y>0
6.如果执行下面的程序框图,那么输出的S二
^=^+1结束
7.△ABC中,AB=J3,AC=1,NB=30”,则△ABC的面积等于
&给出下列命题:
1变量y与x之间的相关系数「二-0.9568,查表到相关系数的临界值为
Ba=0.8016,则变量y与x之间具有线性关系;
2a0,b0则不等式a3b3_3ab恒成立;
3对于函数fx=2x2mxn.若fa\>0.fb户0,则函数在a,b内至多有一个零点;
4y=fx-2与y=f2-x的图象关于x=2对称.
其中所有正确命题的序号是.
1
9.若?
ABC内切圆半径为r,三边长为a、b、c,则?
ABC的面积S=qr(a+b+c)类
比到空间,若四面体内切球半径为R,四个面的面积为0、S2、S3、S4,则四
面体的体积V=.
10.已知I#=2b式0,且关于x的函数f(x)=^x3+丄ax2+abx在R上有极值,
II32
则a与b的夹角范围为.
11.已知数列牯」为等差数列,且a+a7+a13=4兀,则nE+掠=.
2
12.函数f(x)=ln(x+1)-一的零点所在的区间是(n,n+1),则正整数n=.
x
13.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图:
则四棱锥P-ABCD的表面积为.
左视图
是(4,a),则当\a\>4时,
|PA||PM|的最小值是
二、解答题:
本大题共6小题,共步骤
15.(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60
名学生,将其成绩(是不小于40不大于100的整数)分成六段
90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算
40,50,50,60…90,1001后
(1)求第四小组的频率,并补全
这个画出如下部分频率分布直方图.
(2)观察频率分布直方图图形的
信息,估计这次考试的及格率(60
分及以上为及格)和平均分.
16.(本题满分13分)如图,在正方体
ABCD—AiBiCiDi中,E、F为棱AD、AB的中点.
(1)求证:
EF//平面CBiD仁
(2)求证:
平面CAAiCi丄平面CBiDi.
17.(本题满分15分)在ABC中,a,b,c
Tm=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且m〃n.
分别是角a、B、c的对边,
(1)求角A的大小;
2n
(2)求y=2sin2Bcos(2b)的值域.
椭圆上的点到焦点的最短距离为1—V2,直线I与y轴交于点P(0,m),与椭圆C
(1)求椭圆方程;
=40P,求m的取值范围.
—IT
(2)若0曲-OB
19.(本题满分16分)已知数列{a*}的首项6=1,a2=3,前n项和为Sn,且Sn.1、
2a1—
&、(n分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,AB-BC,设an
b=1,bn1-log?
®1)bn.
⑴判断数列{an1}是否为等比数列,并证明你的结论;
bn13
4n十n
⑵设cn,证明:
VCk<1.
anan卅
20.对于函数f(x),若存在Xo•R,使f(Xo)=Xo成立,则称Xo为f(X)的不动点。
x2+a
如果函数f(x)(b,c・N*)有且仅有两个不动点0、2,且
bx—c
1
f(-2):
:
:
匚。
2
(1)试求函数f(x)的单调区间;
(2)点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y=f(x)
图象上三点,其中1讣:
:
2(i=1,2,3),求证:
"ABC是钝角三角形.
第n部分加试内容
(命题单位:
通州中学满分40分,答卷时间30分钟)
一•必答题:
本大题共2小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.(本小题满分10分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R
的函数:
fi(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,f4(x)=sinx,f5(X)=C0SX,f6(x)=2.
(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是
奇函数的概率;
(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函
数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数■的分布列和数学期望•
2.(本小题满分10分)已知数列{aj满足印=1,且4ani-a^n「2an=9
(nN)
(1)求印82,03月4的值;
(2)由
(1)猜想{an}的通项公式,并给出证明.
、选答题:
本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的
前两题记分.每小题10分,共20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
3•(几何证明选讲)(本小题满分10分)如图所示,已知PA与OO相切,A为切点,
PBC为割线,,弦CD//AP,AD、BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2=EFEC
(1)求证:
.P=EDF;
(2)求证:
CEEB=EFEP.
到3倍的伸压变换.
22
求逆矩阵M」以及椭圆%-y=1在M」的作用下的新曲线
49
的方程.
5.(坐标系与参数方程)
(本小题满分10分)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角〉二一,
6
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设I与圆x2y^4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积
6.(不等式选讲)
(本小题满分10分)设xy^1,求F=2x23y2z2的最大值.
数学试题(答卷)
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分•不需写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上.
1•2•3•4.
5.6.7.8.
9.10.11.12.
