平行四边形知识点与经典例题.docx

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平行四边形知识点与经典例题

第十八章平行四边形

18.1.1平行四边形的性质

第一课时平行四边形的边、角特征

知识点梳理

1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练

1．（3分）如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．

2．（3分）如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形（　　）

A．6个　　　B．7个　　　C．8个　　　D．9个

3．（3分）在□ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则□ABCD的周长为cm.

4．（3分）用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为cm.

5．（4分）在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．

6．（4分）（2014·福州）如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．

7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为（　　）

A．53°　　　B．37°　　　C．47°　　　D．123°

8．（8分）（2013·攀枝花）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.

求证：

AE＝CF.

 9．（4分）如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10cm²，则△DCF的面积为。

10．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是（　　）

A．S1>S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法比较

11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（　　）

A．1∶2∶3∶4B．1∶2∶2∶1

C．2∶2∶1∶1D．2∶1∶2∶1

12．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：

①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是（　　）

A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②

13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．

14．（2013·江西）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。

15．（10分）如图，□ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E.

求证：

AB＝BE.

16．（12分）在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.

（1）求证：

△ABC≌△EAD；

（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

17．（14分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连接BG，DE.

（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？

请说明理由；

（2）求证：

△BCG≌△DCE.

第二课时平行四边形的对角线特征

知识点梳理

1、平行四边形的对角线互相平分。

知识点训练

1．（3分）如图所示，如果□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

2．（3分）如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝8，AB＝6，BD＝m，那么m的取值范围是（　　）

A．2＜m＜10B．2＜m＜14C．6＜m＜8D．4＜m＜20

3．（3分）若□ABCD的周长是22，对角线AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3，则AD＝，AB＝．

4．（4分）已知O为□ABCD两对角线的交点，且S△AOB＝1，则S□ABCD＝．

5．（8分）如图，在□ABCD中，点E，F在AC上，四边形DEBF是平行四边形，求证：

AE＝CF.

6．（3分）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O.下列结论：

①OA＝OC；②∠BAD＝∠BCD；③AC⊥BD；④∠BAD＋∠ABC＝180°；⑤AD＝BC。

其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．（4分）如图，设M是□ABCD边AB上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（　　）

A．S＝S1＋S2B．S>S1＋S2C．S＜S2＋S2D．不能确定

8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上

一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为点

E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的

对数为（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

9．（4分）在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（－3，1）B．（4，1）C．（－2，1）D．（2，－1）

10．（4分）如图，□ABCD的对角线相交于点O，

且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，

若△CDE的周长为10，则□ABCD的周长为．

11．如图所示，□ABCD中，AB＝4，BC＝5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　）

A．10B．12C．14D．16

12．如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

13．如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于

点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC

所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，

若点B的落点记为B′，则DB′的长为____．

14．（10分）如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N在对角线AC上，且AM＝CN.求证：

BM∥DN.

15．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，BD⊥AD于D，BF⊥CD于F，OB＝1.5，AD＝4，求DC及BF的长．

16．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，

且AC∶BD＝2∶3.

（1）求AC的长；

（2）求△AOD的面积．

第十八章平行四边形

18.1.1平行四边形的判定

第一课时平行四边形的判定

知识点梳理

1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形；

知识点训练

1．（5分）在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

2．（5分）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是（　　）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

3．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F在对角线AC上且DE∥BF，AD∥BC，AE＝CF，

求证：

四边形ABCD为平行四边形．

4．（5分）下面给出了四边边ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．1∶2∶3∶4B．2∶2∶3∶3C．2∶3∶2∶3D．2∶3∶3∶2

5．（5分）在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．∠A＝∠B＝∠C＝90°

C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°

6．（5分）小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：

如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）

A．对角线互相平分的四边形是平行四边形

B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

7．（8分）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF.求证∠EBF＝∠FDE.

8．两直角边不等的两个全等的直角三角形能拼成平行四边形的个数为（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

9．已知三条线段的长分别为10cm，14cm和8cm，如果以其中的两条为对角线，另一条为边，那么可以画出所有不同形状的平行四边形的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（　　）

11．A．AE＝CFB．BE＝BFC．∠ADE＝∠CBFD．∠AED＝∠CFB

11．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于O点，已知点E，F分别是BD上的点，请你添加一个条件，使得到四边形AFCE是一个平行四边形．

12．一个四边形的四条边长依次是a，b，c，d，且满足a²＋b²＋c²＋d²＝2ac＋2bd，

则这个四边形一定是，依据是。

13．（8分）已知：

如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．

求证：

四边形AFBE是平行四边形．

14．（10分）如图，在□ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，BC于点P，Q，求证：

MP＝NQ.

