
（2）运用余弦定理求得，计算得，再解三角形即可求出结果
解析:
（1）∵，∴由正弦定理知，，∵∴，于是，即，∵，∴
（2）由
（1）和余弦定理知，
∴，∴
∵在中，，∴，∴
19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：
甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95,100）
[100,105）
[105,110）
[110,115）
[115,120）
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
图1：
乙套设备的样本的频率分布直方图
（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
（3）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.
附：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
.
【答案】
（1）见解析；
（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
（1）根据表1和图1即可完成填表，再由将数据代入计算得即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足，代入即可求得结果
解析:
（1）根据表1和图1得到列联表
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得
∵，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
（2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
（3）由题知，∴.
20.已知函数，曲线在点处的切线方程为：
.
（1）求，的值；
（2）设，求函数在上的最大值.
【答案】
（1）；
（2）见解析
【解析】试题分析：
根据题意得当时，代入得由切线方程知，联立解得，的值
（2）表示，求导然后分类讨论
当时和当时两种情况
解析：
（1）由切线方程知，当时，，∴
∵，∴由切线方程知，
∴
（2）由
（1）知，∴，
①当时，当时，，故单调递减
∴在上的最大值为
②当时
∵，，∴存在，使
当时，，故单调递减
当时，，故单调递增∴在上的最大值为或
又，，∴当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为
③当时，当时，，故单调递增
∴在上的最大值为
综上所述，当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为
点睛：
本题考查了导数的几何意义，通过求导计算出在某点处的切线方程，从而可以计算出参量的值，第2问在计算最值时需要进行分类讨论，需要注意在第一次讨论过程中不知两断数量的大小，这里再一次进行讨论
21.已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：
当时，；
（2）设为整数，函数有两个零点，求的最小值.
【答案】
（1）见解析；
（2）1
【解析】试题分析：
（1）要证明不等式成立，构造设，求导，利用单调性即可证明，从而证明整个不等式组
（2）结合
（1）问结论得当时无零点，当时，利用导数求得其单调性当时，，单调递减，当时，，单调递增，然后求得，从而得到两个零点
解析：
（1）证明：
设，则，令，得
当时，，单调递减
当时，，单调递增
∴，当且仅当时取等号，∴对任意，
∴当时，，∴当时，
∴当时，
（2）函数的定义域为
当时，由（Ⅰ）知，，故无零点
当时，，
∵，，且为上的增函数
∴有唯一的零点，当时，，单调递减
当时，，单调递增
∴的最小值为
由为的零点知，，于是
∴的最小值，由知，，即
又，
∴在上有一个零点，在上有一个零点
∴有两个零点，综上所述，的最小值为1.
点睛：
本题考查了证明函数不等式成立及函数零点问题，在证明不等式成立问题时构造新函数，利用导数求导，结合单调性即可证明，在解答零点问题时虽求不出具体的零点的值，但是根据条件和计算能够判断函数值与零的大小关系，然后利用零点的存在定理解答本题
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知直线上一点的极坐标为，其中.射线与曲线交于不同于极点的点，求的值.
【答案】
（1），；
（2）1
【解析】试题分析：
（1）根据题意将直线参数方程先转化为普通方程，然后再改写为极坐标方程，圆的方程亦是这样完成
（2）将其转化为极坐标运算，从而求得长度
解析：
（1）直线的普通方程为，极坐标方程为
曲线的普通方程为，极坐标方程为
（2）∵点在直线上，且点的极坐标为
∴，∵，∴
∴射线的极坐标方程为，联立，解得
∴
点睛：
本题考查了极坐标
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