13.14.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(本题满分12分)
16.(本题满分13分)
C1
C
A
F
B
17.(本题满分15分)
19.(本题满分16分)
第n部分加试内容
一.必答题:
本大题共
2小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.(本小题满分10分)
2.(本小题满分10分)
二、选答题
选答题1,你所选择的题号是
解:
选答题2,你所选择的题号是
解:
数学试题参考答案
、填空题:
1.-x・R,均有x+x+1>02.第一象限3.充分而不必要条件4.0.01
5.46.25507.3或仝8.①④9.1R(Si+S2+&+S4)
243
10.(—,「:
],11.312.113.S=2a2、2a214..a2—9-1
3
二、解答题:
15.(I)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
f4=1-(0.0250.01520.010.005)10=0.33'
直方图如右所示6'
595f6
(n)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为
(0.0150.030.0250.005)10
=0.75
所以,抽样学生成绩的合格率是
75%..9'
利用组中值估算抽样学生的平均分
45f155f265f375f485
=450.1550.15650.15750.3850.25950.05
=71
估计这次考试的平均分是71分
12'
16.
(1)证明:
连结BD.
在长方体AG中,对角线BD//B1D1.
又tE、F为棱AD、AB的中点,
EF//BD.
EF//B1D1.
又BiDi=平面CB1D1,EF二平面CBQ,,
AEF//平面CBiDi.6'
(2)T在长方体AC1中,AAl丄平面AiBiCiDi,而BiDi=平面AiBiCiDi,
AAi丄BiDi.
又;在正方形AiBiCiDi中,AiCi丄BiDi,
BiDi丄平面CAAiCi.
又’一一BiDi=平面CBiDi,
■平面CAAiCi丄平面CBiDi.i3'
TT
i7.(i)由m〃n得(2b-c)cosA-acosC=04'
由正弦定理得2sinBcosA-sinCeosA-sinAcosC=0
2sinBcosA—sin(A+C)=0
二2sinBcosA—sinB=0
1兀代B「0,二.sinB=0,cosA,A二
23
2兀.
(2)y=sinBcoscos2Bsin—sin2B
3
13.
12
10
1cos2Bsin2B
22
=sin(2B)1
6
(2)由AP=pb,O+Ob=4OP
•••H1=4,L3或O点与P点重合OP=_0>
当0点与P点重合OP="3时,m=0
当匸3时,直线I与y轴相交,则斜率存在。
设I与椭圆C交点为A(xi,yi),B(X2,y2)
y=kx+m222
22得(k+2)x+2kmx+(m—1)=0
2x+y=1
216'
cc2
22—2m1,、
因X=3--kz0••k^~~2>0,•—14m—12
容易验证k2>2m2—2成立,所以(*)成立
11
即所求m的取值范围为(一1,—)U(1,1)U{0}
19.⑴由题意得SnA3―=and2an■1
Sn-q4an
an11=2(%1)(n>2),
-数列{an1}是以a,•1=2为首项,以2为公比的等比数列。
8
[则an•1=2n•an=2n-1(nN)]
⑵由an=2n-1及bn1=log2(an1)bn得bni=bnn
11
n(n「1)
2
6'
证明:
据题意A(X1,f(xJ),B(X2,f(X2)),C(X3,f(X3))且X1由
(1)知f(X1)>f(X2)>f(X3),
BA二(Xi-x2,f(Xi)-f(x?
)),BC二(X3一x2,f(X3)一f(X2))
14
bABC=(X!
-X2)(X3-X2)「(xJ-fgMMxd-fX)]
-X2:
:
0,X3-X20,f(xj-f(X2)0,f(X3)-f(X2):
:
0
.BABC:
:
0,•B(—,二)
2
即"ABC是钝角三角形.18'
第H部分加试内容
由题意知P(A)=2
C6
故E的分布列为
E
1
2
3
4
P
1
3
3
1
2
10
20
20
.1331
E=1234
2102020
10'
答:
E的数学期望为-.
4
二、选答题:
2
3.
(1)vDE=EF•EC,
•••DE:
CE=EF:
ED.
•△DEFPEA.•DE:
PE=EF
AD、BC相交于点E,「.DE•EA=CE•EB.•CE•EB=EF•EP.10'
4.(矩阵与变换)解:
.
22
椭圆—y=1在M」的作用下的新曲线的方程为x2110'
49
x=1W
(2)把直线2代入
y=14
I2
得(13t)2(1」t)2=4,t2(31)t-2=0,
22
6.
1=(x+y+zf=•V2x+于.y/Jy+1・z
if2嗚
当且仅当
2x.3yz32
〒二=且xyz=1,x,y,z=
111111111
23
F有最小值—■
11