15．（10分）如图，□ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：

EF与GH互相平分．

16．（12分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，那么四边形AQRP是平行四边形吗？

若是，请证明；若不是，请说明理由．

第二课时平行四边形的性质与判定的综合应用

知识点梳理

1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2、连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

知识点训练

1．（4分）如图，四边形ABCD和AEFD都是平行四边形，则四边形BCFE是，理由是．

2．（4分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　）

A．AD＝BCB．CD＝BFC．∠A＝∠CD．∠F＝∠CDE

3．（8分）（2013·镇江）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.

（1）求证：

△ABE≌△DCF；

（2）试证明：

以点A，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形．

4．（4分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE∥DF，

若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数为

5．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件是。

6．（4分）已知四边形ABCD，有以下四个条件：

①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　　）

A．6种B．5种C．4种D．3种

7．（4分）（2014·泸州）如图，等边△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

8．（4分）（2014·湘潭）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC，BC，再取它们的中点D，E，测得DE＝15米，则AB＝（　　）

A．7.5米B．15米C．22.5米D．30米

9．（4分）（2014·娄底）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是

10．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15°B．20°C．25°D．30°

11．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关

12．（2014·遂宁）如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，依此类推……若△ABC的周长为1，则△AnBnCn的周长为____．

13．（10分）（2014·白银）D，E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB，AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，点G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.如图，当点O在△ABC的内部时，求证：

四边形DGFE是平行四边形．

14．

（12分）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：

15．（14分）（2014·凉山）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：

∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.

（1）试说明AC＝EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形．

专题平行四边形的性质与判定

教材母题（教材P50第5题）

如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

规律与方法：

平行四边形的性质与判定的综合必须根据题目的条件，充分应用平行四边形的有关性质，合理筛选判定的方法，此题涉及对角线问题，通常采用对角线的有关知识来解决．

变式1：

如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE＝CF.求证：

DE＝BF.

变式2：

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：

△AEF≌△DFC.

变式3：

如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．

求证：

（1）BE⊥AC；

（2）EG＝EF.

变式4：

如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？

若是，请证明；若不是，请举出反例；

（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．

（命题请写成“如果……，那么……”的形式）

变式5：

如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点P，使EF＝AE，连接AF，BE和CF.

（1）求证：

△BCE≌△FDC；

（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．

 变式6：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连接DE.

（1）证明：

DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

变式7：

分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF.

（1）如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF，请判断GF与EF的关系；（只写结论，不需证明）

（2）如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，

（1）中结论还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

18.2.1矩形

第一课时矩形的性质

知识点梳理

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的对边

4、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

5、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

6、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练

1．（5分）下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）

A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行

2．（5分）（2014·重庆）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（　　）

A．30°B．60°C．90°D．120°

3．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（　　）

A．4B．6C．8D．10

4．（5分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系是（　　）

A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．3S1＝2S2

5．（5分）如图，矩形OBCD的顶点坐标为（1，3），则对角线BD的长为（　　）

6．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝____cm.

7．（5分）（2014·泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为___cm.

8．（5分）（2014·无锡）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于

11．矩形ABCD的长BC＝4，宽AB＝3，P是AD上任一点，过P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F，则PE＋PF的长为多少？

12．（10分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．求证：

MN⊥DE.

13．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E，求证：

AC＝CE.

14．（10分）如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，

且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.

求证：

（1）△ABF≌△DEA；

（2）DF是∠EDC的平分线．

15．（12分）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F两点均在BD上），折痕分别为BH，DG.

（1）求证：

△BHE≌△DGF；

（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求线段FG的长．

第二课时矩形的判定

知识点梳理

矩形的判定方法：

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2、对角线相等的平行四边形是矩形；

7、有三个角是直角的平行四边形是矩形。

知识点训练

1．（3分）下列命题错误的是（　　）

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形

C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

2．（3分）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　　）

A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD

3．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（　　）

A．AB＝CDB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AD∥BC

4．（3分）四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中不能判定它是矩形的是（　　）

A．AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝90°B．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD

C．∠BAD＝∠ABC＝90°，∠BCD＋∠ADC＝180°

D．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC＝90°

5．（4分）（2014·娄底）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__

（添加一个条件即可）．

6．（4分）如图，已知l1∥l2，l3与l1，l2分别相交于A，B两点，过点A，B作两组内错角的平分线相交于点C，D，则四边形ABCD的形状是

7．（4分）已知▱ABCD的对角线相交于O点，分别添加下列条件：

①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使▱ABCD是矩形的条件的序号是

8．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：

四边形ADCE是矩形．

9．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CF，AG⊥DE，CH⊥BF，求证：

四边形EHFG是矩形．

10．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于

点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）

11．工人师傅在做矩形零件时，常用测量平行四边形的两条对角线是否相等来检查直角的精确度，这是根据．

12．M是矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件____时，四边形PEMF为矩形.

13．已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4，则▱ABCD的面积为

14．（10分）（2013·南通）如图，AB＝AC，AD＝AE，

DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.

求证：

四边形BCDE是矩形．

15．（12分）（2014·巴中）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.

（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．

（2）在问题

（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

16．（14分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平