算法时间复杂度的计算.docx
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算法时间复杂度的计算
算法时间复杂度的计算[整理]
基本的计算步骤
时间复杂度的定义
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T（n）表示，若有某个辅助函数f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/f（n）的极限值为不等于零的常数，则称f（n）是T（n）的同数量级函数。
记作T（n）=O（f（n）），称O（f（n））为算法的渐进时间复杂度（O是数量级的符号），简称时间复杂度。
根据定义，可以归纳出基本的计算步骤
1.计算出基本操作的执行次数T（n）
基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。
在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。
2.计算出T（n）的数量级
求T（n）的数量级，只要将T（n）进行如下一些操作：
忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
令f（n）=T（n）的数量级。
3.用大O来表示时间复杂度
当n趋近于无穷大时，如果lim（T（n）/f（n））的值为不等于0的常数，则称f（n）是T（n）的同数量级函数。
记作T（n）=O（f（n））。
一个示例：
（1）intnum1,num2;
（2）for（inti=0;i（3） num1+=1;
（4） for（intj=1;j<=n;j*=2）{
（5） num2+=num1;
（6） }
（7）}
分析：
1.
语句intnum1,num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i语句j<=n;j*=2;num2+=num1;的频度为n*log2n；
T（n）=2+4n+3n*log2n
2.
忽略掉T（n）中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f（n）=n*log2n
3.
lim（T（n）/f（n））=（2+4n+3n*log2n）/（n*log2n）
=2*（1/n）*（1/log2n）+4*（1/log2n）+3
当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0
所以极限等于3。
T（n）=O（n*log2n）
简化的计算步骤
再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2+=num1，一般也是最循环的语句。
并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？
于是，以上步骤可以简化为：
1.找到执行次数最多的语句
2.计算语句执行次数的数量级
3.用大O来表示结果
继续以上述算法为例，进行分析：
1.
执行次数最多的语句为num2+=num1
2.
T（n）=n*log2n
f（n）=n*log2n
3.
//lim（T（n）/f（n））=1
T（n）=O（n*log2n）
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一些补充说明
最坏时间复杂度
算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。
一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。
这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
求数量级
即求对数值（log），默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。
例如，5000=5x103（log5000=3），数量级为3。
另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。
求极限的技巧
要利用好1/n。
当n趋于无穷大时，1/n趋向于0
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一些规则（引自：
时间复杂度计算）
1）加法规则
T（n,m）=T1（n）+T2（n）=O（max（f（n）,g（m））
2）乘法规则
T（n,m）=T1（n）*T2（m）=O（f（n）*g（m））
3）一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）
在大O表示法里面有一个特例，如果T1（n）＝O（c），c是一个与n无关的任意常数，T2（n）=O（f（n））则有
T（n）=T1（n）*T2（n）=O（c*f（n））=O（f（n））
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O
（1）。
4）一个经验规则
复杂度与时间效率的关系：
c（c是一个常量）
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较好 一般 较差
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c、log2n、n、n*log2n,那么这个算法时间效率比较高，如果是2n,3n,n!
那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
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复杂情况的分析
以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。
1.并列循环的复杂度分析
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。
例如：
for（i=1;i<=n;i++）
x++;
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
x++;
解：
第一个for循环
T（n）=n
f（n）=n
时间复杂度为Ο（n）
第二个for循环
T（n）=n2
f（n）=n2
时间复杂度为Ο（n2）
整个算法的时间复杂度为Ο（n+n2）=Ο（n2）。
2.函数调用的复杂度分析
例如：
publicvoidprintsum（intcount）{
intsum=1;
for（inti=0;i sum+=i;
}
System.out.print（sum）;
}
分析：
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O
（1）。
所以printsum的时间复杂度=for的O（n）+O
（1）=忽略常量=O（n）
*这里其实可以运用公式num=n*（n+1）/2，对算法进行优化，改为：
publicvoidprintsum（intcount）{
intsum=1;
sum=count*（count+1）/2;
System.out.print（sum）;
}
这样算法的时间复杂度将由原来的O（n）降为O
（1），大提高了算法的性能。
3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析
例如：
publicvoidsuixiangMethod（intn）{
printsum（n）;//1.1
for（inti=0;i printsum（n）;//1.2
}
for（inti=0;i for（intk=0;k
System.out.print（i,k）;//1.3
}
}
suixiangMethod方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3=O
（1）+O（n）+O（n2）---->忽略常数和非主要项==O（n2）
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更多的例子
O
（1）
交换i和j的容
temp=i;
i=j;
j=temp;
以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T（n）=O
（1）。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O
（1）。
O（n2）
sum=0； /*执行次数1*/
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
sum++； /*执行次数n2*/
解：
T（n）=1+n2=O（n2）
for（i=1;i {
y=y+1; ①
for（j=0;j<=（2*n）;j++）
x++; ②
}
解：
语句1的频度是n-1
语句2的频度是（n-1）*（2n+1）=2n2-n-1
T（n）=2n2-n-1+（n-1）=2n2-2
f（n）=n2
lim（T（n）/f（n））=2+2*（1/n2）=2
T（n）=O（n2）.
O（n）
a=0;
b=1; ①
for（i=1;i<=n;i++）②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：
语句1的频度：
2,
语句2的频度：
n,
语句3的频度：
n,
语句4的频度：
n,
语句5的频度：
n,
T（n）=2+4n
f（n）=n
lim（T（n）/f（n））=2*（1/n）+4=4
T（n）=O（n）.
O（log2n）
i=1; ①
while（i<=n）
i=i*2;②
解：
语句1的频度是1,
设语句2的频度是t, 则：
nt<=n; t<=log2n
考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
T（n）=1+log2n
f（n）=log2n
lim（T（n）/f（n））=1/log2n+1=1
T（n）=O（log2n）
O（n3）
for（i=0;i {
for（j=0;j {
for（k=0;k x=x+2;
}
}
解：
当i=m,j=k的时候,层循环的次数为k当i=m时,j可以取0,1,...,m-1, 所以这里最循环共进行了0+1+...+m-1=（m-1）m/2次所以,i从0取到n,则循环共进行了:
0+（1-1）*1/2+...+（n-1）n/2=n（n+1）（n-1）/2次
T（n）=n（n+1）（n-1）/2=（n3-n）/2
f（n）=n3
所以时间复杂度为O（n3）。
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